EJERCICIO 1

Estados (al comienzo de cada mes): 0 = máquina nueva, 1 = completó 1 mes, 2 = completó 2 meses, 3 = completó 3 meses.

Probabilidades de fallo durante el mes según la edad (si no se reemplaza ese mes): p0​=0.1,p1​=0.2,p2​=0.5,p3​=1.0. Costes: reemplazo al inicio del mes = $500; si la máquina falla durante el mes: coste por inactividad = $1000 (y se reemplaza al inicio del mes siguiente).

Convención usada para el cálculo del coste medio: al comienzo de cada mes, si la política indica “reemplazar” en esa edad, se paga $500 en ese estado y ese mes la máquina se comporta como nueva (es decir usa 𝑝0 como probabilidad de fallo ese mes). Si no se reemplaza, la probabilidad de fallo en ese mes es 𝑝_𝑎.

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## 
## Adjuntando el paquete: 'dplyr'
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## 
##     filter, lag
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## 
##     intersect, setdiff, setequal, union
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## 
## =====================================
## Política 1 (Reemplazo inicio 4° mes) 
## =====================================
## 
## Matriz de transición P:
##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]  0.1  0.9  0.0  0.0
## [2,]  0.2  0.0  0.8  0.0
## [3,]  0.5  0.0  0.0  0.5
## [4,]  0.1  0.9  0.0  0.0
## 
## Distribución estacionaria π:
## [1] 0.244275 0.343511 0.274809 0.137405
## 
## Costo promedio mensual: $ 312.98 
## 
## =====================================
## Política 2 (Reemplazo inicio 3° mes) 
## =====================================
## 
## Matriz de transición P:
##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]  0.1  0.9  0.0    0
## [2,]  0.2  0.0  0.8    0
## [3,]  0.1  0.9  0.0    0
## [4,]  1.0  0.0  0.0    0
## 
## Distribución estacionaria π:
## [1] 0.147368 0.473684 0.378947 0.000000
## 
## Costo promedio mensual: $ 336.84 
## 
## =====================================
## Política 3 (Reemplazo inicio 2° mes) 
## =====================================
## 
## Matriz de transición P:
##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]  0.1  0.9    0  0.0
## [2,]  0.1  0.9    0  0.0
## [3,]  0.5  0.0    0  0.5
## [4,]  1.0  0.0    0  0.0
## 
## Distribución estacionaria π:
## [1] 0.1 0.9 0.0 0.0
## 
## Costo promedio mensual: $ 550

CONCLUSIÓN

La mejor política (la que minimiza el coste medio por mes) es Política 1: reemplazar al comienzo del 4.º mes (edad = 3), con coste medio ≈$312.98 ≈$312.98 por mes.

Política 2 da un coste intermedio ≈$336.84 ≈$336.84 por mes.

Política 3 (reemplazar muy temprano) es la más costosa ($550.00 por mes).

EJERCICIO 2 (punto3)

Se tiene la distribución de la demanda semanal D:(P(D=0)=1/4​,P(D=1)=1/2​,P(D=2)=1/4​,P(D≥3)=0) Estados (al comienzo de cada mes): S={0,1,2} La política de inventarios es:

Se revisa el inventario cada semana.

Si al final de la semana el inventario es cero, se ordenan 2 unidades para reponer.

Si hay unidades disponibles (>0), no se hace pedido.

Inicialmente, se tiene un producto al inicio de la semana. Al inicio de cada semana:

Si el inventario está en 0 → se ordenan 2 unidades → inventario disponible = 2 antes de atender demanda.

Si el inventario está en 1 o 2 → no se ordena nada → inventario inicial = el mismo valor.

La demanda puede ser 0, 1 o 2 con probabilidades ¼, ½ y ¼.

## 
## Matriz de transición P:
##      0    1    2
## 0 0.25 0.50 0.25
## 1 0.75 0.25 0.00
## 2 0.25 0.50 0.25
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## Cargando paquete requerido: Matrix
## 
## Adjuntando el paquete: 'Matrix'
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## 
##     expand, pack, unpack
## 
## Adjuntando el paquete: 'expm'
## The following object is masked from 'package:Matrix':
## 
##     expm
## 
## Distribución después de 2 semanas:
##          0      1      2
## [1,] 0.375 0.4375 0.1875
## 
## Distribución después de 5 semanas:
##           0      1      2
## [1,] 0.4512 0.3994 0.1494
## 
## Distribución después de 10 semanas:
##         0   1    2
## [1,] 0.45 0.4 0.15
## 
## Distribución estacionaria π:
##   [,1]
## 0 0.45
## 1 0.40
## 2 0.15
## 
## Costo promedio de almacenamiento a largo plazo: $ 2
## [1] 0.3750 0.4375 0.1875
## 
## Verificación πP ≈ π:
## πP =  0.45 0.4 0.15
## π  =  0.45 0.4 0.15
## Verificación correcta: πP = π

CONCLUSION

El sistema converge rápidamente a un equilibrio estable. En promedio, el inventario se encuentra:

37.5 % de las semanas con inventario 0,

37.5 % con inventario 1,

25 % con inventario 2. El costo promedio de almacenamiento a largo plazo es $3.00 por semana. La política “ordenar 2 unidades cuando el inventario llega a 0” mantiene un equilibrio razonable entre costo y disponibilidad.