La densidad gamma estándar surge de estandarizar la variable gamma, como se estandariza una densidad normal.
La distribución de poisson tiene asimetría \(A=\frac{1}{\sqrt{\lambda}}\). Al aproximar gamma estándar a poisson, se tiene que la variable \(X\tilde{}P(\lambda)\) aproximada por una gamma estándar con \(\alpha=\frac{4}{A^2}\), esto es, \(\alpha=4\lambda\).
x=c(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20)
p=exp(-2)*2^x/gamma(x+1)
p1=ppois(x,2,lower.tail=TRUE)
pg=pgamma(8+sqrt(8)*(x+0.5-2)/sqrt(2),8,1)
cbind(x,p,p1,pg, D=abs(p1-pg))## x p p1 pg D
## [1,] 0 1.353353e-01 0.1353353 0.1333717 1.963609e-03
## [2,] 1 2.706706e-01 0.4060058 0.4012862 4.719685e-03
## [3,] 2 2.706706e-01 0.6766764 0.6761030 5.733805e-04
## [4,] 3 1.804470e-01 0.8571235 0.8568085 3.149951e-04
## [5,] 4 9.022352e-02 0.9473470 0.9459718 1.375231e-03
## [6,] 5 3.608941e-02 0.9834364 0.9819978 1.438585e-03
## [7,] 6 1.202980e-02 0.9954662 0.9945670 8.992136e-04
## [8,] 7 3.437087e-03 0.9989033 0.9984867 4.166236e-04
## [9,] 8 8.592716e-04 0.9997626 0.9996054 1.571506e-04
## [10,] 9 1.909493e-04 0.9999535 0.9999026 5.086444e-05
## [11,] 10 3.818985e-05 0.9999917 0.9999771 1.461658e-05
## [12,] 11 6.943609e-06 0.9999986 0.9999948 3.820895e-06
## [13,] 12 1.157268e-06 0.9999998 0.9999989 9.255126e-07
## [14,] 13 1.780413e-07 1.0000000 0.9999998 2.107737e-07
## [15,] 14 2.543447e-08 1.0000000 1.0000000 4.566137e-08
## [16,] 15 3.391262e-09 1.0000000 1.0000000 9.499066e-09
## [17,] 16 4.239078e-10 1.0000000 1.0000000 1.912029e-09
## [18,] 17 4.987150e-11 1.0000000 1.0000000 3.746075e-10
## [19,] 18 5.541278e-12 1.0000000 1.0000000 7.176792e-11
## [20,] 19 5.832924e-13 1.0000000 1.0000000 1.349221e-11
## [21,] 20 5.832924e-14 1.0000000 1.0000000 2.495670e-12## son iguales las acumuladas p1 y pg, donde p1 es la real y pg es la gamma estándar.