Actividad # 8

Ejercicio 29: Tamaño muestral para la media poblacional \(\mu\)

Para estimar la media poblacional \(\mu\) a partir de una muestra, usamos el intervalo de confianza:

\[ \bar{X} \pm Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

donde:

• \(\bar{X}\): media muestral
  
• \(\sigma\): desviación estándar poblacional
  
• \(Z_{\alpha/2}\): valor crítico de la normal estándar
  
• \(n\): tamaño de la muestra

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Definición del error máximo

El error máximo permitido \(E\) se define como el valor que limita cuánto puede diferir la media muestral de la media poblacional:

\[ E = Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

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Paso 3: Despejar

A partir de la ecuación anterior, despejamos \(n\):

1. Multiplicamos ambos lados por \(\sqrt{n}\):

   \[ E \sqrt{n} = Z_{\alpha/2} \sigma \]

2. Aislamos \(\sqrt{n}\):

   \[ \sqrt{n} = \frac{Z_{\alpha/2} \sigma}{E} \]

3. Elevamos ambos lados al cuadrado:

   \[ n = \left( \frac{Z_{\alpha/2} \sigma}{E} \right)^2 \]

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Interpretación

Esta es la fórmula del tamaño muestral necesario para estimar la media con un error máximo \(E\) y un nivel de confianza dado por \(Z_{\alpha/2}\).
Si la población es finita de tamaño \(N\), se aplica una corrección:

\[ n = \frac{N Z_{\alpha/2}^2 \sigma^2}{E^2 (N - 1) + Z_{\alpha/2}^2 \sigma^2} \]

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Ejercicio 30: Tamaño muestral para la proporción poblacional \(p\)

Cuando se estima una proporción poblacional \(p\), el intervalo de confianza es:

\[ \hat{p} \pm Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}} \]

donde:

• \(\hat{p}\): proporción muestral
  
• \(Z_{\alpha/2}\): valor crítico
  
• \(n\): tamaño de la muestra

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Definición del error máximo

El error máximo permitido se define como:

\[ E = Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}} \]

donde \(p\) es una estimación inicial (por ejemplo, de un estudio previo o un valor conservador \(p = 0.5\)).

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Despejar

1. Elevamos ambos lados al cuadrado:

   \[ E^2 = Z_{\alpha/2}^2 \frac{p(1 - p)}{n} \]

2. Multiplicamos por \(n\):

   \[ n E^2 = Z_{\alpha/2}^2 p(1 - p) \]

3. Aislamos \(n\):

   \[ n = \frac{Z_{\alpha/2}^2 p(1 - p)}{E^2} \]

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Interpretación

Esta fórmula indica cuántas observaciones se necesitan para estimar una proporción poblacional con error máximo \(E\) y nivel de confianza \(1 - \alpha\).

Si la población tiene tamaño finito \(N\), la fórmula ajustada es:

\[ n = \frac{N Z_{\alpha/2}^2 p(1 - p)}{E^2 (N - 1) + Z_{\alpha/2}^2 p(1 - p)} \]

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Resumen general

Parámetro estimado	Fórmula general	Con población finita
Media poblacional \(\mu\)	\(n = \left( \frac{Z_{\alpha/2} \sigma}{E} \right)^2\)	\(n = \frac{N Z_{\alpha/2}^2 \sigma^2}{E^2 (N - 1) + Z_{\alpha/2}^2 \sigma^2}\)
Proporción poblacional \(p\)	\(n = \frac{Z_{\alpha/2}^2 p(1 - p)}{E^2}\)	\(n = \frac{N Z_{\alpha/2}^2 p(1 - p)}{E^2 (N - 1) + Z_{\alpha/2}^2 p(1 - p)}\)

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