Principios generales

En la propuesta se pretende tomar la estructura de la varianza con parámetros desconocidos; es decir, muestreo con reemplazo de media poblacional desconocida, varianza desconocida, tamaño de muestra fijo y población base gamma.

El resultado encontrado es que para un parámetro de forma \(\alpha\) mayor o igual que 2, la variable \(\chi^2_1=\frac{(n-1)*s^2}{\sigma^2}\) es tipo gamma con parámetro de forma mínimo \(\alpha'=\frac{n-1}{5}\) y \(\beta=5\). Aquí se define con \(b=\frac{1}{\beta}\).

mu=100
a=2
n=17
b=a/mu
sigma=sqrt(a/b^2)
library(MASS)
library(moments)
x=cbind(rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b))

chi1=(n-1)*apply(x,2,var)/sigma^2
chi2=(apply(x,2,mean)-mu)^2*n/sigma^2
chi3=chi1+chi2
cc=cbind(chi1,chi2,chi3)
px1=c(pgamma(n/2, (n-1)/5, 1/5), pgamma(n/2, (n-1)/2, 1/2), pgamma(n/2, (n-1)/(2+6/a), 1/(2+6/a)))
px2=c(pgamma(n+2, (n-1)/5, 1/5), pgamma(n+2, (n-1)/2, 1/2), pgamma(n+2, (n-1)/(2+6/a), 1/(2+6/a)))
px3=c(pgamma(2*n, (n-1)/5, 1/5), pgamma(n*2, (n-1)/2, 1/2), pgamma(n*2, (n-1)/(2+6/a), 1/(2+6/a)))
fa=ecdf(chi1)
fa1 <- fa(n/2)
fa2 <- fa(n+2)
fa3 <- fa(2*n)
rbind(px1,fa1,px2,fa2,px3,fa3)
##          [,1]      [,2]      [,3]
## px1 0.2038186 0.0674302 0.2038186
## fa1 0.1517857 0.1517857 0.1517857
## px2 0.6919364 0.7313368 0.6919364
## fa2 0.7053571 0.7053571 0.7053571
## px3 0.9569133 0.9945670 0.9569133
## fa3 0.9642857 0.9642857 0.9642857
pf=4/apply(x,2,skewness)^2
fax<-ecdf(pf)
fax1=fax(2)
fax1
## [1] 0.1785714
mu=100
a=3
n=17
b=a/mu
sigma=sqrt(a/b^2)
library(MASS)
library(moments)
x=cbind(rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b))

chi1=(n-1)*apply(x,2,var)/sigma^2
chi2=(apply(x,2,mean)-mu)^2*n/sigma^2
chi3=chi1+chi2
cc=cbind(chi1,chi2,chi3)
px1=c(pgamma(n/2, (n-1)/5, 1/5), pgamma(n/2, (n-1)/2, 1/2), pgamma(n/2, (n-1)/(2+6/a), 1/(2+6/a)))
px2=c(pgamma(n+2, (n-1)/5, 1/5), pgamma(n+2, (n-1)/2, 1/2), pgamma(n+2, (n-1)/(2+6/a), 1/(2+6/a)))
px3=c(pgamma(2*n, (n-1)/5, 1/5), pgamma(n*2, (n-1)/2, 1/2), pgamma(n*2, (n-1)/(2+6/a), 1/(2+6/a)))
fa=ecdf(chi1)
fa1 <- fa(n/2)
fa2 <- fa(n+2)
fa3 <- fa(2*n)
rbind(px1,fa1,px2,fa2,px3,fa3)
##           [,1]       [,2]       [,3]
## px1 0.20381860 0.06743020 0.16610751
## fa1 0.08928571 0.08928571 0.08928571
## px2 0.69193640 0.73133682 0.69811442
## fa2 0.75446429 0.75446429 0.75446429
## px3 0.95691327 0.99456698 0.96989092
## fa3 0.96875000 0.96875000 0.96875000
pf=4/apply(x,2,skewness)^2
fax<-ecdf(pf)
fax1=fax(2)
fax1
## [1] 0.1339286
mu=100
a=4
n=17
b=a/mu
sigma=sqrt(a/b^2)
library(MASS)
library(moments)
x=cbind(rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b))

chi1=(n-1)*apply(x,2,var)/sigma^2
chi2=(apply(x,2,mean)-mu)^2*n/sigma^2
chi3=chi1+chi2
cc=cbind(chi1,chi2,chi3)
px1=c(pgamma(n/2, (n-1)/5, 1/5), pgamma(n/2, (n-1)/2, 1/2), pgamma(n/2, (n-1)/(2+6/a), 1/(2+6/a)))
px2=c(pgamma(n+2, (n-1)/5, 1/5), pgamma(n+2, (n-1)/2, 1/2), pgamma(n+2, (n-1)/(2+6/a), 1/(2+6/a)))
px3=c(pgamma(2*n, (n-1)/5, 1/5), pgamma(n*2, (n-1)/2, 1/2), pgamma(n*2, (n-1)/(2+6/a), 1/(2+6/a)))
fa=ecdf(chi1)
fa1 <- fa(n/2)
fa2 <- fa(n+2)
fa3 <- fa(2*n)
rbind(px1,fa1,px2,fa2,px3,fa3)
##          [,1]      [,2]      [,3]
## px1 0.2038186 0.0674302 0.1445620
## fa1 0.1205357 0.1205357 0.1205357
## px2 0.6919364 0.7313368 0.7028622
## fa2 0.7098214 0.7098214 0.7098214
## px3 0.9569133 0.9945670 0.9765936
## fa3 0.9776786 0.9776786 0.9776786
pf=4/apply(x,2,skewness)^2
fax<-ecdf(pf)
fax1=fax(2)
fax1
## [1] 0.1026786
mu=100
a=5
n=17
b=a/mu
sigma=sqrt(a/b^2)
library(MASS)
library(moments)
x=cbind(rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b))

chi1=(n-1)*apply(x,2,var)/sigma^2
chi2=(apply(x,2,mean)-mu)^2*n/sigma^2
chi3=chi1+chi2
cc=cbind(chi1,chi2,chi3)
px1=c(pgamma(n/2, (n-1)/5, 1/5), pgamma(n/2, (n-1)/2, 1/2), pgamma(n/2, (n-1)/(2+6/a), 1/(2+6/a)))
px2=c(pgamma(n+2, (n-1)/5, 1/5), pgamma(n+2, (n-1)/2, 1/2), pgamma(n+2, (n-1)/(2+6/a), 1/(2+6/a)))
px3=c(pgamma(2*n, (n-1)/5, 1/5), pgamma(n*2, (n-1)/2, 1/2), pgamma(n*2, (n-1)/(2+6/a), 1/(2+6/a)))
fa=ecdf(chi1)
fa1 <- fa(n/2)
fa2 <- fa(n+2)
fa3 <- fa(2*n)
rbind(px1,fa1,px2,fa2,px3,fa3)
##           [,1]       [,2]       [,3]
## px1 0.20381860 0.06743020 0.13065068
## fa1 0.08035714 0.08035714 0.08035714
## px2 0.69193640 0.73133682 0.70649058
## fa2 0.73214286 0.73214286 0.73214286
## px3 0.95691327 0.99456698 0.98058381
## fa3 0.96428571 0.96428571 0.96428571
pf=4/apply(x,2,skewness)^2
fax<-ecdf(pf)
fax1=fax(2)
fax1
## [1] 0.05803571
mu=100
a=10
n=17
b=a/mu
sigma=sqrt(a/b^2)
library(MASS)
library(moments)
x=cbind(rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b))

chi1=(n-1)*apply(x,2,var)/sigma^2
chi2=(apply(x,2,mean)-mu)^2*n/sigma^2
chi3=chi1+chi2
cc=cbind(chi1,chi2,chi3)
px1=c(pgamma(n/2, (n-1)/5, 1/5), pgamma(n/2, (n-1)/2, 1/2), pgamma(n/2, (n-1)/(2+6/a), 1/(2+6/a)))
px2=c(pgamma(n+2, (n-1)/5, 1/5), pgamma(n+2, (n-1)/2, 1/2), pgamma(n+2, (n-1)/(2+6/a), 1/(2+6/a)))
px3=c(pgamma(2*n, (n-1)/5, 1/5), pgamma(n*2, (n-1)/2, 1/2), pgamma(n*2, (n-1)/(2+6/a), 1/(2+6/a)))
fa=ecdf(chi1)
fa1 <- fa(n/2)
fa2 <- fa(n+2)
fa3 <- fa(2*n)
rbind(px1,fa1,px2,fa2,px3,fa3)
##          [,1]      [,2]      [,3]
## px1 0.2038186 0.0674302 0.1004820
## fa1 0.1339286 0.1339286 0.1339286
## px2 0.6919364 0.7313368 0.7162644
## fa2 0.7276786 0.7276786 0.7276786
## px3 0.9569133 0.9945670 0.9881785
## fa3 0.9687500 0.9687500 0.9687500
pf=4/apply(x,2,skewness)^2
fax<-ecdf(pf)
fax1=fax(2)
fax1
## [1] 0.04910714
mu=100
a=20
n=17
b=a/mu
sigma=sqrt(a/b^2)
library(MASS)
library(moments)
x=cbind(rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b))

chi1=(n-1)*apply(x,2,var)/sigma^2
chi2=(apply(x,2,mean)-mu)^2*n/sigma^2
chi3=chi1+chi2
cc=cbind(chi1,chi2,chi3)
px1=c(pgamma(n/2, (n-1)/5, 1/5), pgamma(n/2, (n-1)/2, 1/2), pgamma(n/2, (n-1)/(2+6/a), 1/(2+6/a)))
px2=c(pgamma(n+2, (n-1)/5, 1/5), pgamma(n+2, (n-1)/2, 1/2), pgamma(n+2, (n-1)/(2+6/a), 1/(2+6/a)))
px3=c(pgamma(2*n, (n-1)/5, 1/5), pgamma(n*2, (n-1)/2, 1/2), pgamma(n*2, (n-1)/(2+6/a), 1/(2+6/a)))
fa=ecdf(chi1)
fa1 <- fa(n/2)
fa2 <- fa(n+2)
fa3 <- fa(2*n)
rbind(px1,fa1,px2,fa2,px3,fa3)
##           [,1]       [,2]       [,3]
## px1 0.20381860 0.06743020 0.08426000
## fa1 0.08928571 0.08928571 0.08928571
## px2 0.69193640 0.73133682 0.72293076
## fa2 0.71428571 0.71428571 0.71428571
## px3 0.95691327 0.99456698 0.99158719
## fa3 0.99107143 0.99107143 0.99107143
pf=4/apply(x,2,skewness)^2
fax<-ecdf(pf)
fax1=fax(2)
fax1
## [1] 0.01339286
skewness(chi1);q3=quantile(chi1,0.75); q1=quantile(chi1,0.25);min=min(chi1);max=max(chi1);(max-q3)/(q1-min)-2
## [1] 0.8726939
##      75% 
## 1.598494

Cuando pf es mayor o igual que 2 se continúa con el proceso y se encuentra que cualquier probabilidad acumulada \(F(x)\), se puede calcular con límites de probabilidad entre la distribución gamma con parámetro de forma mayor o igual que 2 y una chicuadrada para n.