PROPUESTA

En la propuesta se pretende tomar la estructura de la varianza con parámetros conocidos; es decir, muestreo con reemplazo de media poblacional conocida, varianza conocida, tamaño de muestra fijo y población base gamma.

El resultado encontrado es que para un parámetro de forma \(\alpha\) mayor o igual que 10, la variable \(\chi^2_1=\frac{(n-1)*s^2}{\sigma^2}\) es tipo gamma con parámetros \(\alpha'=\frac{n-1}{2+6/\alpha}\) y \(\beta=2+6/\alpha\). Aquí se define con \(b=\frac{1}{\beta}\).

mu=100
a=10
n=17
b=a/mu
sigma=sqrt(a/b^2)
library(MASS)
library(moments)
x=cbind(rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b))

chi1=(n-1)*apply(x,2,var)/sigma^2
chi2=(apply(x,2,mean)-mu)^2*n/sigma^2
chi3=chi1+chi2
cc=cbind(chi1,chi2,chi3)
M1=apply(cc,2,mean)
M2=apply(cc,2,var)
M3=apply(cc,2,skewness)
L1=c(n-1,1,n)
L2=c((n-1)*(2+6/a),(2+6/a),n*(2+6/a))
L3=c(2*sqrt(2+6/a)/sqrt(n-1), 2*sqrt(2+6/a),2*sqrt(2+6/a)/sqrt(n))
rbind(rbind(M1,L1),rbind(M2,L2), rbind(M3,L3))
##          chi1     chi2       chi3
## M1 16.3278807 1.038758 17.3666390
## L1 16.0000000 1.000000 17.0000000
## M2 39.3724500 2.097891 43.5913326
## L2 41.6000000 2.600000 44.2000000
## M3  0.9580726 2.486829  0.9532346
## L3  0.8062258 3.224903  0.7821539
mu=100
a=20
n=31
b=a/mu
sigma=sqrt(a/b^2)
library(MASS)
library(moments)
x=cbind(rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b))

chi1=(n-1)*apply(x,2,var)/sigma^2
chi2=(apply(x,2,mean)-mu)^2*n/sigma^2
chi3=chi1+chi2
cc=cbind(chi1,chi2,chi3)
M1=apply(cc,2,mean)
M2=apply(cc,2,var)
M3=apply(cc,2,skewness)
L1=c(n-1,1,n)
L2=c((n-1)*(2+6/a),(2+6/a),n*(2+6/a))
L3=c(2*sqrt(2+6/a)/sqrt(n-1), 2*sqrt(2+6/a),2*sqrt(2+6/a)/sqrt(n))
rbind(rbind(M1,L1),rbind(M2,L2), rbind(M3,L3))
##          chi1     chi2       chi3
## M1 29.8128636 1.002479 30.8153424
## L1 30.0000000 1.000000 31.0000000
## M2 74.3438986 2.511702 79.3419039
## L2 69.0000000 2.300000 71.3000000
## M3  0.5464517 3.320661  0.7398144
## L3  0.5537749 3.033150  0.5447699
mu=100
a=40
n=62
b=a/mu
sigma=sqrt(a/b^2)
library(MASS)
library(moments)
x=cbind(rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b))

chi1=(n-1)*apply(x,2,var)/sigma^2
chi2=(apply(x,2,mean)-mu)^2*n/sigma^2
chi3=chi1+chi2
cc=cbind(chi1,chi2,chi3)
M1=apply(cc,2,mean)
M2=apply(cc,2,var)
M3=apply(cc,2,skewness)
L1=c(n-1,1,n)
L2=c((n-1)*(2+6/a),(2+6/a),n*(2+6/a))
L3=c(2*sqrt(2+6/a)/sqrt(n-1), 2*sqrt(2+6/a),2*sqrt(2+6/a)/sqrt(n))
rbind(rbind(M1,L1),rbind(M2,L2), rbind(M3,L3))
##           chi1      chi2        chi3
## M1  58.9058097 0.9467556  59.8525654
## L1  61.0000000 1.0000000  62.0000000
## M2 129.4989760 1.8674446 132.3420604
## L2 131.1500000 2.1500000 133.3000000
## M3   0.2957329 2.7672564   0.3005544
## L3   0.3754778 2.9325757   0.3724375
mu=100
a=80
n=93
b=a/mu
sigma=sqrt(a/b^2)
library(MASS)
library(moments)
x=cbind(rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b))

chi1=(n-1)*apply(x,2,var)/sigma^2
chi2=(apply(x,2,mean)-mu)^2*n/sigma^2
chi3=chi1+chi2
cc=cbind(chi1,chi2,chi3)
M1=apply(cc,2,mean)
M2=apply(cc,2,var)
M3=apply(cc,2,skewness)
L1=c(n-1,1,n)
L2=c((n-1)*(2+6/a),(2+6/a),n*(2+6/a))
L3=c(2*sqrt(2+6/a)/sqrt(n-1), 2*sqrt(2+6/a),2*sqrt(2+6/a)/sqrt(n))
rbind(rbind(M1,L1),rbind(M2,L2), rbind(M3,L3))
##           chi1     chi2        chi3
## M1  91.4154489 1.067147  92.4825963
## L1  92.0000000 1.000000  93.0000000
## M2 176.7126677 1.785450 179.4952182
## L2 190.9000000 2.075000 192.9750000
## M3   0.2905945 2.404396   0.3019441
## L3   0.3003621 2.880972   0.2987429
mu=100
a=160
n=124
b=a/mu
sigma=sqrt(a/b^2)
library(MASS)
library(moments)
x=cbind(rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b),rgamma(n,a,b))

chi1=(n-1)*apply(x,2,var)/sigma^2
chi2=(apply(x,2,mean)-mu)^2*n/sigma^2
chi3=chi1+chi2
cc=cbind(chi1,chi2,chi3)
M1=apply(cc,2,mean)
M2=apply(cc,2,var)
M3=apply(cc,2,skewness)
L1=c(n-1,1,n)
L2=c((n-1)*(2+6/a),(2+6/a),n*(2+6/a))
L3=c(2*sqrt(2+6/a)/sqrt(n-1), 2*sqrt(2+6/a),2*sqrt(2+6/a)/sqrt(n))
rbind(rbind(M1,L1),rbind(M2,L2), rbind(M3,L3))
##           chi1     chi2        chi3
## M1 122.8520444 1.036829 123.8888730
## L1 123.0000000 1.000000 124.0000000
## M2 273.7932800 2.470053 276.5002488
## L2 250.6125000 2.037500 252.6500000
## M3   0.1807361 3.225417   0.2174433
## L3   0.2574105 2.854820   0.2563704
e=exp(1)
n=31
t=seq(from=0, to=2*n, by=0.1)
d1=t^((n-1)/5-1)*e^(-t/5)/(5^((n-1)/5)*gamma((n-1)/5))
d3=t^((n-1)/2-1)*e^(-t/2)/(2^((n-1)/2)*gamma((n-1)/2))
d2=t^((n-1)/3-1)*e^(-t/3)/(3^((n-1)/3)*gamma((n-1)/3))
plot(c(t,t,t),c(d1,d2,d3))