中級統計学：復習テスト8

注意

すべての質問に解答しなければ提出とは認めない．正答に修正した上で，復習テスト1〜8を順に重ねて左上でホチキス止めし，第1回中間試験実施日（10月24日の予定）に提出すること．

1. 確率変数 X について以下の不等式が成り立つことを示しなさい．

1. （マルコフの不等式）任意の c>0 について \Pr[|X| \ge c] \le \frac{\operatorname{E}(|X|)}{c}
2. （チェビシェフの不等式）任意の c>0 について \Pr[|X-\mu_X| \ge c] \le \frac{\sigma_X^2}{c^2}

解答例

1. X が連続なら \begin{align*} c\Pr[|X| \ge c] & =c\int_{|x| \ge c}f_X(x)\mathrm{d}x \\ & =\int_{|x| \ge c}cf_X(x)\mathrm{d}x \\ & \le \int_{|x| \ge c}|x|f_X(x)\mathrm{d}x \\ & \le \int_{-\infty}^{\infty}|x|f_X(x)\mathrm{d}x \\ & =\operatorname{E}(|X|) \end{align*} 離散の場合も同様．

2. マルコフの不等式より \begin{align*} \Pr[|X-\mu_X| \ge c] & =\Pr\left[|X-\mu_X|^2 \ge c^2\right] \\ & \le \frac{\operatorname{E}\left(|X-\mu_X|^2\right)}{c^2} \\ & =\frac{\operatorname{var}(X)}{c^2} \end{align*}

2. 次の離散確率変数を考える． X:=\begin{cases} 1 & \text{with pr.\ 1/2} \\ 0 & \text{with pr.\ 1/2} \\ \end{cases} Y:=2X とする．

1. Y の pmf を式とグラフで表しなさい．

2. Y の cdf を式とグラフで表しなさい．

解答例

\begin{align*} p_Y(y) & :=\Pr[Y=y] \\ & =\Pr[2X=y] \\ & =\Pr\left[X=\frac{y}{2}\right] \\ & =p_X\left(\frac{y}{2}\right) \\ & =\begin{cases} 1/2 & \text{for $y=0,2$} \\ 0 & \text{for $y \ne 0,2$} \\ \end{cases} \end{align*}

F_Y(y)=\begin{cases} 0 & \text{for $y<0$} \\ 1/2 & \text{for $0 \le y<2$} \\ 1 & \text{for $y \ge 2$} \\ \end{cases}

3. 連続確率変数 X は次の cdf をもつ． F_X(x):=\begin{cases} 0 & \text{for $x<0$} \\ x & \text{for $0 \le x \le 1$} \\ 1 & \text{for $x>1$} \\ \end{cases} Y:=2X とする．

1. Y の cdf を式とグラフで表しなさい．

2. Y の pdf を式とグラフで表しなさい．

解答例

\begin{align*} F_Y(y) & :=\Pr[Y \le y] \\ & =\Pr[2X \le y] \\ & =\Pr\left[X \le \frac{y}{2}\right] \\ & =F_X\left(\frac{y}{2}\right) \\ & =\begin{cases} 0 & \text{for $y<0$} \\ y/2 & \text{for $0 \le y \le 2$} \\ 1 & \text{for $y>2$} \\ \end{cases} \end{align*}

\begin{align*} f_Y(y) & =F_Y'(y) \\ & =\begin{cases} 1/2 & \text{for $y \in [0,2]$} \\ 0 & \text{for $y \notin [0,2]$} \\ \end{cases} \end{align*}