Proyecto Taller Matemática Básica 1

Instrucciones generales

El Objetivo de este proyecto Desarrollar habilidades de modelación y visualización con el software GeoGebra en el curso de matemática básica 1.

Entregable

Un breve informe en formato PDF y enlace con un video de 5 minutos máximo explicando los resultados de su proyecto.El PDF debe incluir:

• Caratula en la primera hoja con tus datos personales
• Enunciado de cada problema
• Construcción realizada para cada problema
  
• Capturas de las construcciones de GeoGebra
• Ecuaciones finales
• Comentarios

entrega tu proyecto utilizando el nombre Proyecto_Taller_Apellido_Nombre_carnet.pdf

Criterios de evaluación

• Modelos y cálculos correctos : 40 pts
  
• Construcción en GeoGebra (organización, uso de herramientas, etiquetas): 30 pts
  
• Interpretación y comunicación (explicaciones, conclusiones): 20 pts
  
• Presentación (orden, formato solicitado): 10 pts

Recomendación:

• Trabaja en GeoGebra Clásico 5.
• Activa Vista Algebraica Vista Gráfica y, cuando convenga, Hoja de Cálculo.
• Para visualizar tu construcción utiliza la opción “ver todos los objetos”
• Utiliza deslizadores para parámetros y nombra tus objetos.

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Problema 1

Por razones no del todo claras, el número de pececillos de salmón que sobreviven al viaje desde los lugares de desove hasta el mar abierto varía aproximadamente de forma senoidal. La tabla muestra los nacimientos (en miles) durante 16 años.

Datos (año, salmón × 1000):

Año	Nacimientos	Año	Nacimientos
1985	43	1993	56
1986	36	1994	63
1987	27	1995	57
1988	23	1996	50
1989	26	1997	44
1990	33	1998	38
1991	43	1999	30
1992	50	2000	22

Realiza lo siguiente.

• Dibuja los puntos sobre la vista gráfica de GeoGebra (Ajusta correctamente la ventana de visualización)

• Crea el deslizador c en GeoGebra con el objetivo de ajustar el modelo \(y=a\sin(w(t-c))+b\)

  • EL valor de b es el corrimiento encuentralo como (valor máximo + valor mínimo)/2
  • Ajusta la amplitud como (valor máximo - valor mínimo)/2
  • Obtén w como \(2\pi/periodo\) en donde el periodo lo calculas como 2(tiempo de valor máximo- tiempo de valor mínimo )

• ¿Cuál es tu modelo final \(y=a\sin(w(t-c))+b\)?

• Gráfica tu modelo y los puntos en la misma ventana.

• Utiliza una herramienta de ajuste senoidal en GeoGebra para hallar el mejor ajuste (p. ej., FitSin() / AjusteSeno()) y compáralo con tu modelo del inciso anterior. Reporta la función final y el período observado.

• Interpreta el modelo: ¿En qué años predice máximos y mínimos?

Problema 2

En mecánica celeste (leyes de Kepler), las órbitas alrededor de un cuerpo masivo son elipses con el cuerpo central ubicado en un foco. Considera un satélite artificial orbitando la Tierra en un plano. Su órbita tiene semieje mayor \(a\) y excentricidad \(e\) (con \(0<e<1\)). El semieje menor es \(b=a\sqrt{1-e^2}\) y la distancia del centro al foco es \(c=ae\).

Toma los siguientes datos

• a = 10,00km y e=0.6.
  
• Coloca la Tierra en el foco derecho \((c,0)\).
  
• La elipse está centrada en el origen con ecuación\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) ,\(b=a\sqrt{1-e^2}\),\(c=ae\)

Realiza lo siguiente:

1. Calcula \(b\) y \(c\). Escribe la ecuación de la elipse.

2. Identifica y marca en la gráfica el periapsis (punto más cercano al foco) y el apoapsis (más lejano). ¿Cuáles son sus distancias al foco \((c,0)\)?

3. Verifica la propiedad focal: para un punto \(P\) cualquiera en la elipse, la suma de distancias a los dos focos es constante e igual a \(2a\). Compruébalo numéricamente con varios puntos.

4. Discute por qué una mayor excentricidad \(e\) produce órbitas más “alargadas”. Repite (rápido) con \(e=0.2\) para comparar.

Sugerencias para GeoGebra.

1. Crea deslizadores a y e (0<e<1). Define b = a * sqrt(1 - e^2) y c = a * e.
   
2. Dibuja la elipse con:
   • Opción A: Curva( a*cos(t), b*sin(t), t, 0, 2π ).
     
   • Opción B: Herramienta Elipse (centro, foco) usando centro en el origen y un foco en \((c,0)\).
     
3. Marca los focos \((±c,0)\) y los puntos \((±a,0)\).
   
4. Construye una línea desde \((c,0)\) a \((a,0)\) y a \((-a,0)\) para visualizar periapsis/apoapsis; mide sus longitudes con Herramienta de Distancia.
   
5. Para comprobar la suma de distancias, crea un punto P sobre la elipse y calcula d1 = Distancia(P, (c,0)), d2 = Distancia(P, (-c,0)) y d1 + d2 (debe ser \(2a\)).
   
6. Cambia el deslizador e y observa la forma de la órbita.

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Recomendaciones finales

• Nombra tus objetos y añade textos dinámicos, así tu captura evidencia los valores usados.
  
• Guarda tu archivo PDF como Proyecto_Taller_Apellido_Nombre_carnet.pdf.
  
• Incluye en el informe las ecuaciones finales y capturas claras de cada construcción.