Suponiendo que la distribución muestral de la media muestral es normal y se conoce la desviación estándar poblacional σ (en caso de no conocerla usamos \(s\)), el intervalo de confianza para la media poblacional es:
\[ \bar{X} - Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} < \mu < \bar{X} + Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
El margen de error \(E\) está dado por:
\[ E = Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
Por lo tanto,
\[ \sqrt n = \frac{Z_{\alpha/2} \, \sigma}{E} \]
Despejando \(n\), se obtiene la fórmula del tamaño muestral:
\[ n = \frac{Z_{\alpha/2}^2 \, \sigma^2}{E^2} \]
En caso de que la distribución muestral de la media sea t de Student (cuando σ es desconocida y \(n < 30\)), se reemplaza \(Z_{\alpha/2}\) por \(t_{\alpha/2,\,n-1}\).
Si \(n \ge 30\) o se cumplen las
condiciones \(np \ge 5\) y \(n(1 - p) \ge 5\), la distribución muestral
de la proporción muestral \(\bar{p}\)
puede aproximarse por una distribución normal.
En ese caso, el intervalo de confianza para \(p\) es:
\[ \bar{p} - Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\bar{p}(1 - \bar{p})}{n}} < p < \bar{p} + Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\bar{p}(1 - \bar{p})}{n}} \]
El margen de error \(E\) es:
\[ E = Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\bar{p}(1 - \bar{p})}{n}} \]
Por lo tanto,
\[ \sqrt n = \frac{Z_{\alpha/2} \, \sqrt{\bar{p}(1 - \bar{p})}}{E} \]
Despejando \(n\), se obtiene la fórmula del tamaño muestral:
\[ n = \frac{Z_{\alpha/2}^2 \, \bar{p}(1 - \bar{p})}{E^2} \]