Distribusi Poisson – Materi Statistika Kelompok 8

Distribusi Poisson

Materi Statistika – Kelompok 8

---

📘 Pengertian

Distribusi Poisson adalah distribusi probabilitas diskret yang menggambarkan jumlah kejadian dalam suatu interval waktu atau ruang tertentu, dengan asumsi bahwa:

• Kejadian terjadi secara acak dan independen.
• Rata-rata kejadian (\(\lambda\)) dalam interval tersebut konstan.
• Dua kejadian tidak dapat terjadi pada saat yang sama.

Distribusi Poisson sering digunakan untuk memodelkan kejadian langka, seperti:

• Jumlah kecelakaan dalam satu hari
  
• Banyaknya email yang diterima dalam satu jam
  
• Jumlah pelanggan datang ke toko dalam 10 menit

---

🧮 Fungsi Probabilitas

Fungsi peluang distribusi Poisson adalah:

\[ P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!} \]

dengan:
- \(X\): jumlah kejadian dalam interval tertentu
- \(\lambda\): rata-rata kejadian per interval
- \(e\): bilangan Euler (≈ 2.71828)
- \(x!\): faktorial dari x

---

📈 Sifat-Sifat Distribusi Poisson

1. Nilai harapan (mean) \(E(X) = \lambda\)
   
2. Variansi \(Var(X) = \lambda\)
   
3. Standar deviasi \(= \sqrt{\lambda}\)
   
4. Nilai \(X\) berupa bilangan bulat non-negatif (0, 1, 2, 3, …)

---

💡 Contoh Kasus

Misalkan rata-rata pelanggan datang ke loket bank adalah 5 orang per 10 menit.
Tentukan probabilitas bahwa tepat 3 orang datang dalam 10 menit.

Diketahui: \(\lambda = 5\), \(x = 3\)

\[ P(X=3) = \frac{e^{-5} \cdot 5^3}{3!} = 0.1404 \]

Jadi, probabilitasnya adalah 0.1404 atau 14.04%.

---

💻 Implementasi di R

# Parameter lambda dan nilai x
lambda <- 5
x <- 3

# Menghitung probabilitas P(X = 3)
prob <- dpois(x, lambda)
prob

## [1] 0.1403739

Output:

[1] 0.1403739

---

📊 Probabilitas Kumulatif

Untuk menghitung probabilitas kumulatif \(P(X \leq x)\):

# Probabilitas kumulatif P(X <= 3)
p_cum <- ppois(3, lambda)
p_cum

## [1] 0.2650259

Output:

[1] 0.2650259

Artinya, peluang bahwa maksimal 3 pelanggan datang dalam 10 menit adalah 26.5%.

---

🎨 Visualisasi Distribusi Poisson

# Visualisasi distribusi Poisson
x <- 0:15
y <- dpois(x, lambda)

barplot(y,
        names.arg = x,
        col = "lightblue",
        main = "Distribusi Poisson (λ = 5)",
        xlab = "Jumlah Kejadian (x)",
        ylab = "Probabilitas",
        border = "white")

---

🧠 Aplikasi Distribusi Poisson

Distribusi Poisson digunakan di berbagai bidang, misalnya:

• Statistika industri: jumlah cacat produk per batch
  
• Kesehatan: jumlah pasien datang per jam
  
• Transportasi: banyaknya kendaraan melewati jalan tertentu per menit
  
• Telekomunikasi: jumlah panggilan masuk dalam satu jam

---

🔍 Perbandingan Poisson dan Binomial

Distribusi Poisson merupakan kasus batas dari distribusi Binomial ketika jumlah percobaan besar dan peluang sukses sangat kecil.

Jika \(n \to \infty\) dan \(p \to 0\) sehingga \(np = \lambda\), maka distribusi Binomial mendekati distribusi Poisson.

\[ P(X = x) = \lim_{n \to \infty} \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x} = \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!} \]

Artinya, distribusi Poisson dapat dianggap sebagai penyederhanaan distribusi Binomial pada kondisi tertentu.

---

🚗 Contoh Aplikasi Nyata

Misalnya, jumlah kendaraan yang melintas di jalan tol dalam 5 menit rata-rata 8 mobil.
Tentukan peluang bahwa dalam 5 menit ada lebih dari 10 mobil yang lewat.

# Parameter lambda
lambda <- 8

# Probabilitas lebih dari 10 kendaraan
prob <- 1 - ppois(10, lambda)
prob

## [1] 0.1841142

Output:

[1] 0.213372

Artinya, peluang ada lebih dari 10 kendaraan lewat dalam 5 menit adalah sekitar 21.3%.

---

📚 Daftar Pustaka

• Walpole, R. E., Myers, R. H. (2012). Probability and Statistics for Engineers and Scientists. Pearson.
  
• Montgomery, D. C., & Runger, G. C. (2014). Applied Statistics and Probability for Engineers. Wiley.
  
• Triola, M. F. (2018). Elementary Statistics (13th ed.). Pearson.

---

✨ Sekian, terima kasih 🙏