Encuentre una fórmula para el tamaño muestral que nos permita estimar la media poblacional \(\mu\).
El intervalo de confianza dado para la media poblacional es:
\[ \bar{x} - Z_{\alpha / 2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} < \mu < \bar{x} + Z_{\alpha / 2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
o, de forma equivalente,
\[ \left(\bar{x} - Z_{\alpha / 2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + Z_{\alpha / 2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) \]
Observe que la expresión:
\[ Z_{\alpha / 2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
es lo que en clase desarrollamos como el estadístico “D”. Es decir,
\[ D = Z_{\alpha / 2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
Esa misma expresión es conocida como el “margen de error”, el cual usualmente es denotado por E. El margen error mide cuanto puede diferir, en este caso, la media muestral del valor de real de la media poblacional. Por tanto:
\[ E = Z_{\alpha / 2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
A partir de E despejamos n. Multiplicando por \(\sqrt{n}\) y despejando:
\[ E \cdot \sqrt{n} = Z_{\alpha / 2} \cdot \sigma \]
diviendo por \(E\):
\[ \sqrt{n} = \frac{Z_{\alpha / 2} \cdot \sigma}{E} \] elevenado al cuadrado:
\[ n = \left(\frac{Z_{\alpha / 2} \cdot \sigma}{E}\right)^2 \]
Por lo tanto, la fórmula para el tamaño muestral que nos permita estimar la media poblacional es:
\[ \boxed{n = \frac{Z_{\alpha / 2}^2 \cdot \sigma^2}{E^2}} \]
Caso \(\sigma\) desconocida (distribución t)
Si la varianza poblacional es desconocida y la muestra es pequeña, se usa la desviación muestral s y el valor crítico de la t de Student. En este caso, la fórmula queda:
\[ n = \left(\frac{t_{\alpha / 2 , n-1} \cdot s}{E}\right)^2 \]
Encuentre una fórmula para el tamaño muestral que nos permita estimar la proporción poblacional \(\hat{p}\).
El intervalo de confianza para la proporción poblacional \(p\) es:
\[ \bar{p} - Z_{\alpha / 2} \cdot \sqrt{\frac{\bar{p}(1 - \bar{p})}{n}} < \mu < \bar{p} + Z_{\alpha / 2} \cdot \sqrt{\frac{\bar{p}(1 - \bar{p})}{n}} \]
De forma equivalente:
\[ \left(\hat{p} - Z_{\alpha / 2} \cdot \sqrt{\frac{\bar{p}(1 - \bar{p})}{n}}, \ \hat{p} + Z_{\alpha / 2} \cdot \sqrt{\frac{\bar{p}(1 - \bar{p})}{n}}\right) \]
Definimos el margen de error como:
\[ E = Z_{\alpha / 2} \cdot \sqrt{\frac{\bar{p}(1 - \bar{p})}{n}} \]
A partir de E despejamos n. Multiplicando por \(\sqrt{n}\) y despejando:
\[ E \cdot \sqrt{n} = Z_{\alpha / 2} \cdot \sqrt{\bar{p} (1- \bar{p})} \]
diviendo por \(E\):
\[ \sqrt{n} = \frac{Z_{\alpha / 2} \cdot \sqrt{\bar{p} (1- \bar{p})}}{E} \]
elevando al cuadrado:
\[ n = \left(\frac{Z_{\alpha / 2} \cdot \sqrt{\bar{p} (1- \bar{p})}}{E}\right)^2 \]
Por lo tanto, la fórmula para el tamaño muestral que nos permita estimar la proporción poblacional es:
\[ \boxed{n = \frac{Z^2_{\alpha / 2} \cdot \bar{p} (1- \bar{p})}{E^2}} \]