第10章 地理实验和交叉实验
在本书第四部分，你学习了如何利用随时间的重复观测来辅助因果推断过程。现在，在本章中，你将从不同角度探讨同一个问题。要是你必须设计一个实验来收集数据，而非不得不使用面板数据来识别处理效应，那会怎么样呢？本书第五部分专门介绍当简单的 \(A/B\) 测试不可行时的替代实验设计。
例如，让我们思考上一章的营销问题。要知道，推断营销的影响颇具挑战性，因为你无法对那些还不是你客户的人进行随机分组。在线营销为你提供了归因工具，但归因和增量性并非一回事。在这种情况下，一种很有前景的替代方法是开展地理实验：对整个市场，比如一个城市或一个州，进行处理，同时将其他市场作为对照组。这种方法会为你提供面板数据，你可以对这些数据应用在第四部分学到的技术。不过，在第四部分中，你是把面板数据当作既定数据来使用的，并没有学习在这样的实验中如何最佳地选择处理市场和对照市场。在本章中，你将弥补这一空白。本章的第一部分将教你如何选择地理处理单元，以得到一个效果估计值，这个估计值近似于如果整个市场（国家、州）都被处理时你会得到的效果。
思路是将分析单元从客户扩大到城市或州。当然，这在样本量方面是有代价的，因为客户的数量远比城市多。在一些极端情况下，甚至对城市进行随机分组都不可能。例如，如果你是一家在当地运营的小公司，你可能没有很多市场来开展实验。在极限情况下，你可能只有一个分析单元。幸运的是，仍然有解决办法。交叉实验涉及多次开启和关闭处理。即使你只有一个处理单元，这种方法也能奏效。比如，如果你是一家在单个城市运营的小型食品配送平台，并且你想知道提高配送费会发生什么情况，你可以多次提高和降低价格，并进行一系列的前后分析。本章的剩余部分将详细阐述这个想法以及如何设计交叉实验。
地理实验
为了说明地理实验的应用，让我们采用上一章的相同数据和例子。同样，你以城市为单位，以日期为时间维度；有一个 “处理（treated）” 列，用于标记该城市最终是否被处理；还有一个 “处理后（post - treatment）” 列，用于标记干预后的时期。你也有一些辅助列，比如该城市的人口（记录于 2013 年，所以是固定不变的）以及所在州。在这里，你要研究的结果是：应用程序的下载量。而且，由于目标是决定对哪个城市进行处理，你将舍弃干预后的时期：
from toolz.curried import *
import pandas as pd
import numpy as np
import statsmodels.formula.api as smf
import seaborn as sns
from matplotlib import pyplot as plt
import matplotlib
from cycler import cycler
color=['0.0', '0.4', '0.8']
default_cycler = (cycler(color=color))
linestyle=['-', '--', ':', '-.']
marker=['o', 'v', 'd', 'p']
plt.rc('axes', prop_cycle=default_cycler)
from sklearn.base import BaseEstimator, RegressorMixin
from sklearn.utils.validation import check_X_y, check_array, check_is_fitted
import cvxpy as cp
class SyntheticControl(BaseEstimator, RegressorMixin):
def __init__(self, fit_intercept=False):
self.fit_intercept = fit_intercept
def fit(self, y_pre_co, y_pre_tr):
y_pre_co, y_pre_tr = check_X_y(y_pre_co, y_pre_tr)
# add intercept
intercept = np.ones((y_pre_co.shape[0], 1))*self.fit_intercept
X = np.concatenate([intercept, y_pre_co], axis=1)
w = cp.Variable(X.shape[1])
objective = cp.Minimize(cp.sum_squares(X@w - y_pre_tr))
constraints = [cp.sum(w[1:]) == 1, w[1:] >= 0]
problem = cp.Problem(objective, constraints)
self.loss_ = problem.solve(eps_abs=1)
self.w_ = w.value[1:]
self.intercept_ = w.value[0]
self.is_fitted_ = True
return self
def predict(self, y_co):
check_is_fitted(self)
y_co = check_array(y_co)
return y_co @ self.w_ + self.intercept_import pandas as pd
import numpy as np
df = (pd.read_csv("./data/online_mkt.csv").astype({"date":"datetime64[ns]"}).query("post==0"))
df.head()## app_download population city state date post treated
## 0 3066.0 12396372 sao_paulo sao_paulo 2022-03-01 0 1
## 1 2701.0 12396372 sao_paulo sao_paulo 2022-03-02 0 1
## 2 1927.0 12396372 sao_paulo sao_paulo 2022-03-03 0 1
## 3 1451.0 12396372 sao_paulo sao_paulo 2022-03-04 0 1
## 4 1248.0 12396372 sao_paulo sao_paulo 2022-03-05 0 1目标是挑选一组能代表整个市场的城市。这样一来，如果你对这组城市进行（某种）处理，你就能了解如果对整个市场（即整个国家）进行处理会发生什么情况。在你做任何复杂的事情之前，尝试一些简单的方法是值得的。如果你有很多地理单元（即很多城市），或许一种简单的 \(A/B\) 测试就能很好地奏效。只需随机选择一部分城市来组成处理组。这里唯一的不同之处在于，你将分析单元从人（潜在客户）转变为了整个城市。
不过，仍然很难知道多少个城市才足够。你可以从第 2 章的样本量公式（\(n = 16\sigma^{2}/\delta^{2}\)）入手。例如，如果你希望检测到 5% 的效果，它会告诉你，要进行那个实验，你大约需要 4 万个城市：
detectable_diff = df["app_download"].mean()*0.05
sigma_2 = df.groupby("city")["app_download"].mean().var()
np.ceil((sigma_2*16)/(detectable_diff)**2)## 36663.0但那个公式没有考虑到每个城市的结果方差不同（人口更多的城市方差更低），也没有考虑到你可以利用对同一单元的重复观察来提高估计的精确度。即便如此，4 万个城市似乎比你在这份数据中拥有的 50 个城市多得多。所以，如果你缺少（实验）单元，你能做些什么呢？
在考虑不同的实验选项时，必须考虑到你将如何解读结果。例如，如果你计划使用双重差分法，你可以找出结果变量趋势相似的城市对，并在每一对中进行随机分组。一个城市会接受处理，而另一个则作为对照组。然而，值得注意的是，双重差分法估计的是对处理组的 \(ATT\)。如果你想了解处理的整体效果，比如在全国范围内开展营销活动，ATT 估计值可能无法得出这一点。在本章中，我们将探讨一个想法，即通过确定一个能代表整个市场的处理组，来最大化实验的外部有效性。
合成控制法设计
找到一组其时间序列能最好地近似感兴趣结果的单元，这正是你一直在用合成控制法做的事。所以，你可以重新利用这种方法来找到一个能近似所有单元平均行为的合成处理单元，这并不奇怪。要做到这一点，你只需要矩阵形式的数据，其中行是时间段，列是城市，记为\(Y_{T,n}\)：
pd.set_option('display.max_columns', 6)
df_piv = df.pivot(index="date", columns="city", values="app_download")
df_piv.head()## city ananindeua aparecida_de_goiania aracaju ... teresina \
## date ...
## 2022-03-01 11.0 54.0 65.0 ... 68.0
## 2022-03-02 5.0 20.0 42.0 ... 17.0
## 2022-03-03 2.0 0.0 0.0 ... 55.0
## 2022-03-04 0.0 0.0 11.0 ... 49.0
## 2022-03-05 5.0 5.0 0.0 ... 31.0
##
## city uberlandia vila_velha
## date
## 2022-03-01 29.0 63.0
## 2022-03-02 29.0 11.0
## 2022-03-03 30.0 14.0
## 2022-03-04 35.0 0.0
## 2022-03-05 6.0 1.0
##
## [5 rows x 50 columns]现在，让我们考虑一下您想要实现的目标。首先，我们要记住，每个城市对平均值的贡献是不同的。为了得到全球平均值，首先需要知道每个城市对它的贡献有多大。这可以用一个城市权重向量 f 来表示，其中每个条目 i 代表城市 i 在整个市场中所占的份额：
f = (df.groupby("city")["population"].first() / df.groupby("city")["population"].first().sum())
f.head()## city
## ananindeua 0.007889
## aparecida_de_goiania 0.008785
## aracaju 0.009818
## belem 0.021990
## belford_roxo 0.007521
## Name: population, dtype: float64一旦定义了 f ，您就会发现您的目标是首先找到一组权重 \(w\)，使得：
\(Y\_post \space f = Y\_post \space w\)
用文字来解释，您想要找到一个经过处理的城市的组合，当与权重 w 结合时，将为您提供市场的平均结果。 这样来看，显而易见的解决方案是将 f 设置为 = w ，但这将意味着处理每个城市，这将使您没有任何控制单元来评估处理效果，因此您必须添加一个约束，即 w 中非零元素的数量必须小于 N，即城市的数量：|w |0 < N (|.|0 是 L0 范数，即非零元素的数量)。 此外，由于您没有观察到 Y 的干预后值，因此先前的目标不可能解决。 不过，让我们仍然将其视为理想情况，看看是否可以以某种方式对其进行近似。
如果之前的目标找到了可以用作处理组的城市，那么你的第二个目标是找到另一组城市，这组城市与第一组不同，并且也近似于市场平均水平：
\[ Y_{post} f = Y_{post} \mathbf{v} \\ s.t. w_l v_i = 0 \quad \forall i \]
结合这两个目标，\(\mathbf{w}\) 和 \(\mathbf{v}\) 中的非零元素将分别代表处理组和控制组的城市。此外，第二个目标引入了一个约束，该约束表明你不能将同一个城市同时用作处理组和控制组。再次说明，这个目标是不可行的，因为它考察的是处理后的时期。
现在，你只需要稍微思考一下，如何将那些不可能实现的目标换成一个你可能能够解决的目标。显而易见的第一步是关注干预前时期。这意味着你需要找到两组不相交的城市群体，使得每组城市的加权平均数接近市场平均数。单凭这一点就足够了，但实际上，你可能还想增加一些额外的约束条件。例如，由于你的目标是先测试一项营销活动，然后再将其推广到整个市场，所以你可能不想选择大量的测试城市。庞大的测试群体几乎会影响到所有人，从而在某种程度上失去测试的目的。
此外，在许多市场中，城市规模往往服从指数分布，少数城市占据了几乎整个市场（见图 10-1）。如果你使用经典的合成控制公式，你将被迫包括最大的城市，因为你不允许外推。
plt.figure(figsize=(12,3))
plt.bar(f.sort_values().index, f.sort_values().values)
plt.title("Size of each city as a proportional of the market (f vector)")
plt.xticks(rotation=90, fontsize=14);
因此，你可能希望在合成控制模型中考虑截距的变化。将这些额外的要求结合起来，把两个目标都包含在内，并添加合成控制的约束条件，你最终会得到以下目标函数：
\(\begin{align*} &\min_{w,v} \ \ \|\mathbf{Y}_{pre}\mathbf{f} - \mathbf{Y}_{pre}\mathbf{w}_{tr} - \alpha_0\|^2 + \|\mathbf{Y}_{pre}\mathbf{f} - \mathbf{Y}_{pre}\mathbf{v}_{co} - \beta_0\|^2 \\ &\text{s.t} \ \ \sum w_i = 1 \ \text{and} \ \sum v_i = 1, \\ & \ \ \ \ \ \ \ w_i, v_i \geq 0 \ \forall \ i, \\ & \ \ \ \ \ \ \ w_i v_i = 0 \ \forall \ i, \\ & \ \ \ \ \ \ \ |\mathbf{w}|_0 \leq m \end{align*}\)
我知道这看起来很复杂，但其实并非如此。首先，它在合成处理组和合成控制组的目标中都添加了截距项\(\alpha_0\)和\(\beta_0\)。然后，它添加了一系列约束条件。前两行只是传统的合成控制约束，规定权重必须总和为 1 且为非负。接下来，有一个约束条件表明，一个城市不能同时用于处理组和控制组。最后，有一个关于你希望处理组中城市最大数量 \(m\) 的约束。
在你急着去用 cvxpy 实现这个目标之前，我很遗憾地告诉你，它不是凸的。但也别太担心这个。找到最理想的处理组和控制组城市集合并非绝对必要。在大多数情况下，找到足够好的集合是相当容易的。所以，为了简便起见，让我们看看如何编写一个更简单的优化程序。
尝试随机选择一组处理单元
首先，让我们尝试一种极其简单的方法，那就是随机选择一组城市。为了做到这一点，我们首先定义一些常量：\(\mathbf{Y}_{pre}\mathbf{f}\)（你试图近似的市场平均值）、所有可能城市的列表以及 \(m\)（处理城市的最大数量）。我把最后这个（m）设为 5，但这取决于你的业务约束条件。如果你的预算只允许，比如说，3 个处理城市，你可以随意更改这个数字：
y_avg = df_piv.dot(f)
geos = list(df_piv.columns)
n_tr = 5接下来，让我们随机挑选一组五个城市，看看它们作为一个可能的处理组表现如何：
np.random.seed(1)
rand_geos = np.random.choice(geos, n_tr, replace=False)
rand_geos## array(['manaus', 'recife', 'sao_bernardo_do_campo', 'salvador', 'aracaju'],
## dtype='<U23')这些是可能的处理城市，但你仍然需要为它们找到权重。如果其中一些权重结果为零，你就不需要使用全部五个城市。
为了得到权重，我使用了允许截距变化的SyntheticControl类，这个类是在前一章中实现的。思路是仅使用这五个城市，通过合成控制法来预测y_avg：
def get_sc(geos, df_sc, y_mean_pre):
model = SyntheticControl(fit_intercept=True)
model.fit(df_sc[geos], y_mean_pre)
selected_geos = geos[np.abs(model.w_) > 1e-5]
return {"geos": selected_geos, "loss": model.loss_ }
get_sc(rand_geos, df_piv, y_avg)## {'geos': array(['salvador', 'aracaju'], dtype='<U23'), 'loss': 1598627.133700411}一旦完成（上述操作），你可以检查估计的权重，并选择那些权重不太接近零的城市。我把所有这些步骤都封装在一个函数里，这样你就可以尝试许多不同的样本，看看哪一个表现更好。另外，保存合成控制的损失也是值得的，因为最小化这个损失将是你的目标。
当你用那五个城市拟合一个合成控制模型时，你会发现它只选择了其中两个作为处理组。另外三个可以重新放回可能的城市池里，并组成对照组。
至此，你已经准备好进入下一步了，也就是找到合成处理组和合成控制组：
def get_sc_st_combination(treatment_geos, df_sc, y_mean_pre):
treatment_result = get_sc(treatment_geos, df_sc, y_mean_pre)
remaining_geos = df_sc.drop(
columns=treatment_result["geos"]
).columns
control_result = get_sc(remaining_geos, df_sc, y_mean_pre)
return {"st_geos": treatment_result["geos"],
"sc_geos": control_result["geos"],
"loss": treatment_result["loss"] + control_result["loss"]}
resulting_geos = get_sc_st_combination(rand_geos, df_piv, y_avg)首先，你需要对随机抽取的城市样本调用get_sc，就像之前那样。这会为你提供处理城市和合成处理损失。接下来，你要找出哪些城市没有被选作合成处理单元，然后再次调用get_sc，传入剩下的城市。第二次调用get_sc会为你提供控制城市和合成控制损失。如果你把这两个损失相加，最终会得到你希望最小化的总损失。
正如预期的那样，用同样的五个城市调用get_sc_st_combination，会给你提供和之前一样的处理单元：
resulting_geos.get("st_geos")## array(['salvador', 'aracaju'], dtype='<U23')有趣的是，处理城市和控制城市的总数达到了全部 50 个城市。但这不应令人惊讶，尤其是当m较小时：
len(resulting_geos.get("st_geos")) + len(resulting_geos.get("sc_geos"))## 38如果\(m = 0\)（没有处理单元），显然的解决方案是选择所有城市作为对照组，并令\(\mathbf{v} = \mathbf{f}\)。当\(m > 0\)但仍然很小的时候，选择所有城市并略微调整权重往往是最优选择。这也意味着，总损失的大部分将来自合成处理的目标，因为当m较小时，合成控制往往能很好地重构市场的平均行为。如此一来，当把合成处理组和对照组与市场平均值一起绘制时，你会发现，虽然合成处理组的拟合效果很差，但合成对照组几乎完全匹配平均值：
synthetic_tr = SyntheticControl(fit_intercept=True)
synthetic_co = SyntheticControl(fit_intercept=True)
synthetic_tr.fit(df_piv[resulting_geos.get("st_geos")], y_avg)SyntheticControl(fit_intercept=True)In a Jupyter environment, please rerun this cell to show the HTML representation or trust the notebook.
On GitHub, the HTML representation is unable to render, please try loading this page with nbviewer.org.
SyntheticControl(fit_intercept=True)
synthetic_co.fit(df_piv[resulting_geos.get("sc_geos")], y_avg)SyntheticControl(fit_intercept=True)In a Jupyter environment, please rerun this cell to show the HTML representation or trust the notebook.
On GitHub, the HTML representation is unable to render, please try loading this page with nbviewer.org.
SyntheticControl(fit_intercept=True)
plt.figure(figsize=(10,4))
plt.plot(y_avg, label="Average")
plt.plot(y_avg.index, synthetic_co.predict(df_piv[resulting_geos.get("sc_geos")]), label="sc", ls=":")
plt.plot(y_avg.index, synthetic_tr.predict(df_piv[resulting_geos.get("st_geos")]), label="st")
plt.xticks(rotation=45)## (array([19052., 19059., 19066., 19073., 19083., 19090., 19097., 19104.,
## 19113.]), [Text(19052.0, 0, '2022-03-01'), Text(19059.0, 0, '2022-03-08'), Text(19066.0, 0, '2022-03-15'), Text(19073.0, 0, '2022-03-22'), Text(19083.0, 0, '2022-04-01'), Text(19090.0, 0, '2022-04-08'), Text(19097.0, 0, '2022-04-15'), Text(19104.0, 0, '2022-04-22'), Text(19113.0, 0, '2022-05-01')])plt.legend()
随机搜索
让我们看看如何改进你刚刚得到的结果。既然你有办法根据城市数量计算总损失，你可以设计许多复杂的方法来最小化该损失。但由于我非常喜欢简洁的方式，我建议的是只需随机搜索大量组合，然后挑选一个表现还不错的。下面的代码正是这样做的。它首先生成
1000 组各含 5
个城市的集合，并将所有内容存储在geo_samples列表中。然后，它对数据和平均市场结果参数部分应用get_sc_st_combination。最后，它将该函数应用于这
1000 组城市，所有这些都以并行方式进行：
from joblib import Parallel, delayed
from toolz import partial
np.random.seed(1)
geo_samples = [np.random.choice(geos, n_tr, replace=False) for _ in range(1000)]
est_combination = partial(get_sc_st_combination,df_sc=df_piv,y_mean_pre=y_avg)
results = Parallel(n_jobs=1)(delayed(est_combination)(geos) for geos in geo_samples)## D:\PROGRA~1\python3\lib\site-packages\cvxpy\problems\problem.py:1539: UserWarning: Solution may be inaccurate. Try another solver, adjusting the solver settings, or solve with verbose=True for more information.
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## dtype='object', name='city'), 'loss': 2370419.0674107126}]优化
像你刚才那样将受处理城市选择问题公式化，是对阿巴迪和赵的论文《用于实验设计的合成控制》中所提出问题的一种简化。该论文建议使用枚举法，或者将优化问题转化为带约束的二次规划问题。这两种方法运行起来都需要大量时间，这就是为什么我建议先检查简单的随机搜索是否足以找到合适的受处理城市。
我自己也针对这个问题尝试过遗传算法，发现在迭代次数相同的情况下，它们往往能比简单的随机搜索取得更好的结果。此外，杜德琴科等人的论文《用合成控制设计实验》提出了一种模拟退火过程来选择最佳的城市集合。如果你发现简单的随机搜索不够好，我建议你尝试这些算法。
检查选定的受处理城市，你会发现模型只选了四个城市。不足为奇的是，最大的城市圣保罗就在其中。这种情况往往会发生，因为最大的城市在整个市场平均值中占了很大一部分，所以将它们纳入受处理组往往会大大降低损失。
如果你希望避免这种情况，你完全可以将最大的城市从可能的控制单元中排除：
resulting_geos = min(results, key=lambda x: x.get("loss"))
resulting_geos.get("st_geos")## array(['sao_bernardo_do_campo', 'joao_pessoa', 'feira_de_santana',
## 'sao_paulo', 'porto_alegre'], dtype='<U23')再次绘制合成控制组和受处理组的情况，你可以看到，尽管这种方法很简单，但它能为你提供一个效果相当不错的解决方案，合成受处理组和控制组都能相当紧密地跟踪市场平均值：
其他实验目标
将合成受处理组和控制组的目标函数之和最小化，目的是让你能最大化实验的外部有效性。通过选择与市场平均值非常相似的受处理组，希望能借助一个小型实验，了解如果该处理在全国范围内实施会发生什么情况。不过，这并非唯一可能的目标。杜德琴科等人的论文《用合成控制设计实验》，着重于通过选择一组样本外误差低的单元来最大化实验的效力。后续的一篇论文，即杜德琴科等人的《合成设计：一种采用合成控制的实验设计优化方法》，将受处理单元的选择转化为混合整数规划模型，以找出能使效应估计的均方根误差最小的单元。
最后，值得一提的是，即便你使用合成控制设计来设计实验，也不一定非得用合成控制来解读实验结果，尽管这无疑是个合理的想法。例如，你可以使用合成双重差分法，因为它往往能降低估计量的方差。不过，你确实得小心如何估计由此产生的估计量的方差。由于选定的城市组并非随机的，基于将处理重新分配给不同单元的推断程序是无效的。幸运的是，你在上一章学到的 t 检验并未对单元是如何被选择的做出假设，所以你可以在这里使用它。
交叉实验
合成控制实验设计在你只有少量单位，且想要从中选出最佳组合来构成一个处理组时非常有用。不过，要做到这一点，你仍然需要一定数量的单位。但要是你只有，比如说，四个单位甚至一个单位，那会怎么样呢？举个例子，假设你是一家在单一城市运营的小型食品配送平台。这家公司采用动态定价来调节食品配送平台的供需，并且想知道提高配送费如何通过吸引更多司机加入车队，同时抑制或延迟客户需求，从而对配送时间产生影响。要注意的是，传统的 A/B 测试在这里并不适用。对 50% 的客户提高价格也会让控制组的客户受益，因为整体需求会下降，可用司机的数量就会增加。
而且，合成控制实验也不适用，因为这家公司只在一座城市运营。不过，有一种实验设计在这种情况下或许可行。
如果价格上涨的影响在价格回到正常水平后会很快消退，公司可以多次开启和关闭涨价措施，并进行一系列的前后对比。这种方法被称为交叉实验，它在只有一个或极少数单位的情况下非常适用。但要让它有效， carryover（遗留、延续）效应的程度必须很小。也就是说，处理（此处指涨价等操作）的影响不能在处理结束后持续很多个周期。例如，在食品配送的案例中，涨价往往会在之后不久导致供应增加；当价格恢复正常时，过剩的供应会在几个小时内消失。因此，carryover 效应的程度很小，所以交叉实验是一个有趣的选择。
在讨论交叉实验的设计之前，由于这是它们在本书中首次出现，我认为有必要带大家详细了解一个交叉实验，好让你们掌握它们的运作方式。下面的数据框包含了一项有 120 个周期的交叉实验数据，每个周期为 1 小时。在这个实验中，每个时间段都会对处理（组）进行随机分配，有 50% 的概率选择处理组或对照组。
“d” 列会告诉你在那个小时里涨价（处理）是开启还是关闭，而 “delivery_time” 是我们关注的结果。此外，我添加了三列在现实中无法观测到的内容，但它们应该能帮助你理解正在发生的情况。“delivery_time_1” 是如果处理一直开启时你会得到的配送时间，“delivery_time_0” 则是如果处理一直关闭时的配送时间。它们之间的差值 “tau”，就是处理的总效应，通常这也是交叉实验中我们关注的因果量。由于处理会减少配送时间，所以这个效应是负的。而且，由于遗留效应，前两个周期的效应更小：
df = pd.read_csv("./data/sb_exp_every.csv")
df.head()## d delivery_time delivery_time_1 delivery_time_0 tau
## 0 1 2.84 2.84 5.84 -3.0
## 1 0 4.49 1.49 6.49 -5.0
## 2 0 7.27 2.27 8.27 -6.0
## 3 1 5.27 2.27 8.27 -6.0
## 4 1 5.59 4.59 10.59 -6.0图 10-2 显示，观测到的配送时间在处理一直开启和一直关闭时的配送时间之间波动。此外，在连续三次相同的处理后，观测到的结果与处理一直开启或一直关闭时的结果相匹配。
以 T = 20 到 T = 23 为例。在这些时间点，由于偶然因素，处理连续三个或更多周期处于开启状态，此时配送时间与处理一直开启时的配送时间一致。相反，在 T ≈ 32 附近，你可以看到处理连续三个或更多周期处于关闭（对照）状态的序列。在那个时间点，结果与处理一直关闭时的结果一致。如果处理开启或关闭的连续周期数少于三个，观测到的结果就处于中间某个位置。这说明，在这种情况下，结果取决于三个周期的处理：即时处理以及前两个周期的处理：
\(Y_t = f(d_{t - 2}, d_{t - 1}, d_t)\)
换句话说，遗留效应的阶数是 2。
当然，在现实中，你不会知道这一点，因为你只能看到观测到的结果。但也不用太担心这个。我会向你展示如何估计遗留效应的周期长度。现在，我只是想让你对交叉实验有一个直观的理解。除此之外，你将能够形成一种更正式的语言来描述正在发生的情况。
序列的潜在结果
由于处理的效应会延续到后续时间（本例中为 2 个时间单位），在涉及交叉实验时，潜在结果必须依据一组处理向量来定义，即\(Y_t(\mathbf{D}) = Y_t([d_0, d_1, d_2, \dots, d_T])\)。幸运的是，通过两个假设，你可以简化这一表述。首先，若假设不存在对处理的预期，潜在结果将仅依赖当前和过去的处理，而非未来的处理。因此，你可以将其写成\(Y_t(\mathbf{D}) = Y_t([d_0, d_1, d_2, \dots, d_t])\)。如果知道遗留效应的周期长度m，你可以将其写成\(Y_t(\mathbf{D}) = Y_t([d_{t - m}, \dots, d_t])\)。由于此处\(m = 2\)，潜在结果简化为\(Y_t(\mathbf{D}) = Y_t([d_{t - 2}, d_{t - 1}, d_t])\)，这比完全不做任何假设时的情况简单得多。
在定义了这些潜在结果之后，你可以将处理的总效应写成：
\(\tau_m = E\left[Y_t\left(1_{t - m}, \dots, 1_t\right) - Y_t\left(0_{t - m}, \dots, 0_t\right)\right]\)
这是从处理一直关闭到处理一直开启的效应。在\(m = 2\)的情况下，这会是\(E\left[Y_t\left(1, 1, 1\right) - Y_t\left(0, 0, 0\right)\right]\)。由于所有这些简化都要求你知道m，现在让我们把注意力转向这一点。
估计遗留效应的阶数
假设你具备一些商业专业知识，能为m设定一个上限。例如，你知道涨价的影响持续时间不超过 6 小时。在这种情况下，你可以用回归法估计以下模型：
\(y_t = \alpha + d_t + d_{t - 1}, \dots, d_{t - K} + e_t\)
并查看参数估计值的大小和显著性。遗留效应的阶数将取决于哪些参数在统计上显著，同时对结果有较大影响。
需要注意的是，这又引入了另一个假设，即滞后效应是可加的：
\(Y_t = f(d_t, d_{t - 1}, d_{t - 2}) = \alpha + d_t + d_{t - 1} + d_{t - 2} + e_t\)
要创建处理的滞后项，你可以使用 pandas
中的.shift(lag)方法。
为了通过编程创建六个滞后项，我利用了这样一个事实：.assign(...)方法将你想要创建的新列的名称作为参数，而且在
Python
中，你可以使用**和一个字典来传递命名参数。例如，df.assign(a=1, b=1)和df.assign(**{"a":1, "b":2})是一样的：
df_lags = df.assign(**{
f"d_l{l}" : df["d"].shift(l) for l in range(7)
})
df_lags[[f"d_l{l}" for l in range(7)]].head()## d_l0 d_l1 d_l2 ... d_l4 d_l5 d_l6
## 0 1 NaN NaN ... NaN NaN NaN
## 1 0 1.0 NaN ... NaN NaN NaN
## 2 0 0.0 1.0 ... NaN NaN NaN
## 3 1 0.0 0.0 ... NaN NaN NaN
## 4 1 1.0 0.0 ... 1.0 NaN NaN
##
## [5 rows x 7 columns]一旦你得到带有滞后项的数据，你所要做的就是将结果对滞后项和当前处理（可以看作滞后 0 项）进行回归。要注意的是，statsmodels 会删除含有缺失值（NaNs）的行：
import statsmodels.formula.api as smf
model = smf.ols("delivery_time ~" + "+".join([f"d_l{l}"
for l in range(7)]),
data=df_lags).fit()
model.summary().tables[1]| coef | std err | t | P>|t| | [0.025 | 0.975] | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Intercept | 9.3270 | 0.461 | 20.246 | 0.000 | 8.414 | 10.240 |
| d_l0 | -2.9645 | 0.335 | -8.843 | 0.000 | -3.629 | -2.300 |
| d_l1 | -1.8861 | 0.339 | -5.560 | 0.000 | -2.559 | -1.213 |
| d_l2 | -1.0013 | 0.340 | -2.943 | 0.004 | -1.676 | -0.327 |
| d_l3 | 0.2594 | 0.341 | 0.762 | 0.448 | -0.416 | 0.935 |
| d_l4 | 0.1431 | 0.340 | 0.421 | 0.675 | -0.531 | 0.817 |
| d_l5 | 0.1388 | 0.340 | 0.408 | 0.684 | -0.536 | 0.813 |
| d_l6 | 0.5588 | 0.336 | 1.662 | 0.099 | -0.108 | 1.225 |
通过观察滞后参数，你可以发现它们在滞后 2 以内是显著的，这表明遗留效应的阶数为 2。有趣的是，利用回归模型，你不需要知道遗留效应的正确阶数m就能估计总效应\(\tau_m\)。只要你的回归包含的滞后项数量多于正确的m，你只需将所有滞后参数估计值相加即可：
\(\widehat{\tau}_m = \sum_{l=0}^{lags} \widehat{d}_{t - l}.\)
要计算方差，你还必须将每个单独滞后项的方差相加：
## remember to remove the intercept
tau_m_hat = model.params[1:].sum()
se_tau_m_hat = np.sqrt((model.bse[1:]**2).sum())
print("tau_m:", tau_m_hat)## tau_m: -4.751686115272054print("95% CI:", [tau_m_hat -1.96*se_tau_m_hat,
tau_m_hat +1.96*se_tau_m_hat])## 95% CI: [-6.50871837815459, -2.9946538523895185]由于你使用了大量滞后项，总效应估计值会相当不精确。但如果你确定使用两个滞后项，你可以大幅降低方差：
## selecting lags 0, 1 and 2
tau_m_hat = model.params[1:4].sum()
se_tau_m_hat = np.sqrt((model.bse[1:4]**2).sum())
print("tau_m:", tau_m_hat)## tau_m: -5.851856895442306print("95% CI:", [tau_m_hat -1.96*se_tau_m_hat,
tau_m_hat +1.96*se_tau_m_hat])## 95% CI: [-7.000105171362177, -4.703608619522434]基于设计的估计
之前的方法依赖于对潜在结果\(Y_t(\mathbf{D})\)的模型进行正确设定。由于这是一个时间序列，这并非一项简单的任务。另一种替代方法是使用类似逆倾向评分加权（IPW）的方法来估计\(\tau_m\)，这种方法只需要了解处理是如何分配的。由于处理分配是由设计实验的公司控制的，所以第二种方法依赖的假设更具合理性。它只需要你知道遗留效应的阶数m。
记住，逆倾向评分加权（IPW）通过用处理概率的倒数来放大观测结果，从而重构潜在结果，即\(E\left[\widehat{Y}_d\right] = N^{-1} \sum \left(Y_d \mathbb{I}(D = d) / P(D = d)\right)\)。
你会做同样的事，但现在你必须考虑到潜在结果是依据一组处理向量来定义的。例如，在效应延续两个周期（\(m = 2\)）的情况下，你想要重构\(Y_t(0, 0, 0)\)和\(Y_t(1, 1, 1)\)，这需要你计算连续观测到三次相同处理的概率。对于\(m = 2\)，那会是\(P(d_{t - 2} = d, d_{t - 1} = d, d_t = d)\)，或者更一般地：
\(P(\mathbf{D}_{t - m:t} = \mathbf{d}),\)
其中\(\mathbf{D}_{t - m:t}\)是当前和过去m次处理的向量，\(\mathbf{d}\)是常数处理d的向量。在这里，你可以关注随机化概率p始终为 50% 的情况。也就是说，在每个随机化点，处理有 50% 的概率保持不变或切换。就实验设计而言，这会增加实验的效力，因为它增加了处理的方差。从估计过程来看，这使得\(P\left(\mathbf{D}_{t - m:t} = \mathbf{1}\right) = P\left(\mathbf{D}_{t - m:t} = \mathbf{0}\right)\)。然而，这并不意味着\(P\left(\mathbf{D}_{t - m:t} = \mathbf{d}\right)\)在所有地方都相同。实际上，这个概率取决于随机化点以及你在序列中的位置。在你的食品配送示例中，\(p = 50\%\)，并且在每个时间段都会对处理进行随机化。因此，观测到三次连续处理（如序列\([1,1,1,1,1,1]\)）的连续概率是\([\text{na}, \text{na},.5^3,.5^3,.5^3,.5^3]\)。不过，如果你每三个周期进行一次随机化，相同的序列的连续概率是\([\text{na}, \text{na},.5,.5^2,.5^2,.5]\)。这是因为，在\(t = 4,5\)时，包含当前时间段和前两个时间段的滞后 2 窗口将包含两个随机化点。
我希望这很容易概念化，但不幸的是，编码起来并不那么容易。我会尽力解释它是如何实现的，但这确实需要一些巧妙的数组操作。不过，也许这能教你一些新的 NumPy 技巧。为了让事情更具体，让我们试着计算在每三个周期进行一次随机化的情况下，观测到\(m + 1\)次连续相同处理的连续概率：
rad_points_3 = np.array([True, False, False]*(2))
rad_points_3## array([ True, False, False, True, False, False])第一步是从随机化点中识别出随机化窗口。你可以利用这样一个事实：“True” 会被解释为 1，“False” 会被解释为 0。如果你计算随机化点的累积和，这个和会在每个随机化点处增加 1：
rad_points_3.cumsum()## array([1, 1, 1, 2, 2, 2])现在，你可以将每个随机化窗口视为由相同整数组成的序列。你有两个大小均为 3 的随机化窗口。
下一步是计算遗留效应窗口，其大小为\(m +
1\)。要注意，在这种情况下，随机化窗口与遗留效应窗口是相等的，但一般情况下并非如此，所以代码必须能适用于不同的m值。一种实现方法是使用
NumPy
中的sliding_window_view函数，顾名思义，该函数会创建一个滑动窗口数组。需要注意的是，这个函数会舍弃前m个窗口，因为它们是不完整的：
from numpy.lib.stride_tricks import sliding_window_view
m = 2
sliding_window_view(rad_points_3.cumsum(), window_shape=m+1)## array([[1, 1, 1],
## [1, 1, 2],
## [1, 2, 2],
## [2, 2, 2]])从这些窗口中，你可以计算每个遗留效应窗口中包含多少个随机化窗口。这仅仅是每个遗留效应窗口中不同数字的数量。遗憾的是，NumPy
没有一个能沿轴统计唯一元素数量的函数，所以你得自己构建一个。要做到这一点，你可以使用np.diff函数，它能计算数组中后续元素的差值：
np.diff(sliding_window_view(rad_points_3.cumsum(), 3), axis=1)## array([[0, 0],
## [0, 1],
## [1, 0],
## [0, 0]])然后，最后，对列求和并加
1，就得到原始数组每个点处的随机化窗口数量。要注意，结果从索引 2（\(T =
3\)）开始，因为sliding_window_view舍弃了前m个窗口。在这个例子中，当\(T =
3\)时，最后三个条目包含一个随机化窗口；当时间\(T =
4\)时，包含两个随机化窗口，依此类推。为避免混淆，你可以在数组开头添加m个np.nan：
n_rand_windows = np.concatenate([
[np.nan]*m,
np.diff(sliding_window_view(rad_points_3.cumsum(), 3),
axis=1).sum(axis=1)+1
])
n_rand_windows## array([nan, nan, 1., 2., 2., 1.])现在，要得到概率向量，你所要做的就是取实验的概率（在这种情况下是 0.5），并将其以之前的数组为指数进行运算：
p=0.5
p**n_rand_windows## array([ nan, nan, 0.5 , 0.25, 0.25, 0.5 ])下面是把所有步骤整合到一个函数里的代码。你也可以验证一下，这个逻辑对于其他随机化频率是否适用，比如每个周期都进行随机化的情况：
def compute_p(rand_points, m, p=0.5):
n_windows_last_m = np.concatenate([
[np.nan]*m,
np.diff(sliding_window_view(rand_points.cumsum(), m+1),
axis=1).sum(axis=1)+1
])
return p**n_windows_last_m
compute_p(np.ones(6)==1, 2, 0.5)## array([ nan, nan, 0.125, 0.125, 0.125, 0.125])甚至对于非规则的随机化间隔也是如此：
rand_points = np.array([True, False, False, True, False, True, False])
compute_p(rand_points, 2, 0.5)## array([ nan, nan, 0.5 , 0.25, 0.25, 0.25, 0.25])但所有这些都只是为了计算\(P(\mathbf{D}_{t - m:t} = \mathbf{d})\)。你仍然需要看看潜在结果估计量的其余部分：
\(\widehat{Y}(\mathbf{d}) = \frac{1}{T - m} \sum_{t = m + 1}^{T} Y_t \frac{\mathbb{I}(\mathbf{D}_{t - m:t} = \mathbf{d})}{P(\mathbf{D}_{t - m:t} = \mathbf{d})}\)
换句话说，每当最后m次处理和当前处理都相同时，这个估计量会用你刚刚学会计算的连续概率来放大观测到的结果。然后，它会对这些放大后的结果取平均值。
要编写这段代码，唯一缺少的部分是分子中的指示函数，当最后\(m +
1\)次处理都等于d时，该函数的计算结果为true。幸运的是，既然你已经了解了sliding_window_view，做这件事就相当容易了。首先，创建处理数组的\(m +
1\)窗口视图。然后，检查该窗口中的所有元素是否都等于处理值。下面是一个实现该功能的函数：
def last_m_d_equal(d_vec, d, m):
return np.concatenate([
[np.nan]*m,
(sliding_window_view(d_vec, m+1)==d).all(axis=1)
])
print(last_m_d_equal([1, 1, 1, 0, 0, 0], 1, m=2))## [nan nan 1. 0. 0. 0.]print(last_m_d_equal([1, 1, 1, 0, 0, 0], 0, m=2))## [nan nan 0. 0. 0. 1.]将这个函数应用到处理向量\([1,1,1,0,0,0]\)上，当\(m = 2\)且试图找出当前和最后两个条目都处于处理状态（\(d = 1\)）的情况时，只有在第三个条目处返回 1，这是符合预期的。
现在，你终于可以把所有这些部分整合到切换实验的逆倾向评分加权（IPW）估计量中了：
\(\widehat{\tau} = \frac{1}{T - m} \sum_{t = m + 1}^{T} \left\{ Y_t \left( \frac{\mathbb{I}(\mathbf{D}_{t - m:t} = \mathbf{1})}{P(\mathbf{D}_{t - m:t} = \mathbf{1})} - \frac{\mathbb{I}(\mathbf{D}_{t - m:t} = \mathbf{0})}{P(\mathbf{D}_{t - m:t} = \mathbf{0})} \right) \right\}\)
def ipw_switchback(d, y, rand_points, m, p=0.5):
p_last_m_equal_1 = compute_p(rand_points, m=m, p=p)
p_last_m_equal_0 = compute_p(rand_points, m=m, p=1-p)
last_m_is_1 = last_m_d_equal(d,1,m)
last_m_is_0 = last_m_d_equal(d,0,m)
y1_rec = y*last_m_is_1/p_last_m_equal_1
y0_rec = y*last_m_is_0/p_last_m_equal_0
return np.mean((y1_rec-y0_rec)[m:])现在，让我们使用这个函数从价格上涨的切换实验中估计\(\tau\)。要记住，处理是在每个时间段进行随机化的，所以你可以将一个由True值组成的向量，即np.ones(len(df))==1，传递给rand_points参数：
ipw_switchback(df["d"],
df["delivery_time"],
np.ones(len(df))==1,
m=2, p=0.5)## -7.426440677966101这个估计效应略低（意味着价格对减少等待时间的作用更明显），比你用普通最小二乘法（OLS）得到的结果要低。另外，值得一提的是，它的方差要高得多。
在下面的图表中，我模拟了 500 个和你所做的类似的切换实验，并计算了总效应的 OLS 和 IPW 估计值。如你所见，两种方法都是无偏的，因为在这两种情况下，估计的\(\widehat{\tau}\)的平均值都与\(\tau\)相符。然而，IPW 的分布要分散得多：
最佳切换实验设计
我想我们都认同，从估计的角度来看，更多的方差是不合意的。然而，如果你计划设计一个切换实验，你可能想要保守一些，考虑最糟糕的可能情况。而且，你很可能希望尽可能少地做出假设。基于这个原因，采用逆概率加权（IPW）估计量，并试图设计出一种能降低其方差的实验方案，是一个很有吸引力的提议。首先，让我们从直观层面思考一下你可能会如何着手去做这件事。
从逆概率加权（IPW）估计量公式可知，它只保留具有\(m + 1\)个连续相同处理的序列。这意味着它会舍弃任何有不止一种处理分配的\(m + 1\)序列。如果你回顾展示实验观测结果和潜在结果的图表，这就意味着会舍弃上下潜在结果之间的所有数据。因此，如果你想使用更多数据，你所要做的就是确保有更多连续相同的处理。在极限情况下，你只需将所有处理序列设为 0 或 1。这会使可用数据最大化；然而，它会降低处理的方差 —— 并且，在这种极端情况下，会使估计变得不可能。由于估计量的方差可以通过既有更多有用数据又有更高的处理方差来降低，所以你必须在这两者之间找到平衡。
直观地说，一种方法是每\(m + 1\)个周期进行一次随机化。所以，在你的例子中，如果遗留效应的阶数是 2，你就会每三个周期进行一次随机化。这确实非常接近使方差最小的设计，但并不完全是。结果表明，当\(m > 0\)时，如果你改为每m个周期进行一次随机化，并在实验范围的开头和结尾添加一个大小为m的间隔，你可以略微改进它：
\(\mathbb{T}^* = \{1, 2m + 1, 3m + 1, \ldots, (n - 2)m + 1\},\)
其中\(\mathbb{T}^*\)是最优随机化点，m是遗留效应的阶数，n是满足\(T/m = n\)且\(n \geq 4\)的整数。实际上，这意味着实验的长度必须能被遗留效应的阶数整除，并且足够长，以包含至少四个大小为m的块。
提示
当不存在遗留效应（\(m = 0\)）时，最优设计就是在每个周期都进行随机化，这样既能保留所有数据，又能使处理方差最大化。
为了巩固你对这一点的理解，让我们来看一些例子。首先，如果\(T = 12\)且\(m = 2\)，你会在\(t = 1\)时进行随机化，在\(t = 3\)时留出一个大小为 2 的间隔，然后在\(t = 5\)、7、9时再次进行随机化，并在\(t = 11\)时留出一个大小为 2 的最终间隔：
m = 2
T = 12
n = T/m
np.isin(
np.arange(1, T+1),
[1] + [i*m+1 for i in range(2, int(n)-1)]
)*1## array([1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0])当\(m = 3\)且\(T = 15\)时，你同样在\(t = 1\)时进行随机化，然后在\(t = 4\)时留出一个大小为 3 的间隔，接着在\(t = 7\)、10时再次进行随机化，并在\(t = 13\)时留出一个大小为 3 的最终间隔：
m = 3
T = 15
n = T/m
np.isin(
np.arange(1, T+1),
[1] + [i*m+1 for i in range(2, int(n)-1)]
)*1## array([1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0])尽管这很有趣，但值得一提的是，通过这种最优设计你可能获得的方差降低，远不及通过做出模型假设并使用普通最小二乘法（OLS）所获得的方差降低。在下面的图表中，我模拟了 500 次实验，其中\(T = 120\)，\(m = 2\)，分别使用了最优设计、直观设计（每三个周期进行一次随机化）以及每个周期都进行随机化的设计。然后，我使用逆概率加权（IPW）估计量来估计所有实验中的效应。正如你所看到的，确实存在方差降低，但幅度并不大：
不过，由于最优设计实施起来相当简单，我觉得没有任何不采用它的理由。
稳健方差
我们已经大量讨论了降低方差的问题，但我还没告诉你们如何估计逆概率加权（IPW）估计量的方差。这是因为它实际上取决于你的实验设计。既然我们已经确定了一种最优设计，你就可以计算该设计所带来的方差。那么，为了举例说明，假设这家食品配送公司开展了第二次实验，和第一次实验很相似，其中\(T = 120\)，\(p = 0.5\)，但现在他们根据最优设计来确定随机化点。该实验的数据存储在以下数据框中：
df_opt = pd.read_csv("./data/sb_exp_opt.csv")
df_opt.head(6)## rand_points d delivery_time
## 0 True 0 5.84
## 1 False 0 5.40
## 2 False 0 8.86
## 3 False 0 8.79
## 4 True 0 10.93
## 5 False 0 7.02之前的逆概率加权（IPW）函数相当通用，所以你可以在这里用它来估计处理效应：
tau_hat = ipw_switchback(df_opt["d"],
df_opt["delivery_time"],
df_opt["rand_points"],
m=2, p=0.5)
tau_hat## -9.921016949152545现在来说方差。这个公式有点难看，但等我给你解析一下，你就会发现它没那么复杂。首先，我们把数据划分成\(K = T/m\)个块，使得每个块的大小为m。然后，将块k的结果之和定义为\(\overline{Y}_k = \sum Y_{km + 1:(k + 1)m}\)。例如，如果\(Y = [1, 1, 1, 2, 2, 3]\)，当\(m = 2\)，\(k = \{1, 2\}\)时，\(\overline{Y} = [\sum Y_{3:4}, \sum Y_{5:6}] = [3, 5]\)。注意，第一个块被舍弃了。在定义了这些块的和之后，对方差的一个保守估计如下：
\(\widehat{\sigma}(\widehat{\tau}) = \frac{1}{(T - m)^2}\left\{8\overline{Y}_1^2 + \sum_{k = 2}^{K - 1} 32\overline{Y}_k^2\mathbb{I}(d_{km + 1} = d_{(k + 1)m + 1}) + 8\overline{Y}_K^2\right\}\)
现在，让我为你解析它。首先，分母是样本量的平方。但由于你舍弃了前m个条目，所以必须减去m。分子由三个主要项组成。第一项和最后一项考虑了你在最优设计的开头和结尾留出的间隔。中间的项稍微复杂一些，因为它有这个指示函数。每当两个连续的块有相同的处理时，这个函数的取值为 1。要注意，由于开头和结尾的间隔，对于第一项和最后一项来说，这种情况肯定会发生，这就是为什么在那里不需要指示函数的原因。
要编写这个公式的代码，首先你需要确保T能被m整除，且整除的因数大于或等于
4。然后，你将使用hsplit和vstack函数。第一个函数会将数组划分成块，第二个函数会将这些块垂直堆叠起来。下面是一个例子：
np.vstack(np.hsplit(np.array([1,1,1,2,2,3]), 3))## array([[1, 1],
## [1, 2],
## [2, 3]])然后，你可以对那个堆叠起来的数组的列求和，得到\(\overline{Y}\)。
对于指示函数，你要做同样的操作，但针对处理向量。由于实验设计的性质，整个处理块要么是
1，要么是
0，所以你可以只取第一列来了解那个块被分配了哪种处理。要知道两个连续的块是否有相同的处理，可以使用diff函数。这会再舍弃一个块。下面是一个例子：
np.diff(np.vstack(np.hsplit(np.array([1,1,0,0,0,0]), 3))[:, 0]) == 0## array([False, True])现在，来看整个方差函数：
def var_opt_design(d_opt, y_opt, T, m):
assert ((T//m == T/m)
& (T//m >= 4)), "T must be divisible by m and T/m >= 4"
# discard 1st block
y_m_blocks = np.vstack(np.hsplit(y_opt, int(T/m))).sum(axis=1)[1:]
# take 1st column
d_m_blocks = np.vstack(np.split(d_opt, int(T/m))[1:])[:, 0]
return (
8*y_m_blocks[0]**2
+ (32*y_m_blocks[1:-1]**2*(np.diff(d_m_blocks)==0)[:-1]).sum()
+ 8*y_m_blocks[-1]**2
) / (T-m)**2最后，有了该函数，您可以估计方差，并在您的效应估计值周围放置置信区间：
se_hat = np.sqrt(var_opt_design(df_opt["d"],
df_opt["delivery_time"],
T=120, m=2))## D:\PROGRA~1\python3\lib\site-packages\numpy\core\fromnumeric.py:59: FutureWarning: 'Series.swapaxes' is deprecated and will be removed in a future version. Please use 'Series.transpose' instead.
## return bound(*args, **kwds)[tau_hat - 1.96*se_hat, tau_hat + 1.96*se_hat]## [-18.490627362048095, -1.351406536256997]这是一个相当宽的置信区间——比之前的那个宽得多，之前的那个使用的是 OLS 和将每个周期都随机化的设计。不过，如果您不想做进一步的模型假设，那么有时候，这种额外的方差是值得付出的代价。此外，即使您遵循优化后的设计，您仍然可以用 OLS 进行分析。即使这种最佳设计不是为了最小化 OLS 方差，但我发现它仍然比在每个周期都进行随机化提供更精确的估计值，例如。
寻找在更少假设下确定M
本章中介绍的最佳回溯实验设计、IPW估计器和方差估计器均取自Bojinov、Simchi-Levi和Zhao（是的，就是合成控制设计论文中的那个Zhao）的论文“回溯实验的设计与分析”。该论文包含一个更通用的最佳设计公式，该公式适用于T不能被m整除的情况。由于该公式更加复杂，且公司可以很容易地使T能够被m整除，因此我选择在此省略它。
此外，该论文提出了另一种寻找结转效应阶数m的程序。这个想法是基于运行两个最佳实验e₁和e₂，每个实验都使用m、m₁和m₂的候选值。假设m₁ < m₂。如果两个实验的影响估计相同，则不能拒绝假设H₀: m ≤ m₁。那是因为，如果m > m₁，则e₁将返回对e₂影响的更有偏差的估计。因此，您可以基于拒绝以下假设来搜索m：两个实验的影响估计相同，H₀: τ̂₁ = τ̂₂。
老实说，我不确定我是否喜欢这个程序。高方差会使得很难拒绝零假设，除非实验非常长（非常高的 T）。不过，这是我给你展示的 OLS 方法的一个替代方案，以防你不想做任何基于模型的假设。
核心思想
本章探讨了当您可以支配的实验单元数量相当少时的两种替代实验设计。 例如，当您被迫从对待客户扩展到对待整个城市时，就会发生这种情况，这在在线和线下营销中经常出现。
首先，你了解了合成控制设计。在这里，目标是找到一小组单元，当它们组合在一起时，能近似所有单元的平均行为。这可以通过最大化以下目标来实现：
\(\begin{align*} \min_{w,v} &\quad \|\mathbf{Y}_{pre}\mathbf{f} - \mathbf{Y}_{pre}\mathbf{w}_{tr} - \alpha_0\|^2 + \|\mathbf{Y}_{pre}\mathbf{f} - \mathbf{Y}_{pre}\mathbf{v}_{co} - \beta_0\|^2 \\ \text{s.t} &\quad \sum w_i = 1 \text{ and } \sum v_i = 1, \\ &\quad w_i, v_i \geq 0 \ \forall \ i, \\ &\quad w_i v_i = 0 \ \forall \ i, \\ &\quad |\mathbf{w}|_0 \leq m \end{align*}\)
其中\(\mathbf{f}\)对应每个单元对全局平均值的贡献权重，\(\mathbf{w}\)和\(\mathbf{v}\)是合成处理单元和控制单元的权重， \(m\) 是对处理单元最大数量的约束。
合成控制设计在实验单元数量相对较少的情况下非常有用，因为它允许你只对那些善于重现平均值的单元进行处理。此外，合成控制设计也非常适合遗留效应阶数较大的情况，这意味着处理效应需要很长时间才能消散。
如果情况并非如此 —— 也就是说，遗留效应的阶数很小 —— 那么切换实验往往会是一个不错的替代方案。即使你只有很少的、甚至只有一个实验单元，切换实验也能通过对同一个单元开启和关闭处理，然后进行大量的前后对比来发挥作用。
切换实验由处理概率（如果你想最大化功效，应将其设为 50%）以及随机化点，也就是进行随机化的时间段来定义。如果你知道遗留效应的阶数 \(m\) ，且 \(m\) 大于 0，那么最优设计是每\(m + 1\)个时间段进行一次随机化：
\(\mathbb{T}^* = \{1, 2m + 1, 3m + 1, \ldots, (n - 2)m + 1\},\)
其中\(n = T/m\)。要使这一设计有效，实验的时长 \(T\) 必须能被 \(m\) 整除，且整除的结果大于 4。此外，如果没有遗留效应（\(m = 0\)），最优设计就是在每个时间段都进行随机化。