Distribusi Sebaran Gamma

1.Pengertian Sebaran Gamma Sebaran Gamma adalah sebaran probabilitas kontinu (continuous probability distribution) yang menggambarkan waktu tunggu hingga terjadi sejumlah kejadian (k kejadian) dalam suatu proses acak yang bersifat Poisson (kejadian saling bebas dan terjadi pada rata-rata yang konstan). Dengan kata lain, sebaran Gamma digunakan untuk memodelkan jumlah waktu total yang diperlukan sampai terjadi α (alpha) kejadian acak.

  1. Fungsi Kepadatan Peluang (Probability Density Function / PDF) Fungsi kepadatan peluang dari sebaran Gamma didefinisikan sebagai:

Fungsi Kepadatan Peluang (PDF)

Fungsi kepadatan peluang dari distribusi Gamma adalah:

\[ f(x; \alpha, \beta) = \begin{cases} \dfrac{\beta^{\alpha} x^{\alpha - 1} e^{-\beta x}}{\Gamma(\alpha)}, & x > 0 \\ 0, & x \leq 0 \end{cases} \] Keterangan :

• α = parameter bentuk (shape parameter) → jumlah kejadian yang diamati.

• β = parameter laju (rate parameter) → seberapa sering kejadian terjadi. Kadang digunakan 𝜃 = 1/𝛽, disebut parameter skala (scale parameter).

• Γ(α) = fungsi Gamma, yang merupakan generalisasi dari faktorial \[ \Gamma(\alpha) = \int_0^{\infty} t^{\alpha - 1} e^{-t} \, dt \] Jika α bilangan bulat positif, maka Γ(α)=(α−1)!

Bentuk Kurva Sebaran Gamma

• Kurva sebaran gamma selalu positif (x > 0).

• Bentuknya asimetris ke kanan (skewed right).

• Jika α semakin besar, maka kurva akan semakin mendekati bentuk normal (simetris).

Fungsi Distribusi Gamma

Fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Gamma ditulis sebagai:

\[ f(x; \alpha, \beta) = \int_0^x \frac{\beta^{\alpha} t^{\alpha - 1} e^{-\beta t}}{\Gamma(\alpha)} \, dt \] Nilai ini biasanya dihitung menggunakan: • Tabel distribusi Gamma, • Software statistik (SPSS, R, Python, Excel), atau • Kalkulator ilmiah

Contoh Soal

Diketahui:
Distribusi Gamma dengan parameter:
- \(\alpha = 3\)
- \(\beta = 2\)

Hitung nilai fungsi kepadatan peluang untuk \(x = 1, 2, 3, 4, 5\) dan buatkan plot distribusinya.

Penyelesaian di R

# Parameter
alpha <- 3
beta <- 2

# Nilai x
x <- c(1, 2, 3, 4, 5)

# Fungsi kepadatan gamma manual
f_gamma <- function(x, alpha, beta) {
  ifelse(x > 0,
         (beta^alpha * x^(alpha - 1) * exp(-beta * x)) / gamma(alpha),
         0)
}

# Hitung nilai f(x)
fx <- f_gamma(x, alpha, beta)

# Tampilkan hasil
data.frame(x, fx)
##   x          fx
## 1 1 0.541341133
## 2 2 0.293050222
## 3 3 0.089235078
## 4 4 0.021469608
## 5 5 0.004539993
# Nilai x kontinu untuk plot
x_seq <- seq(0, 5, length.out = 100)

# Hitung f(x)
y_seq <- f_gamma(x_seq, alpha, beta)

# Plot
plot(x_seq, y_seq, type = "l", lwd = 2, col = "red",
     main = expression(paste("Fungsi Kepadatan Gamma (", alpha==3, ", ", beta==2, ")")),
     xlab = "x", ylab = "f(x)")
grid()

Interpretasi

Grafik fungsi kepadatan Gamma dengan parameter α = 3 dan β = 2 menunjukkan bentuk distribusi yang miring ke kanan (right-skewed), di mana nilai fungsi kepadatan peluang f(x) meningkat tajam dari 0 hingga mencapai puncaknya di sekitar x = 1, lalu menurun perlahan mendekati nol saat x semakin besar. Hasil perhitungan menunjukkan bahwa f(x) tertinggi berada pada x = 1 dengan nilai sekitar 0.54, kemudian menurun pada x = 2 (0.29), x = 3 (0.09), x = 4 (0.02), dan x = 5 (0.004), yang berarti peluang relatif terbesar terjadi di sekitar x = 1 dan semakin kecil untuk nilai x yang lebih besar. Parameter α (alpha) berperan sebagai parameter bentuk yang menentukan seberapa miring dan tinggi puncak distribusi, sedangkan β (beta) adalah parameter laju yang mengatur seberapa cepat distribusi menurun; semakin besar β, distribusi makin sempit dan menurun lebih cepat. Secara umum, distribusi Gamma ini menggambarkan fenomena waktu tunggu atau banyaknya kejadian sampai terjadi peristiwa tertentu, misalnya waktu tunggu untuk 3 kejadian dalam proses Poisson dengan rata-rata 2 kejadian per satuan waktu. Dengan demikian, grafik tersebut menunjukkan bahwa nilai-nilai kecil dari x lebih sering muncul dibandingkan nilai besar, dan puncak kepadatan peluang terjadi di sekitar x = 1.

Daftar Pustaka

Sudjana. (2005). Metode Statistika (Edisi 6). Bandung: Tarsito.

Walpole, R. E., Myers, R. H., Myers, S. L., & Ye, K. (2012). Probabilitas dan Statistik untuk Insinyur dan Ilmuwan (Edisi 9). Jakarta: Pearson Education.

Santoso, S. (2010). Statistik Parametrik: Konsep dan Aplikasi dengan SPSS. Jakarta: Elex Media Komputindo.