Pendahuluan

Dalam teori peluang dan statistika, distribusi peluang menunjukkan seberapa besar kemungkinan suatu hasil dari percobaan acak. Hasil tersebut disebut peubah acak, yaitu fungsi yang memetakan setiap elemen ruang sampel ke bilangan riil. Salah satu fungsi penting dalam berbagai distribusi peluang adalah fungsi Gamma, yang pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler (1707–1783) sebagai bentuk umum dari faktorial untuk bilangan tak bulat. Fungsi ini juga dikenal sebagai integral Euler jenis kedua dan dapat diterapkan pada bilangan riil positif (Bonnar, 2017).

Distribusi Gamma merupakan distribusi peluang kontinu yang dinamai berdasarkan fungsi Gamma dalam rumus kepadatannya. Distribusi ini memiliki dua parameter, yaitu α (bentuk) dan β (laju), yang menentukan karakteristik kurvanya. Perubahan nilai kedua parameter ini dapat membentuk berbagai distribusi lain seperti Erlang, Eksponensial, Chi-kuadrat, dan Beta, yang semuanya termasuk dalam keluarga Distribusi Gamma (Warella dkk, 2021).

Definisi Sebaran Gamma

Sebaran Gamma adalah salah satu distribusi probabilitas kontinu yang digunakan untuk memodelkan waktu tunggu dari sejumlah kejadian yang terjadi secara acak dalam suatu interval waktu tetap. Distribusi ini sering digunakan untuk menggambarkan total waktu hingga terjadinya kejadian ke-𝛼 dalam suatu proses Poisson. Distribusi Gamma memiliki peranan penting dalam pemodelan proses stokastik dan analisis probabilitas (Cassela dan Berger, 2021).

Distribusi Gamma adalah salah satu distribusi probabilitas kontinu yang digunakan untuk memodelkan waktu tunggu sampai terjadinya sejumlah kejadian acak. Distribusi ini sering dipakai dalam bidang teknik, aktuaria, serta teori antrian karena kemampuannya menggambarkan durasi antar kejadian. Distribusi Gamma memiliki fungsi kepadatan peluang (PDF) sebagai berikut (Cassela dan Berger, 2021):

\[ f(x;\alpha,\beta) = \frac{\beta^{\alpha} x^{\alpha-1} e^{-\beta x}}{\Gamma(\alpha)}, \quad x > 0 \]

di mana \(\alpha\) adalah parameter bentuk (shape) dan \(\beta\) adalah parameter laju (rate). Nilai parameter tersebut sangat memengaruhi bentuk kurva distribusinya. Distribusi Gamma hanya terdefinisi untuk nilai positif, sehingga cocok untuk memodelkan waktu, umur, atau panjang proses yang tidak mungkin bernilai negatif.

curve(dgamma(x, shape=2, rate=1), from=0, to=10, col="blue", lwd=2,
main="Fungsi Kepadatan Peluang (PDF) Distribusi Gamma",
ylab="f(x)", xlab="x")

Sifat-sifat Sebaran Gamma

1. Nilai Harapan (Mean) \[ E(X) = \frac{\alpha}{\beta} \] Mean menunjukkan nilai rata-rata yang diharapkan dari distribusi. Semakin besar \(\alpha\), semakin besar pula nilai rata-rata distribusi Gamma.

2. Variansi (Variance) \[ Var(X) = \frac{\alpha}{\beta^2} \] Variansi menggambarkan penyebaran data. Jika \(\beta\) meningkat, penyebaran nilai acak akan semakin kecil.

3. Fungsi Pembangkit Momen (Moment Generating Function) \[ M_X(t) = \left( \frac{\beta}{\beta - t} \right)^{\alpha}, \quad t < \beta \] Fungsi ini digunakan untuk memperoleh momen-momen distribusi seperti mean, variansi, dan momen lebih tinggi.

4. Skewness (Kemencengan) \[ Skewness = \frac{2}{\sqrt{\alpha}} \] Nilai skewness positif menunjukkan distribusi Gamma condong ke kanan. Semakin besar \(\alpha\), bentuk distribusi semakin simetris.

5. Kurtosis (Keruncingan) \[ Kurtosis = 3 + \frac{6}{\alpha} \] Nilai kurtosis menunjukkan seberapa runcing atau datar distribusi. Jika \(\alpha\) besar, distribusi akan lebih mendekati normal.

Fungsi untuk Menghasilkan Sebaran Gamma Acak di R

Untuk menghasilkan data acak yang mengikuti distribusi Gamma, digunakan fungsi rgamma(n, shape, rate) di mana: - n = jumlah data acak yang ingin dibangkitkan, - shape = parameter \(\alpha\), - rate = parameter \(\beta\).

set.seed(42)
data_acak <- rgamma(1000, shape=2, rate=0.5)
summary(data_acak)
##     Min.  1st Qu.   Median     Mean  3rd Qu.     Max. 
##  0.02518  1.81024  3.28360  3.86058  5.28587 19.49320
hist(data_acak, probability=TRUE, col="lightgreen", main="Sebaran 1000 Data Acak Gamma", xlab="Nilai")
curve(dgamma(x, shape=2, rate=0.5), add=TRUE, col="darkgreen", lwd=2)

Kejadian-kejadian Khusus Sebaran Gamma

Distribusi Gamma memiliki beberapa turunan atau kasus khusus yang muncul dari nilai tertentu pada parameternya. Turunan ini mencakup distribusi Erlang, Eksponensial, Chi-kuadrat, dan Beta, yang masing-masing memiliki fungsi dan penerapan berbeda. Dengan memahami hubungan ini, kita dapat melihat bahwa banyak distribusi penting sebenarnya merupakan bagian dari keluarga Gamma.

1. Distribusi Erlang

Distribusi Erlang adalah kasus khusus dari Gamma ketika \(\alpha = k\) dengan \(k\) bilangan bulat positif. Distribusi ini sering digunakan dalam teori antrian untuk menggambarkan waktu tunggu hingga terjadi sejumlah peristiwa tertentu. Bentuk kurvanya menyerupai Gamma namun lebih sederhana dalam penerapannya.

curve(dgamma(x, shape=3, rate=1), from=0, to=10, col="purple", lwd=2,
main="Distribusi Erlang (α=3, β=1)", ylab="f(x)", xlab="x")

2. Distribusi Eksponensial

Distribusi Eksponensial diperoleh dari distribusi Gamma dengan \(\alpha = 1\). Distribusi ini sering digunakan untuk memodelkan waktu antar kedatangan dalam proses acak, seperti waktu antar pelanggan di loket atau masa hidup suatu komponen elektronik. Ciri khasnya adalah bentuk kurva menurun eksponensial tanpa puncak.

curve(dexp(x, rate=1), from=0, to=10, col="green", lwd=2,
main="Distribusi Eksponensial (α=1, β=1)", ylab="f(x)", xlab="x")

3. Distribusi Chi-Kuadrat

Distribusi Chi-Kuadrat adalah bentuk khusus Gamma dengan \(\alpha = \nu/2\) dan \(\beta = 1/2\). Distribusi ini banyak digunakan dalam uji hipotesis dan analisis variansi (ANOVA). Bentuk kurvanya bergantung pada derajat bebas \(\nu\), di mana semakin besar \(\nu\), kurvanya semakin mendekati normal.

curve(dchisq(x, df=4), from=0, to=15, col="red", lwd=2,
main="Distribusi Chi-Kuadrat (v=4)", ylab="f(x)", xlab="x")

4. Distribusi Beta

Distribusi Beta berasal dari perbandingan dua peubah acak yang berdistribusi Gamma dan saling bebas. Distribusi ini digunakan untuk memodelkan variabel dengan rentang 0 hingga 1, seperti proporsi atau probabilitas keberhasilan. Bentuk kurvanya sangat bergantung pada nilai parameter \(\alpha\) dan \(\beta\).

curve(dbeta(x, shape1=2, shape2=5), from=0, to=1, col="orange", lwd=2,
main="Distribusi Beta (α=2, β=5)", ylab="f(x)", xlab="x")

Contoh Soal Sebaran Gamma

Sebuah sistem pelayanan di rumah sakit memiliki waktu pelayanan pasien yang diasumsikan mengikuti distribusi Gamma dengan parameter \(\alpha = 4\) dan \(\beta = 0.5\). Artinya, rata-rata pelayanan satu pasien membutuhkan waktu \(E(X) = 8\) menit dengan penyebaran yang relatif sedang. Dalam satu hari, rumah sakit melayani 6 pasien secara berurutan dan waktu pelayanan antar pasien dianggap independen.

Pertanyaan: Hitung peluang bahwa waktu pelayanan total untuk 6 pasien lebih dari 60 menit, tentukan nilai harapan dan variansi total waktu pelayanan keenam pasien, dan gambarkan kurva kepadatan peluang dari total waktu pelayanan tersebut.

alpha <- 4; beta <- 0.5
# Total waktu untuk 6 pasien mengikuti Gamma dengan α_total = 6*α
total_alpha <- 6 * alpha
E_total <- total_alpha / beta
Var_total <- total_alpha / (beta^2)


# Peluang total waktu > 60 menit
prob_total <- 1 - pgamma(60, shape=total_alpha, rate=beta)


cat("Nilai Harapan Total E[X_total] =", E_total, "menit\n")
## Nilai Harapan Total E[X_total] = 48 menit
cat("Variansi Total Var[X_total] =", Var_total, "menit^2\n")
## Variansi Total Var[X_total] = 96 menit^2
cat("Peluang waktu pelayanan total > 60 menit =", round(prob_total, 4))
## Peluang waktu pelayanan total > 60 menit = 0.1146
# Visualisasi distribusi total waktu
curve(dgamma(x, shape=total_alpha, rate=beta), from=0, to=150, col="blue", lwd=2,
main="Distribusi Total Waktu Pelayanan 6 Pasien",
ylab="f(x)", xlab="Total Waktu (menit)")
abline(v=60, col="red", lty=2)

Kesimpulan

Distribusi Gamma merupakan salah satu distribusi probabilitas kontinu yang penting dalam statistika karena dapat digunakan untuk memodelkan waktu tunggu atau lamanya suatu proses hingga terjadi sejumlah kejadian acak. Distribusi ini memiliki dua parameter utama, yaitu α (bentuk) dan β (laju), yang menentukan karakteristik serta bentuk kurvanya. Dengan menyesuaikan kedua parameter tersebut, distribusi Gamma dapat mencakup berbagai bentuk distribusi lain seperti Erlang, Eksponensial, Chi-kuadrat, dan Beta. Sifat-sifat matematisnya seperti nilai harapan, variansi, skewness, dan kurtosis juga memberikan dasar kuat untuk memahami perilaku data yang tidak bernilai negatif, seperti waktu, umur, atau jarak antar kejadian.

Selain itu, distribusi Gamma memiliki penerapan yang luas dalam berbagai bidang, seperti teori antrian, keandalan sistem, aktuaria, serta analisis probabilitas. Dalam contoh yang dibahas, distribusi Gamma digunakan untuk menghitung peluang total waktu pelayanan di rumah sakit, menunjukkan bagaimana konsep teoretis dapat diterapkan dalam situasi nyata. Dengan demikian, distribusi Gamma tidak hanya penting secara matematis, tetapi juga sangat relevan untuk analisis dan pemodelan fenomena stokastik di dunia nyata.

Daftar Pustaka

Bonnar, J. (2017). The Gamma Function. Amerika Serikat: Independently Published.

Casella, G., & Berger, R. L. (2021). Statistical Inference (7th ed.). Cengage Learning.

Warella, R. Y., Wattimanela, H. J., & Ilwaru, V. Y. I. (2021). Sifat-Sifat dan Kejadian Khusus Distribusi Gamma. Jurnal Ilmu Matematika dan Terapan, 15(1).