Tamaño muestral para estimar la media poblacional (μ)

Objetivo

Queremos un intervalo de confianza para la media:

\[ \bar{X} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

donde:

  • \(\bar{X}\): media muestral
  • \(\sigma\): desviación estándar poblacional
  • \(n\): tamaño de la muestra
  • \(z_{\alpha/2}\): valor crítico de la distribución normal estándar
  • \(E\): margen de error permitido

Paso 1. Definir el margen de error

Por definición, el margen de error (E) es la parte que acompaña al \(z_{\alpha/2}\) en la fórmula del intervalo:

\[ E = z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

Paso 2. Despejar \(n\)

Queremos expresar \(n\) en función de los demás parámetros:

\[ E = z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

Multiplicamos ambos lados por \(\sqrt{n}\):

\[ E\sqrt{n} = z_{\alpha/2}\sigma \]

Despejamos \(\sqrt{n}\):

\[ \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2}\sigma}{E} \]

Y elevamos al cuadrado:

\[ \boxed{n = \left(\frac{z_{\alpha/2}\sigma}{E}\right)^2} \]

Paso 3. Interpretación

  • \(z_{\alpha/2}\) depende del nivel de confianza:
    • 90% → \(z_{0.05}=1.645\)
    • 95% → \(z_{0.025}=1.96\)
    • 99% → \(z_{0.005}=2.576\)
  • \(\sigma\): desviación estándar poblacional.
  • \(E\): margen de error máximo tolerado.

Paso 4. Ejemplo

Queremos estimar la media del peso de los estudiantes de una universidad con:

  • Nivel de confianza: 95%
  • Desviación estándar poblacional aproximada: \(\sigma = 8\) kg
  • Error máximo permitido: \(E = 2\) kg

Sustituyamos:

\[ n = \left(\frac{1.96 \times 8}{2}\right)^2 = (7.84)^2 = 61.47 \]

Redondeando hacia arriba:

\[ \boxed{n = 62} \]

Caso cuando σ es desconocida

Si σ es desconocida, usamos una estimación preliminar (s) basada en una muestra piloto o datos anteriores:

\[ n \approx \left(\frac{z_{\alpha/2}s}{E}\right)^2 \]

Si el tamaño \(n\) calculado es pequeño (n < 30) y la población se asume normal, se debería usar la t de Student en lugar de \(z_{\alpha/2}\).

Tamaño muestral para estimar la proporción poblacional (p)

Objetivo

Queremos estimar la proporción verdadera (p) de una población (por ejemplo, el porcentaje de personas que aprueban un examen o votan por un candidato),
con un nivel de confianza \(1 - \alpha\) y un margen de error máximo \(E\).

El intervalo de confianza para una proporción poblacional (p) es:

\[ \hat{p} \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}} \]

donde:

  • \(\hat{p}\): proporción muestral
  • \(z_{\alpha/2}\): valor crítico de la normal estándar
  • \(n\): tamaño de la muestra
  • \(E\): margen de error máximo permitido

Paso 1. Definir el margen de error

\[ E = z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}} \]

Paso 2. Despejar \(n\)

\[ E = z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}} \]

Multiplicamos ambos lados por \(\sqrt{n}\):

\[ E\sqrt{n} = z_{\alpha/2}\sqrt{p(1 - p)} \]

Despejamos \(\sqrt{n}\):

\[ \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2}\sqrt{p(1 - p)}}{E} \]

Elevamos al cuadrado:

\[ \boxed{n = \frac{z_{\alpha/2}^2\,p(1 - p)}{E^2}} \]

Paso 3. Interpretación

  • \(p\): proporción esperada (estimación preliminar o de un estudio previo)
  • \(z_{\alpha/2}\): valor de la normal estándar:
    • 90% → \(z_{0.05}=1.645\)
    • 95% → \(z_{0.025}=1.96\)
    • 99% → \(z_{0.005}=2.576\)
  • \(E\): margen de error máximo permitido

Paso 4. Ejemplo

Queremos estimar la proporción de estudiantes que aprueban un curso, con:

  • Nivel de confianza: 95%
  • Estimación preliminar: \(p = 0.6\)
  • Error máximo permitido: \(E = 0.05\)

Aplicamos la fórmula:

\[ n = \frac{(1.96)^2 (0.6)(0.4)}{(0.05)^2} \]

Cálculo:

\[ n = \frac{3.8416 \times 0.24}{0.0025} = \frac{0.921984}{0.0025} = 368.79 \]

Por tanto:

\[ \boxed{n = 369} \]

Caso especial: cuando no conocemos \(p\)

Si no se tiene una proporción estimada previa, se usa el valor más conservador:

\[ p = 0.5 \]

porque \(p(1 - p)\) es máximo cuando \(p = 0.5\), lo cual garantiza el tamaño de muestra más grande (mayor precisión).

Entonces:

\[ \boxed{n = \frac{z_{\alpha/2}^2 (0.5)(0.5)}{E^2} = \frac{z_{\alpha/2}^2}{4E^2}} \]