⚡ Análisis Vectorial

Normas, Proyecciones y Ángulos

📐 Matemáticas Vectoriales

1 🎯 Introducción

Este documento presenta un análisis de operaciones vectoriales fundamentales, incluyendo:

  • Cálculo de normas (magnitudes vectoriales)
  • Proyecciones ortogonales entre vectores
  • Ángulos y cosenos entre vectores
  • Análisis geométrico de triángulos en el espacio

Se utilizara visualizaciones interactivas para comprender la geometría subyacente.

2 ⚙️ Ejercicio 1: Normas Vectoriales

📏 Cálculo de la Norma ||A|| para Seis Casos

La norma de un vector \(\vec{A} = (a_1, a_2, ..., a_n)\) se calcula como:

\[||\vec{A}|| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2}\]
Tabla 1: Normas de los vectores A y B para cada caso
Caso Vector A ||A|| Vector B ||B||
a
(2, -1) 2.2361 (-1, 1) 1.4142
b
(-1, 3) 3.1623 (0, 4) 4.0000
c
(2, -1, 5) 5.4772 (-1, 1, 1) 1.7321
d
(-1, -2, 3) 3.7417 (-1, 3, -4) 5.0990
e
(3.14, 3, -1) 4.4575 (6.28, -3, 7) 9.8731
f
(15, -2, 4) 15.6525 (3.14, 3, -1) 4.4575

2.1 📊 Visualización Interactiva de Normas

💡 Insight: Los vectores en 3D (casos c-f) generalmente tienen normas mayores debido a la dimensión adicional. El caso (f) presenta las normas más grandes para ambos vectores.

3 🔄 Ejercicio 2: Normas del Vector B

Tabla 2: Normas específicas del vector B
Caso Vector B ||B||
a
(-1, 1) 1.4142
b
(0, 4) 4.0000
c
(-1, 1, 1) 1.7321
d
(-1, 3, -4) 5.0990
e
(6.28, -3, 7) 9.8731
f
(3.14, 3, -1) 4.4575

4 📐 Ejercicio 3: Proyección de A sobre B

🎯 Proyección Ortogonal: projB(A)

La proyección de \(\vec{A}\) sobre \(\vec{B}\) se calcula como:

\[\text{proj}_{\vec{B}}(\vec{A}) = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{||\vec{B}||^2} \vec{B}\]

La magnitud de la proyección (componente escalar) es:

\[\text{comp}_{\vec{B}}(\vec{A}) = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{||\vec{B}||}\]
Tabla 3: Proyección de A sobre B
Caso comp<sub>B</sub>(A) proj<sub>B</sub>(A)
-2.1213 (1.5, -1.5)
3.0000 (0, 3)
1.1547 (-0.667, 0.667, 0.667)
-3.3340 (0.654, -1.962, 2.615)
0.3787 (0.241, -0.115, 0.269)
8.3283 (5.87, 5.605, -1.868)

4.1 🎨 Visualización Geométrica de Proyecciones (Caso a)

4.2 🌐 Visualización 3D (Caso c)

💡 Insight: La proyección representa la “sombra” del vector A sobre la dirección de B. Cuando los vectores son casi perpendiculares, la proyección es muy pequeña.

5 🔀 Ejercicio 4: Proyección de B sobre A

Tabla 4: Proyección de B sobre A
Caso comp<sub>A</sub>(B) proj<sub>A</sub>(B)
-1.3416 (-1.2, 0.6)
3.7947 (-1.2, 3.6)
0.3651 (0.133, -0.067, 0.333)
-4.5434 (1.214, 2.429, -3.643)
0.8389 (0.591, 0.565, -0.188)
2.3718 (2.273, -0.303, 0.606)

6 📊 Ejercicio 5: Coseno del Ángulo entre Vectores

📐 Análisis Angular: cos(θ) entre A y B

El coseno del ángulo entre dos vectores se calcula mediante:

\[\cos(\theta) = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{||\vec{A}|| \cdot ||\vec{B}||}\]

Y el ángulo en grados:

\[\theta = \arccos\left(\frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{||\vec{A}|| \cdot ||\vec{B}||}\right) \times \frac{180}{\pi}\]
Tabla 5: Cosenos y ángulos entre vectores A y B
Caso Vector A Vector B cos(θ) θ (grados)
a
(1, -2) (5, 3) -0.0767 94.40
b
(-3, 4) (2, -1) -0.8944 153.43
c
(1, -2, 3) (-3, 1, 5) 0.4518 63.14
d
(-2, 1, 4) (-1, -1, 3) 0.8553 31.20
e
(-1, 1, 0) (2, 1, -1) -0.2887 106.78

6.1 📈 Visualización de Ángulos

6.2 🎯 Mapa de Calor: Matriz de Cosenos

💡 Interpretación de Ángulos:

  • θ < 45°: Vectores tienen direcciones similares (alta correlación)
  • θ ≈ 90°: Vectores perpendiculares (independientes)
  • θ > 135°: Vectores tienen direcciones opuestas (correlación negativa)

En nuestros casos:

  • Caso (b): θ ≈ 153.4° - Vectores casi perpendiculares
  • Caso (c): θ ≈ 63.1° - Correlación moderada
  • Caso (e): θ ≈ 106.8° - Direcciones similares

7 🔺 Ejercicio 6: Ángulos de Triángulos

🎲 Análisis Geométrico de Triángulos en el Espacio

Dados tres vértices de un triángulo, podemos calcular los ángulos internos usando los vectores formados por los lados.

7.1 Caso (a): Triángulo con vértices (2,-1,1), (1,-3,-5), (3,-4,-4)

Tabla 6: Ángulos internos de los triángulos
Caso Vértice Coordenadas cos(θ) θ (grados)
P1 (2, -1, 1) 0.9239 22.49
P2 (1, -3, -5) 0.3825 67.51
P3 (3, -4, -4) 0.0000 90.00
P1 (3, 1, 1) 0.0476 87.27
P2 (-1, 2, 1) 0.6060 52.70
P3 (2, -2, 5) 0.7657 40.03

7.2 🎭 Visualización 3D Interactiva - Triángulo (a)

7.3 🌟 Visualización 3D Interactiva - Triángulo (b)

7.4 📊 Comparación de Ángulos por Triángulo

💡 Verificación Geométrica:

  • Caso (a): Suma de ángulos = 180° ✓
  • Caso (b): Suma de ángulos = 180° ✓

La suma de los ángulos internos debe ser 180° (teorema fundamental de la geometría euclidiana).

Clasificación de Triángulos:

  • Caso (a): Rectángulo (tiene un ángulo de 90°)
  • Caso (b): Acutángulo (tiene un ángulo de 87.3°)

8 🎯 Resumen Ejecutivo y Conclusiones

📋 Síntesis de Resultados

8.1 📈 Estadísticas Globales

Tabla 7: Resumen Estadístico del Análisis Vectorial
Métrica Valor Unidad
Norma promedio (Vector A) 5.788 unidades
Norma promedio (Vector B) 4.429 unidades
Norma máxima observada 15.652 unidades
Ángulo promedio (Ej. 5) 89.792 grados
Ángulo mínimo (Ej. 5) 31.203 grados
Ángulo máximo (Ej. 5) 153.435 grados
Suma ángulos Triángulo (a) 180.000 grados
Suma ángulos Triángulo (b) 180.000 grados

8.2 🔍 Hallazgos Clave

8.2.1 🎯 Insights Principales

  1. Distribución de Normas:
    • Las normas de los vectores varían significativamente entre casos
    • Los vectores 3D tienden a tener magnitudes mayores debido a la dimensionalidad adicional
    • La norma máxima observada fue de 15.65 unidades
  2. Relaciones Angulares:
    • Se identificaron 1 pares de vectores aproximadamente perpendiculares (θ ≈ 90°)
    • El ángulo promedio entre vectores fue de 89.79°
    • Rango angular: [31.2°, 153.43°]
  3. Geometría de Triángulos:
    • Ambos triángulos cumplen el teorema de la suma de ángulos internos (≈180°)
    • Las visualizaciones 3D revelan estructuras espaciales complejas
    • Los triángulos presentan diferentes características geométricas
  4. Proyecciones Vectoriales:
    • Las proyecciones muestran cómo un vector se descompone en la dirección de otro
    • Cuando los vectores son casi perpendiculares, las proyecciones son muy pequeñas
    • Las proyecciones asimétricas (projA(B) ≠ projB(A)) ilustran la no-conmutatividad

8.3 🎨 Visualización Final: Radar de Normas

9 🚀 Conclusión Final

Este análisis demuestra el poder de las herramientas vectoriales en el análisis geométrico. Hemos explorado:

✅ Normas y magnitudes de vectores en 2D y 3D
✅ Proyecciones ortogonales y sus interpretaciones geométricas
✅ Relaciones angulares mediante productos punto
✅ Geometría de triángulos en el espacio tridimensional

Las visualizaciones interactivas permiten una comprensión intuitiva de conceptos matemáticos abstractos, transformando fórmulas en experiencias visuales inmersivas.

🎓 Análisis Completado con Éxito

Documento generado con R Markdown | Visualizaciones con Plotly | Estilo Premium

9.1 📚 Referencias y Recursos

  • Álgebra Lineal: Producto punto, normas y proyecciones
  • Geometría Analítica: Ángulos y triángulos en el espacio
  • Visualización de Datos: Plotly, ggplot2, viridis
  • Computación Científica: R, RMarkdown, Tidyverse

Generado el 15 de octubre, 2025 | R version R version 4.5.1 (2025-06-13 ucrt) | RMarkdown para algebra lineal con el profesor Jose luis Guevara Rodriguez