Navigasi:

PENDAHULUAN

Distribusi Eksponensial pertama kali diperkenalkan oleh Gupta dan Kundu pada Tahun 1999.
Distribusi ini diambil dari salah satu fungsi kepadatan kumulatif yang digunakan pada pertengahan Abad 19 (Gompertz-Verhulst) untuk membandingkan tabel kematian dan menghasilkan laju pertumbuhan penduduk.
Distribusi eksponensial merupakan salah satu distribusi yang banyak digunakan dalam statistika.

Pada akhir Tahun 1940, peneliti telah memulai untuk memilih distribusi eksponensial dalam menggambarkan pola kehidupan elektronik. Distribusi eksponensial dalam penelitian tersebut mempunyai ciri-ciri oleh nilai bahaya berupa konstan \(\lambda\), dan nilai \(\lambda\) pada penelitian ini merupakan suatu parameter. Nilai \(\lambda\) yang tinggi mengindikasikan risiko tinggi dan survival yang singkat, sedangkan nilai \(\lambda\) yang rendah mengindikasikan risiko rendah dan survival yang lama.

Definisi

Distribusi eksponensial merupakan distribusi probabilitas kontinu yang digunakan untuk memodelkan waktu tunggu terjadinya suatu fenomena acak. Lebih tepatnya, distribusi eksponensial memungkinkan kita menggambarkan waktu tunggu antara dua peristiwa yang mengikuti distribusi Poisson. Oleh karena itu, distribusi eksponensial berkaitan erat dengan distribusi Poisson.

Distribusi eksponensial mempunyai parameter karakteristik, diwakili oleh huruf Yunani λ dan menunjukkan berapa kali peristiwa yang diteliti diperkirakan terjadi selama periode waktu tertentu. \[ X \sim \text{Exp}(\lambda) \] Demikian pula distribusi eksponensial juga digunakan untuk memodelkan waktu hingga terjadi kegagalan. Oleh karena itu, distribusi eksponensial memiliki beberapa penerapan dalam teori keandalan dan kelangsungan hidup.

Contoh Distribusi Eksponensial

  1. Waktu yang berlalu antara dua panggilan di pusat panggilan.
  2. Waktu seseorang harus menunggu hingga taksi gratis lewat di jalan tertentu.
  3. Waktu tunggu hingga pelanggan baru memasuki toko.
  4. Waktu yang berlalu antara dua pengguna berbeda yang memasuki halaman web.
  5. Waktu yang berlalu di bandara antara lepas landasnya satu pesawat dan
  6. keberangkatan pesawat lainnya.

Fungsi Distribusi Eksponensial

Rumus fungsi kepadatan yang mendefinisikan perhitungan probabilitas distribusi eksponensial adalah sama dengan λ dikalikan angka e pangkat negatif λ dikalikan x. Dengan kata lain rumus menghitung probabilitas distribusi eksponensial adalah sebagai berikut:

\[ P[X = x] = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \ge 0 \] Sedangkan rumus untuk menghitung probabilitas kumulatif dari distribusi eksponensial adalah sebagai berikut:

\[ P[X \leq x] = 1 - e^{-\lambda x}, \quad x \ge 0 \]

Keterangan:

  • \(\lambda\): parameter distribusi eksponensial
  • \(e\): konstanta (2.71828)
  • \(x\): variabel acak kontinu (harus \(\ge 0\))

Ciri-Ciri Distribusi Eksponensial

  • Distribusi eksponensial mempunyai parameter karakteristik, λ, yang menunjukkan berapa kali fenomena yang diteliti diperkirakan akan terjadi selama periode waktu tertentu. \[ X \sim \text{Exp}(\lambda) \]
  • Distribusi eksponensial tidak boleh bernilai negatif, sehingga domain distribusi eksponensial terdiri dari semua bilangan real yang lebih besar atau sama dengan nol. \[ x \in [0, +\infty) \]
  • Rata-rata distribusi eksponensial sama dengan satu dibagi parameter karakteristik λ. \[ E[X] = \cfrac{1}{\lambda} \]
  • Varians dari distribusi eksponensial adalah kuadrat dari meannya, oleh karena itu varians dari distribusi eksponensial setara dengan satu pada koefisien λ kuadrat. \[ Var(X)=\cfrac{1}{\lambda^2 } \]
  • Berapa pun nilai λ, koefisien asimetri distribusi eksponensial selalu sama dengan 2. \[ A=2 \]
  • Demikian pula koefisien kurtosis dari setiap distribusi eksponensial selalu setara dengan 9. \[ C=9 \]

Grafik distribusi eksponensial

# Buat vektor nilai x dari 0 sampai 5
x <- seq(0, 5, length.out = 200)

# Parameter lambda
lambda <- c(1, 1.5, 2, 3, 5)

# Plot fungsi kepadatan (PDF)
plot(x, dexp(x, rate = lambda[1]), type = "l", lwd = 2, col = "blue",
     ylim = c(0, 2), xlab = "x", ylab = "f(x)",
     main = "Distribusi Eksponensial (PDF)")
for (i in 2:length(lambda)) {
  lines(x, dexp(x, rate = lambda[i]), lwd = 2, col = i)
}
legend("topright",
       legend = paste0("λ=", lambda),
       col = 1:length(lambda),
       lwd = 2, cex = 0.8)

# Plot CDF (fungsi kumulatif)
plot(x, pexp(x, rate = lambda[1]), type = "l", lwd = 2, col = "blue",
     ylim = c(0, 1), xlab = "x", ylab = "F(x)",
     main = "Distribusi Eksponensial (CDF)")
for (i in 2:length(lambda)) {
  lines(x, pexp(x, rate = lambda[i]), lwd = 2, col = i)
}
legend("bottomright",
       legend = paste0("λ=", lambda),
       col = 1:length(lambda),
       lwd = 2, cex = 0.8)

Simulasi data distribusi eksponensial

Simulasi data digunakan untuk membangkitkan nilai acak yang mengikuti distribusi eksponensial. Berikut contoh simulasi dengan parameter \(\lambda = 2\) dan jumlah data sebanyak 1000.

# Simulasi data distribusi eksponensial
set.seed(123)             
lambda <- 2              
n <- 1000  

# Bangkitkan data acak
data_exp <- rexp(n, rate = lambda)

# Tampilkan 6 data pertama
head(data_exp)
## [1] 0.42172863 0.28830514 0.66452743 0.01578868 0.02810549 0.15825061
# Buat histogram dan tambahkan kurva teoritis
hist(data_exp, breaks = 30, col = "skyblue",
     main = "Simulasi Data Distribusi Eksponensial (λ = 2)",
     xlab = "Nilai X", ylab = "Frekuensi", prob = TRUE)

curve(dexp(x, rate = lambda), from = 0, to = 3,
      add = TRUE, col = "red", lwd = 2)

Contoh Soal

Soal:
Sebuah loket pelayanan memiliki waktu tunggu pelanggan yang mengikuti distribusi eksponensial dengan parameter \(\lambda = 0.5\) (rata-rata waktu tunggu = 2 jam).
Hitunglah peluang bahwa: 1. Seorang pelanggan menunggu kurang dari 3 jam. 2. Seorang pelanggan menunggu lebih dari 4 jam.

Penyelesaian:

# Parameter lambda
lambda <- 0.5

# 1. Peluang menunggu kurang dari 3 jam
P_kurang_3 <- pexp(3, rate=lambda)
P_kurang_3
## [1] 0.7768698
# 2. Peluang menunggu lebih dari 4 jam
P_lebih_4 <- pexp(4, rate=lambda, lower.tail = FALSE)
P_lebih_4
## [1] 0.1353353
# Hasil Akhir
cat("P(X ≤ 3) =", round(P_kurang_3, 4), "\n")
## P(X ≤ 3) = 0.7769
cat("P(X > 4) =", round(P_lebih_4, 4), "\n")
## P(X > 4) = 0.1353

Hasil & Pembahasan:
- Peluang pelanggan menunggu kurang dari 3 jam ≈ 0.7769
- Peluang pelanggan menunggu lebih dari 4 jam ≈ 0.1353

Karena distribusi eksponensial bersifat menurun, semakin lama waktu yang diminta (misalnya >4 jam), maka peluangnya semakin kecil.

SELESAI