PROPUESTA

En la propuesta se pretende tomar la estructura de la varianza con parámetros conocidos; es decir, muestreo con reemplazo de media poblacional conocida, varianza conocida, tamaño de muestra fijo y población base gamma.

El resultado encontrado es que para un parámetro de forma \(\alpha\) menor o igual que 10, la variable \(\chi^2_1=\frac{(n-1)*s^2}{\sigma^2}\) es tipo gamma con parámetros \(\alpha'=\frac{n-1}{2+6/\alpha}\) y \(\beta=2+6/\alpha\). Aquí se define con \(b=\frac{1}{\beta}\).

mu=100
a=9
n=17
b=a/mu
sigma=sqrt(a/b^2)
library(MASS)
library(moments)
x=cbind(rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b))

chi1=(n-1)*apply(x,2,var)/sigma^2
chi2=(apply(x,2,mean)-mu)^2*n/sigma^2
chi3=chi1+chi2
cc=cbind(chi1,chi2,chi3)
M1=apply(cc,2,mean)
M2=apply(cc,2,var)
M3=apply(cc,2,skewness)
L1=c(n-1,1,n)
L2=c((n-1)*(2+6/a),(2+6/a),n*(2+6/a))
L3=c(2*sqrt(2+6/a)/sqrt(n-1), 2*sqrt(2+6/a),2*sqrt(2+6/a)/sqrt(n))
rbind(rbind(M1,L1),rbind(M2,L2), rbind(M3,L3))
##          chi1     chi2       chi3
## M1 16.0916492 1.034493 17.1261421
## L1 16.0000000 1.000000 17.0000000
## M2 40.0665440 2.111495 42.0742463
## L2 42.6666667 2.666667 45.3333333
## M3  0.6403241 2.576490  0.6855492
## L3  0.8164966 3.265986  0.7921180
mu=100
a=8
n=31
b=a/mu
sigma=sqrt(a/b^2)
library(MASS)
library(moments)
x=cbind(rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b))

chi1=(n-1)*apply(x,2,var)/sigma^2
chi2=(apply(x,2,mean)-mu)^2*n/sigma^2
chi3=chi1+chi2
cc=cbind(chi1,chi2,chi3)
M1=apply(cc,2,mean)
M2=apply(cc,2,var)
M3=apply(cc,2,skewness)
L1=c(n-1,1,n)
L2=c((n-1)*(2+6/a),(2+6/a),n*(2+6/a))
L3=c(2*sqrt(2+6/a)/sqrt(n-1), 2*sqrt(2+6/a),2*sqrt(2+6/a)/sqrt(n))
rbind(rbind(M1,L1),rbind(M2,L2), rbind(M3,L3))
##          chi1      chi2       chi3
## M1 29.7493984 0.9901315 30.7395299
## L1 30.0000000 1.0000000 31.0000000
## M2 83.4537074 1.8410148 87.6284085
## L2 82.5000000 2.7500000 85.2500000
## M3  0.7017764 2.6959556  0.8373223
## L3  0.6055301 3.3166248  0.5956834
mu=100
a=7
n=62
b=a/mu
sigma=sqrt(a/b^2)
library(MASS)
library(moments)
x=cbind(rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b))

chi1=(n-1)*apply(x,2,var)/sigma^2
chi2=(apply(x,2,mean)-mu)^2*n/sigma^2
chi3=chi1+chi2
cc=cbind(chi1,chi2,chi3)
M1=apply(cc,2,mean)
M2=apply(cc,2,var)
M3=apply(cc,2,skewness)
L1=c(n-1,1,n)
L2=c((n-1)*(2+6/a),(2+6/a),n*(2+6/a))
L3=c(2*sqrt(2+6/a)/sqrt(n-1), 2*sqrt(2+6/a),2*sqrt(2+6/a)/sqrt(n))
rbind(rbind(M1,L1),rbind(M2,L2), rbind(M3,L3))
##           chi1     chi2        chi3
## M1  61.6555550 1.067311  62.7228656
## L1  61.0000000 1.000000  62.0000000
## M2 149.8934318 2.417630 153.0100104
## L2 174.2857143 2.857143 177.1428571
## M3   0.3398212 3.381514   0.4347734
## L3   0.4328437 3.380617   0.4293388
mu=100
a=6
n=93
b=a/mu
sigma=sqrt(a/b^2)
library(MASS)
library(moments)
x=cbind(rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b))

chi1=(n-1)*apply(x,2,var)/sigma^2
chi2=(apply(x,2,mean)-mu)^2*n/sigma^2
chi3=chi1+chi2
cc=cbind(chi1,chi2,chi3)
M1=apply(cc,2,mean)
M2=apply(cc,2,var)
M3=apply(cc,2,skewness)
L1=c(n-1,1,n)
L2=c((n-1)*(2+6/a),(2+6/a),n*(2+6/a))
L3=c(2*sqrt(2+6/a)/sqrt(n-1), 2*sqrt(2+6/a),2*sqrt(2+6/a)/sqrt(n))
rbind(rbind(M1,L1),rbind(M2,L2), rbind(M3,L3))
##           chi1     chi2        chi3
## M1  92.2622406 1.022007  93.2842471
## L1  92.0000000 1.000000  93.0000000
## M2 264.5792117 2.686562 274.4936243
## L2 276.0000000 3.000000 279.0000000
## M3   0.9139673 2.678275   0.9735222
## L3   0.3611576 3.464102   0.3592106
mu=100
a=5
n=93
b=a/mu
sigma=sqrt(a/b^2)
library(MASS)
library(moments)
x=cbind(rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b))

chi1=(n-1)*apply(x,2,var)/sigma^2
chi2=(apply(x,2,mean)-mu)^2*n/sigma^2
chi3=chi1+chi2
cc=cbind(chi1,chi2,chi3)
M1=apply(cc,2,mean)
M2=apply(cc,2,var)
M3=apply(cc,2,skewness)
L1=c(n-1,1,n)
L2=c((n-1)*(2+6/a),(2+6/a),n*(2+6/a))
L3=c(2*sqrt(2+6/a)/sqrt(n-1), 2*sqrt(2+6/a),2*sqrt(2+6/a)/sqrt(n))
rbind(rbind(M1,L1),rbind(M2,L2), rbind(M3,L3))
##           chi1     chi2        chi3
## M1  93.0670226 1.046813  94.1138359
## L1  92.0000000 1.000000  93.0000000
## M2 285.6524623 2.914687 288.6106211
## L2 294.4000000 3.200000 297.6000000
## M3   0.3586089 2.971544   0.4566795
## L3   0.3730019 3.577709   0.3709911
mu=100
a=4
n=93
b=a/mu
sigma=sqrt(a/b^2)
library(MASS)
library(moments)
x=cbind(rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b))

chi1=(n-1)*apply(x,2,var)/sigma^2
chi2=(apply(x,2,mean)-mu)^2*n/sigma^2
chi3=chi1+chi2
cc=cbind(chi1,chi2,chi3)
M1=apply(cc,2,mean)
M2=apply(cc,2,var)
M3=apply(cc,2,skewness)
L1=c(n-1,1,n)
L2=c((n-1)*(2+6/a),(2+6/a),n*(2+6/a))
L3=c(2*sqrt(2+6/a)/sqrt(n-1), 2*sqrt(2+6/a),2*sqrt(2+6/a)/sqrt(n))
rbind(rbind(M1,L1),rbind(M2,L2), rbind(M3,L3))
##           chi1     chi2        chi3
## M1  92.5929684 1.037991  93.6309592
## L1  92.0000000 1.000000  93.0000000
## M2 340.0451868 2.021676 340.0117487
## L2 322.0000000 3.500000 325.5000000
## M3   0.5124507 2.430145   0.6004962
## L3   0.3900947 3.741657   0.3879918
mu=100
a=3
n=93
b=a/mu
sigma=sqrt(a/b^2)
library(MASS)
library(moments)
x=cbind(rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b))

chi1=(n-1)*apply(x,2,var)/sigma^2
chi2=(apply(x,2,mean)-mu)^2*n/sigma^2
chi3=chi1+chi2
cc=cbind(chi1,chi2,chi3)
M1=apply(cc,2,mean)
M2=apply(cc,2,var)
M3=apply(cc,2,skewness)
L1=c(n-1,1,n)
L2=c((n-1)*(2+6/a),(2+6/a),n*(2+6/a))
L3=c(2*sqrt(2+6/a)/sqrt(n-1), 2*sqrt(2+6/a),2*sqrt(2+6/a)/sqrt(n))
rbind(rbind(M1,L1),rbind(M2,L2), rbind(M3,L3))
##           chi1     chi2        chi3
## M1  92.3249524 1.005888  93.3308402
## L1  92.0000000 1.000000  93.0000000
## M2 352.6360015 2.437651 359.1325979
## L2 368.0000000 4.000000 372.0000000
## M3   0.6363452 4.130220   0.8061708
## L3   0.4170288 4.000000   0.4147807
mu=100
a=2
n=93
b=a/mu
sigma=sqrt(a/b^2)
library(MASS)
library(moments)
x=cbind(rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b))

chi1=(n-1)*apply(x,2,var)/sigma^2
chi2=(apply(x,2,mean)-mu)^2*n/sigma^2
chi3=chi1+chi2
cc=cbind(chi1,chi2,chi3)
M1=apply(cc,2,mean)
M2=apply(cc,2,var)
M3=apply(cc,2,skewness)
L1=c(n-1,1,n)
L2=c((n-1)*(2+6/a),(2+6/a),n*(2+6/a))
L3=c(2*sqrt(2+6/a)/sqrt(n-1), 2*sqrt(2+6/a),2*sqrt(2+6/a)/sqrt(n))
rbind(rbind(M1,L1),rbind(M2,L2), rbind(M3,L3))
##           chi1     chi2        chi3
## M1  93.3663555 1.048164  94.4145197
## L1  92.0000000 1.000000  93.0000000
## M2 427.3714407 1.781098 432.8990573
## L2 460.0000000 5.000000 465.0000000
## M3   0.7787596 1.790363   0.8706077
## L3   0.4662524 4.472136   0.4637389
mu=100
a=1
n=930
b=a/mu
sigma=sqrt(a/b^2)
library(MASS)
library(moments)
x=cbind(rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b))

chi1=(n-1)*apply(x,2,var)/sigma^2
chi2=(apply(x,2,mean)-mu)^2*n/sigma^2
chi3=chi1+chi2
cc=cbind(chi1,chi2,chi3)
M1=apply(cc,2,mean)
M2=apply(cc,2,var)
M3=apply(cc,2,skewness)
L1=c(n-1,1,n)
L2=c((n-1)*(2+6/a),(2+6/a),n*(2+6/a))
L3=c(2*sqrt(2+6/a)/sqrt(n-1), 2*sqrt(2+6/a),2*sqrt(2+6/a)/sqrt(n))
rbind(rbind(M1,L1),rbind(M2,L2), rbind(M3,L3))
##            chi1      chi2         chi3
## M1  922.7762492 0.9421616  923.7184108
## L1  929.0000000 1.0000000  930.0000000
## M2 7068.5515838 1.5891678 7074.2790343
## L2 7432.0000000 8.0000000 7440.0000000
## M3    0.1031873 2.3519588    0.1285562
## L3    0.1855954 5.6568542    0.1854956
mu=100
a=0.5
n=1240
b=a/mu
sigma=sqrt(a/b^2)
library(MASS)
library(moments)
x=cbind(rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b))

chi1=(n-1)*apply(x,2,var)/sigma^2
chi2=(apply(x,2,mean)-mu)^2*n/sigma^2
chi3=chi1+chi2
cc=cbind(chi1,chi2,chi3)
M1=apply(cc,2,mean)
M2=apply(cc,2,var)
M3=apply(cc,2,skewness)
L1=c(n-1,1,n)
L2=c((n-1)*(2+6/a),(2+6/a),n*(2+6/a))
L3=c(2*sqrt(2+6/a)/sqrt(n-1), 2*sqrt(2+6/a),2*sqrt(2+6/a)/sqrt(n))
rbind(rbind(M1,L1),rbind(M2,L2), rbind(M3,L3))
##            chi1       chi2         chi3
## M1 1.251495e+03  0.9168213 1.252411e+03
## L1 1.239000e+03  1.0000000 1.240000e+03
## M2 1.758047e+04  1.5260486 1.766515e+04
## L2 1.734600e+04 14.0000000 1.736000e+04
## M3 5.363760e-01  2.5691056 5.587612e-01
## L3 2.125976e-01  7.4833148 2.125119e-01
e=exp(1)
n=31
t=seq(from=0, to=2*n, by=0.1)
d1=t^((n-1)/5-1)*e^(-t/5)/(5^((n-1)/5)*gamma((n-1)/5))
d3=t^((n-1)/2-1)*e^(-t/2)/(2^((n-1)/2)*gamma((n-1)/2))
d2=t^((n-1)/3-1)*e^(-t/3)/(3^((n-1)/3)*gamma((n-1)/3))
plot(c(t,t,t),c(d1,d2,d3))