Sebaran Negatif Binomial

Definisi Sebaran Negatif Binomial

Dalam percobaan binomial dengan pengecualian bahwa percobaan akan diulang sampai jumlah keberhasilan yang tetap.
Oleh karena itu, alih-alih probabilitas keberhasilan dalam \(n\) percobaan di mana \(n\) tetap, maka dilakukan percobaan dengan probabilitas keberhasilan ke-\(r\) yang terjadi pada percobaan ke-\(x\) yang disebut percobaan Negatif Binomial (Walpole dkk, 2012).

Hal ini menggambarkan banyaknya percobaan Bernoulli yang digunakan untuk mendapatkan hasil positif dengan parameter karakteristik sebaran negatif binomial yaitu \(r\) dan \(p\), dengan: - \(r\) = banyaknya hasil sukses yang diinginkan dalam suatu percobaan
- \(p\) = peluang sukses untuk setiap percobaan (Ningati, 2024)

Perbedaan binomial dan negatif binomial terletak pada fokusnya:
- Binomial menghitung jumlah keberhasilan dari jumlah percobaan yang tetap.
- Negatif binomial menghitung jumlah percobaan yang diperlukan sampai tercapai jumlah keberhasilan tertentu.

Sebaran negatif binomial adalah sebaran peluang acak \(X\) yang terdiri dari \(n\) usaha berulang dan menghasilkan dua kemungkinan (gagal atau berhasil), di mana \(X\) adalah banyaknya percobaan yang diperlukan untuk mendapatkan \(r\) sukses (Sauddin, Auliah, dan Alwi, 2020).

Misalkan \(X\) menunjukkan jumlah percobaan di mana keberhasilan ke-\(r\) terjadi. Maka \(X\) merupakan bilangan bulat positif (\(X \ge r\)).

Fungsi pada Sebaran Negatif Binomial

Fungsi kepekatan peluang (probability mass function, PMF) digunakan untuk menentukan probabilitas bahwa keberhasilan ke-\(r\) terjadi pada percobaan ke-\(x\). Rumusnya:

\[ P(X = x) = \binom{x-1}{r-1} p^r (1-p)^{x-r}, \quad x = r, r+1, r+2, \dots \]

Keterangan:
- \(\binom{x-1}{r-1}\) = koefisien binomial
- \(p\) = probabilitas keberhasilan pada setiap percobaan
- \(q = 1-p\) = probabilitas kegagalan
- \(r\) = jumlah keberhasilan yang dituju
- \(x\) = jumlah total percobaan hingga keberhasilan ke-\(r\) tercapai

Nilai Harapan, Nilai Ragam, dan Fungsi Pembangkit Momen

Sebaran negatif binomial menyatakan banyaknya percobaan yang diperlukan untuk mendapatkan sebanyak \(r\) sukses dengan peluang sukses \(p\).

Nilai Harapan (Mean)

\[ E(X) = \frac{r}{p} \]

Nilai Ragam (Variance)

\[ Var(X) = \frac{r(1-p)}{p^2} \]

Fungsi Pembangkit Momen (MGF)

Fungsi pembangkit momen (Moment Generating Function) dari sebaran negatif binomial adalah:

\[ M_X(t) = \left( \frac{p e^t}{1 - (1-p)e^t} \right)^r \]

Contoh Kasus (Soal)

Di sebuah balai pemeriksaan (KIR) truk angkutan berat, catatan menunjukkan bahwa sekitar 45% kendaraan yang diperiksa memenuhi persyaratan kelayakan.
Banyaknya truk yang harus diperiksa agar probabilitas lebih dari 0,95 bahwa 3 truk memenuhi syarat dapat ditentukan menggunakan Distribusi Binomial Negatif.

Diketahui: - \(p = 0.45\) (peluang truk memenuhi syarat) - \(r = 3\) (jumlah truk memenuhi syarat yang diinginkan) - \(X\) = banyaknya truk tidak memenuhi syarat sebelum diperoleh 3 truk yang memenuhi syarat.

Distribusi yang digunakan: \[ P(X = x) = \binom{x+r-1}{r-1} p^r (1-p)^x \]

Kita ingin mencari nilai \(x\) sedemikian hingga: \[ P(X \le x) > 0.95 \]

Simulasi Perhitungan dengan R

Berikut contoh perhitungan menggunakan fungsi pnbinom() dari R:

# Parameter
p <- 0.45   # peluang sukses
r <- 3      # jumlah keberhasilan

# Mencari nilai x sehingga P(X <= x) > 0.95
x <- 0:20
cdf <- pnbinom(x, size = r, prob = p)  # Fungsi distribusi kumulatif

# Tampilkan tabel hasil CDF
data.frame(x, cdf)
##     x       cdf
## 1   0 0.0911250
## 2   1 0.2414813
## 3   2 0.4068731
## 4   3 0.5584823
## 5   4 0.6835599
## 6   5 0.7798697
## 7   6 0.8504969
## 8   7 0.9004403
## 9   8 0.9347765
## 10  9 0.9578580
## 11 10 0.9730918
## 12 11 0.9829938
## 13 12 0.9893476
## 14 13 0.9933798
## 15 14 0.9959143
## 16 15 0.9974941
## 17 16 0.9984717
## 18 17 0.9990726
## 19 18 0.9994398
## 20 19 0.9996630
## 21 20 0.9997981
# Ringkasan data bawaan R

summary(cars)
##      speed           dist       
##  Min.   : 4.0   Min.   :  2.00  
##  1st Qu.:12.0   1st Qu.: 26.00  
##  Median :15.0   Median : 36.00  
##  Mean   :15.4   Mean   : 42.98  
##  3rd Qu.:19.0   3rd Qu.: 56.00  
##  Max.   :25.0   Max.   :120.00
# Membuat diagram batang untuk distribusi negatif binomial

prob <- dnbinom(x, size = r, prob = p)  # fungsi massa peluang

barplot(
prob,
names.arg = x,
main = "Diagram Batang Sebaran Negatif Binomial (r=3, p=0.45)",
xlab = "x (Jumlah Gagal Sebelum 3 Keberhasilan)",
ylab = "Probabilitas",
col = "skyblue",
border = "white"
)