Encuentre una fórmula para el tamaño muestral que nos permita estimar la media poblacional μ
Cuando conocemos σ, el intervalo de confianza para μ es:
\[\bar{X} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]
\[E = z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]
Paso 1: Multiplicar por \(\sqrt{n}\)
\[E \sqrt{n} = z_{\alpha/2} \sigma\]
Paso 2: Despejar \(\sqrt{n}\)
\[\sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \sigma}{E}\]
Paso 3: Elevar al cuadrado
\[n_0 = \left(\frac{z_{\alpha/2} \sigma}{E}\right)^2\]
\[\boxed{n_0 = \frac{z_{\alpha/2}^2 \sigma^2}{E^2}}\]
Parámetros:
Cuando la población N es pequeña o moderada, debemos aplicar el Factor de Corrección por Población Finita. Esto reduce el tamaño muestral necesario porque al muestrear una proporción significativa de la población, obtenemos más información.
El error estándar con FPC es:
\[SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}\]
Partiendo del margen de error con FPC:
\[E = z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}\]
Paso 1: Elevar al cuadrado
\[E^2 = z_{\alpha/2}^2 \frac{\sigma^2}{n} \cdot \frac{N-n}{N-1}\]
Paso 2: Despejar
\[E^2 n (N-1) = z_{\alpha/2}^2 \sigma^2 (N-n)\]
\[E^2 n (N-1) = z_{\alpha/2}^2 \sigma^2 N - z_{\alpha/2}^2 \sigma^2 n\]
Paso 3: Agrupar términos con n
\[E^2 n (N-1) + z_{\alpha/2}^2 \sigma^2 n = z_{\alpha/2}^2 \sigma^2 N\]
\[n[E^2(N-1) + z_{\alpha/2}^2 \sigma^2] = z_{\alpha/2}^2 \sigma^2 N\]
Paso 4: Despejar n
\[n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \sigma^2 N}{E^2(N-1) + z_{\alpha/2}^2 \sigma^2}\]
\[\boxed{n = \frac{N \cdot z_{\alpha/2}^2 \sigma^2}{E^2(N-1) + z_{\alpha/2}^2 \sigma^2}}\]
También puede expresarse como:
\[\boxed{n = \frac{n_0 \cdot N}{n_0 + (N-1)}}\]
Donde \(n_0 = \frac{z_{\alpha/2}^2 \sigma^2}{E^2}\) es el tamaño para población infinita.
Parámetros:
| Condición | Fórmula a Usar | Justificación |
|---|---|---|
| N → ∞ o muy grande | n = n₀ (población infinita) | Población infinita o muestreo con reemplazo |
| n₀/N ≤ 0.05 | n ≈ n₀ (corrección despreciable) | Muestra < 5% de la población |
| n₀/N > 0.05 | Usar fórmula con FPC | Muestra > 5% de la población |
Regla práctica: Si \(\frac{n_0}{N} > 0.05\) (la muestra representa más del 5% de la población), usar la corrección por población finita.
\[n_0 = \frac{z_{\alpha/2}^2 \sigma^2}{E^2}\]
\[n = \frac{N \cdot z_{\alpha/2}^2 \sigma^2}{E^2(N-1) + z_{\alpha/2}^2 \sigma^2} = \frac{n_0 \cdot N}{n_0 + (N-1)}\]
Para poblaciones grandes o infinitas, usamos: \(n_0 = \frac{z_{\alpha/2}^2 \sigma^2}{E^2}\)
Para poblaciones finitas, aplicamos el Factor de Corrección: \(n = \frac{n_0 \cdot N}{n_0 + (N-1)}\)
La corrección FPC es importante cuando la muestra representa más del 5% de la población
Siempre redondear hacia arriba para garantizar el nivel de confianza deseado
Encontrar una fórmula para el tamaño muestral que nos permita estimar la proporción poblacional p, considerando tanto poblaciones infinitas como poblaciones finitas.
Cuando la muestra es suficientemente grande, el intervalo de confianza para la proporción p es:
\[\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\]
Donde:
\[SE(\hat{p}) = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\]
\[E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\]
Paso 1: Elevar al cuadrado ambos lados
\[E^2 = z_{\alpha/2}^2 \frac{p(1-p)}{n}\]
Paso 2: Despejar n
\[n = \frac{z_{\alpha/2}^2 p(1-p)}{E^2}\]
Paso 3: Simplificar usando q = 1 - p
\[n = \frac{z_{\alpha/2}^2 pq}{E^2}\]
\[\boxed{n_0 = \frac{z_{\alpha/2}^2 p(1-p)}{E^2}}\]
Parámetros:
Como p es el parámetro que queremos estimar, generalmente no lo conocemos. Existen tres alternativas:
El producto \(p(1-p)\) alcanza su máximo cuando \(p = 0.5\):
\[p(1-p) \leq 0.25 \text{ para todo } p \in [0,1]\]
Por lo tanto, usando p = 0.5 obtenemos el tamaño muestral máximo:
\[n_0 = \frac{z_{\alpha/2}^2 (0.5)(0.5)}{E^2} = \frac{0.25 \cdot z_{\alpha/2}^2}{E^2}\]
Ventaja: Garantiza el nivel de confianza independientemente del valor real de p.
Si tenemos información previa (estudio piloto, investigaciones anteriores), podemos usar esa estimación \(p^*\).
Realizar una muestra pequeña inicial y usar \(\hat{p}\) como estimador.
El error estándar con FPC es:
\[SE(\hat{p}) = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}\]
Partiendo del margen de error con FPC:
\[E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}\]
Paso 1: Elevar al cuadrado
\[E^2 = z_{\alpha/2}^2 \frac{p(1-p)}{n} \cdot \frac{N-n}{N-1}\]
Paso 2: Despejar (similar al caso de media)
\[E^2 n (N-1) = z_{\alpha/2}^2 p(1-p)(N-n)\]
\[E^2 n (N-1) = z_{\alpha/2}^2 p(1-p) N - z_{\alpha/2}^2 p(1-p) n\]
Paso 3: Agrupar términos con n
\[n[E^2(N-1) + z_{\alpha/2}^2 p(1-p)] = z_{\alpha/2}^2 p(1-p) N\]
Paso 4: Despejar n
\[n = \frac{z_{\alpha/2}^2 p(1-p) N}{E^2(N-1) + z_{\alpha/2}^2 p(1-p)}\]
\[\boxed{n = \frac{N \cdot z_{\alpha/2}^2 p(1-p)}{E^2(N-1) + z_{\alpha/2}^2 p(1-p)}}\]
\[\boxed{n = \frac{n_0 \cdot N}{n_0 + (N-1)}}\]
Donde \(n_0 = \frac{z_{\alpha/2}^2 p(1-p)}{E^2}\) es el tamaño para población infinita.
La fórmula para estimar proporciones depende del producto p(1-p), que mide la variabilidad
El caso conservador p = 0.5 maximiza el tamaño muestral y garantiza precisión independiente del valor real de p
Cuando p se acerca a 0 o 1, se necesita menos muestra (menor variabilidad)
Para poblaciones finitas, aplicar FPC cuando la muestra sea > 5% de la población
Siempre redondear hacia arriba para garantizar el nivel de confianza
La aproximación normal requiere que np ≥ 10 y n(1-p) ≥ 10