中級統計学：復習テスト7

注意

すべての質問に解答しなければ提出とは認めない．正答に修正した上で，復習テスト1〜8を順に重ねて左上でホチキス止めし，第1回中間試験実施日（10月24日の予定）に提出すること．

1. 次の確率変数を考える． X:=\begin{cases} 1 & \text{with pr.\ $p$} \\ 0 & \text{with pr.\ $1-p$} \\ \end{cases}

1. \operatorname{E}(X) を求めなさい．

2. \operatorname{E}\left(X^2\right) を求めなさい．

3. \operatorname{var}(X) を求めなさい．

解答例

\begin{align*} \operatorname{E}(X) & :=1 \cdot p+0 \cdot (1-p) \\ & =p \end{align*}

\begin{align*} \operatorname{E}\left(X^2\right) & :=1^2 \cdot p+0^2 \cdot (1-p) \\ & =p \end{align*}

3. \operatorname{E}(X)=p より \begin{align*} \operatorname{var}(X) & :=(1-p)^2 \cdot p+(0-p)^2 \cdot (1-p) \\ & =p(1-p)^2+p^2(1-p) \\ & =p(1-p) \end{align*}

2. 確率変数 X について以下の公式が成り立つことを示しなさい．（ヒント：復習テスト2で似た公式を示した．）

\operatorname{E}(aX+b)=a\operatorname{E}(X)+b

\operatorname{var}(aX+b)=a^2\operatorname{var}(X)

\operatorname{var}(X)=\operatorname{E}\left(X^2\right)-\operatorname{E}(X)^2

解答例

1. X が離散なら \begin{align*} \operatorname{E}(aX+b) & :=\sum_x(ax+b)p_X(x) \\ & =\sum_x(axp_X(x)+bp_X(x)) \\ & =\sum_xaxp_X(x)+\sum_xbp_X(x) \\ & =a\sum_xxp_X(x)+b\sum_xp_X(x) \\ & =a\operatorname{E}(X)+b \end{align*} X が連続なら \begin{align*} \operatorname{E}(aX+b) & :=\int_{-\infty}^{\infty}(ax+b)f_X(x)\mathrm{d}x \\ & =\int_{-\infty}^{\infty}(axf_X(x)+bf_X(x))\mathrm{d}x \\ & =\int_{-\infty}^{\infty}axf_X(x)\mathrm{d}x+\int_{-\infty}^{\infty}bf_X(x)\mathrm{d}x \\ & =a\int_{-\infty}^{\infty}xf_X(x)\mathrm{d}x+b\int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)\mathrm{d}x \\ & =a\operatorname{E}(X)+b \end{align*}

\begin{align*} \operatorname{var}(aX+b) & :=\operatorname{E}\left((aX+b-\operatorname{E}(aX+b))^2\right) \\ & =\operatorname{E}\left([aX+b-(a\operatorname{E}(X)+b)]^2\right) \\ & =\operatorname{E}\left([a(X-\operatorname{E}(X))]^2\right) \\ & =\operatorname{E}\left(a^2(X-\operatorname{E}(X))^2\right) \\ & =a^2\operatorname{E}\left((X-\operatorname{E}(X))^2\right) \\ & =a^2\operatorname{var}(X) \end{align*}

\begin{align*} \operatorname{var}(X) & :=\operatorname{E}\left((X-\mu_X)^2\right) \\ & =\operatorname{E}\left(X^2-2\mu_XX+\mu_X^2\right) \\ & =\operatorname{E}\left(X^2\right)-2\mu_X\operatorname{E}(X)+\mu_X^2 \\ & =\operatorname{E}\left(X^2\right)-\mu_X^2 \end{align*}