Pendahuluan

Distribusi Binomial merupakan salah satu distribusi probabilitas diskrit yang sangat penting dalam dunia statistik dan peluang. Distribusi ini digunakan ketika suatu percobaan terdiri dari sejumlah percobaan yang independen dan masing-masing hanya memiliki dua kemungkinan hasil, yaitu sukses (berhasil) dan gagal. Distribusi binomial juga adalah distribusi statistik yang merangkum probabilitas suatu nilai akan mengambil salah satu dari dua nilai independen berdasarkan serangkaian parameter atau asumsi tertentu.

Mengutip situs Investopedia, asumsi yang mendasari distribusi binomial adalah hanya terdapat satu hasil untuk setiap percobaan, setiap percobaan mempunyai probabilitas keberhasilan yang sama, dan setiap percobaan saling eksklusif atau independen satu sama lain.

Contoh sederhana penggunaan distribusi binomial adalah saat kita menghitung peluang berapa banyak pelanggan yang melakukan pembelian, berapa banyak siswa yang lulus ujian, atau berapa banyak lampu yang menyala dengan baik dari sejumlah produksi tertentu.

Rumusan Masalah

  1. Apa yang dimaksud dengan distribusi binomial?
  2. Bagaimana rumus matematis distribusi binomial?
  3. Bagaimana penerapan distribusi binomial menggunakan bahasa pemrograman R?
  4. Bagaimana interpretasi hasil dari perhitungan distribusi binomial?

Rumus Distribusi Binomial

Rumus umum dari fungsi probabilitas distribusi binomial adalah sebagai berikut:

\[ P(X = x) = \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x} \]

Di mana:

Mean, Varians, dan Fungsi Pembangkit Momen (MGF)

Jika \(X\) adalah variabel acak binomial dengan parameter \(p\) dan \(n\), maka:

\[ \mu_X = np \]

\[ \sigma_X^2 = np(1-p) \]

\[ M_X(t) = \left[(1-p) + pe^t\right]^n \]

Rumus-rumus tersebut menunjukkan bahwa: - Nilai harapan (mean) berbanding lurus dengan banyaknya percobaan (\(n\)) dan peluang sukses (\(p\)). - Varians menunjukkan penyebaran hasil percobaan, bergantung pada \(p\) dan \((1-p)\). - Fungsi pembangkit momen digunakan untuk menurunkan momen-momen statistik distribusi binomial.

Contoh Kasus dan Data

Sebuah perusahaan ingin mengetahui peluang sejumlah pelanggan membeli produk baru mereka. Berdasarkan survei, diketahui bahwa peluang seorang pelanggan membeli produk adalah 0.4.

Perusahaan tersebut mengambil sampel 10 pelanggan secara acak. Berikut adalah data hasil pengamatan nyata dari 10 pelanggan tersebut:

Pelanggan Membeli Produk (1=Ya, 0=Tidak)
1 1
2 0
3 1
4 0
5 1
6 0
7 1
8 1
9 0
10 1

Dari tabel di atas, terdapat 6 pelanggan yang membeli produk. Maka \(x = 6\), \(n = 10\), dan \(p = 0.4\).

Perhitungan Manual

Menggunakan rumus distribusi binomial:

\[ P(X=6) = \binom{10}{6} (0.4)^6 (0.6)^4 \]

Langkah perhitungan:

\[ \binom{10}{6} = \frac{10!}{6!4!} = 210 \]

\[ (0.4)^6 = 0.004096, \quad (0.6)^4 = 0.1296 \]

Sehingga:

\[ P(X=6) = 210 \times 0.004096 \times 0.1296 = 0.1115 \]

Jadi, peluang tepat 6 pelanggan membeli produk adalah 0.1115.

Perhitungan Menggunakan R

# Parameter
n <- 10
p <- 0.4
x <- 6

# Probabilitas tepat 6 pelanggan membeli produk
prob_tepat_6 <- dbinom(x, size = n, prob = p)
prob_tepat_6
## [1] 0.1114767
# Probabilitas paling banyak 6 pelanggan
prob_paling_banyak_6 <- pbinom(q = 6, size = n, prob = p)
prob_paling_banyak_6
## [1] 0.9452381
# Probabilitas minimal 6 pelanggan
prob_minimal_6 <- 1 - pbinom(q = 5, size = n, prob = p)
prob_minimal_6
## [1] 0.1662386
# Distribusi lengkap
x_values <- 0:n
prob_values <- dbinom(x_values, size = n, prob = p)

# Plot distribusi
library(ggplot2)
data_plot <- data.frame(x_values, prob_values)

ggplot(data_plot, aes(x = factor(x_values), y = prob_values, fill = prob_values)) +
  geom_bar(stat = "identity", color = "pink") +
  geom_text(aes(label = round(prob_values, 3)), vjust = -0.3, size = 3) +
  labs(title = "Distribusi Binomial (n=10, p=0.4)",
       x = "Jumlah Pelanggan Membeli (x)",
       y = "Probabilitas P(X=x)") +
  theme_minimal() +
  scale_fill_gradient(low = "lightblue", high = "lightgreen") +
  theme(legend.position = "none")

Interpretasi

Dari hasil perhitungan di atas, kita memperoleh bahwa:

Interpretasi ini menunjukkan bahwa kebanyakan pelanggan tidak akan semuanya membeli produk, tetapi masih terdapat peluang yang cukup besar untuk sebagian besar pelanggan (5–6 orang) membeli produk tersebut.

Kesimpulan

Distribusi binomial sangat berguna untuk menghitung peluang keberhasilan dalam sejumlah percobaan dengan kondisi tertentu, seperti peluang pembelian produk, keberhasilan produksi, dan sebagainya.
Melalui perhitungan manual dan implementasi di R, hasil yang diperoleh menunjukkan kesamaan yang memperkuat keandalan model probabilitas ini dalam analisis statistik diskrit.Distribusi binomial merupakan model yang sangat berguna untuk menganalisis fenomena dengan dua hasil yang saling eksklusif, seperti “berhasil–gagal” atau “ya–tidak”. Dari contoh kasus yang dibahas, kita dapat melihat bagaimana perhitungan manual dan hasil perhitungan menggunakan bahasa pemrograman R memberikan hasil yang konsisten.

Melalui pendekatan ini, kita belajar bahwa R dapat menjadi alat bantu statistik yang efisien, akurat, dan mudah digunakan untuk menghitung serta memvisualisasikan peluang. Dengan memahami distribusi binomial, seorang analis data atau peneliti dapat membuat keputusan yang lebih tepat dalam menghadapi ketidakpastian berdasarkan data empiris.

Daftar Pustaka

  1. Walpole, R. E., Myers, R. H., Myers, S. L., & Ye, K. (2020). Probability and Statistics for Engineers and Scientists. Pearson Education.
  2. Montgomery, D. C., & Runger, G. C. (2021). Applied Statistics and Probability for Engineers. Wiley.
  3. https://rpubs.com/
  4. https://bookdown.org/yihui/rmarkdown/