SEBARAN DISTRIBUSI F

Pendahuluan

Sebaran F atau dikenal juga dengan Fisher-Snedecor Distribution merupakan salah satu sebaran probabilitas kontinu yang sangat penting dalam bidang statistika inferensial. Sebaran ini muncul secara alami ketika kita membandingkan dua varians yang diperoleh dari dua sampel acak independen yang berasal dari populasi berdistribusi normal.

Distribusi F diperkenalkan oleh Sir Ronald A. Fisher, seorang tokoh statistik terkenal yang banyak memberikan kontribusi dalam teori analisis varians (ANOVA) dan uji hipotesis. Oleh karena itu, sebaran ini sering disebut juga sebagai Sebaran Fisher.

Secara matematis, distribusi F didefinisikan sebagai rasio dari dua variabel acak chi-square yang telah dinormalisasi oleh derajat kebebasannya masing-masing, yaitu:

\[ F = \frac{(U_1 / v_1)}{(U_2/v_2)} \]

di mana:

\(U_1\) adalah peubah acak yang mengikuti sebaran \(\chi^2\) dengan derajat kebebasan \(v_1\)
\(U_2\) adalah peubah acak yang mengikuti sebaran \(\chi^2\) dengan derajat kebebasan \(v_2\)
dan \(v_1\) serta \(v_2\) adalah derajat kebebasan dari masing-masing variabel.

Distribusi F memiliki bentuk asimetris ke kanan (right-skewed), terutama ketika derajat kebebasan masih kecil. Namun, seiring dengan bertambahnya nilai derajat kebebasan \(v_1\) dan \(v_2\), bentuk distribusinya akan semakin mendekati simetris, menyerupai sebaran normal.

Sebaran F memainkan peranan yang sangat penting dalam berbagai uji statistik, di antaranya:

Uji perbandingan dua varians (Uji F Dua Sampel): digunakan untuk menentukan apakah dua populasi memiliki varians yang sama.
Analisis varians (ANOVA): digunakan untuk menguji apakah terdapat perbedaan rata-rata di antara lebih dari dua kelompok.
Regresi linear: distribusi F digunakan untuk menguji signifikansi model regresi secara keseluruhan.

Dengan demikian, pemahaman terhadap distribusi F sangat penting dalam praktik statistik karena menjadi dasar bagi pengujian model, pengendalian kualitas, hingga analisis perbedaan antar kelompok dalam penelitian sosial, eksperimental, dan industri.

Sebaran F terbentuk dari perbandingan dua variabel acak chi-square (\(\chi^2\)) yang telah dibagi dengan derajat kebebasannya masing-masing, yaitu:

\[ F = \frac{(U_1 / v_1)}{(U_2 / v_2)} \]

dengan: - \(U_1 \sim \chi^2(v_1)\) → peubah acak chi-square dengan derajat bebas \(v_1\)

\(U_2 \sim \chi^2(v_2)\) → peubah acak chi-square dengan derajat bebas \(v_2\)
\(v_1, v_2\) → derajat kebebasan (degrees of freedom)

Rumus Fungsi Kepekatan Peluang (PDF)

Fungsi kepekatan peluang (Probability Density Function, PDF) untuk sebaran F adalah:

\[ f(x) = \frac{\Gamma\left(\frac{v_1 + v_2}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{v_1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{v_2}{2}\right)} \left( \frac{v_1}{v_2} \right)^{\frac{v_1}{2}} \frac{x^{\frac{v_1}{2} - 1}}{ \left(1 + \frac{v_1}{v_2}x \right)^{\frac{v_1 + v_2}{2}} }, \quad x > 0 \]

dengan \(\Gamma(\cdot)\) adalah fungsi gamma.

Sifat-sifat Sebaran F

Nilai harapan (mean) dari F: \[ E(F) = \frac{v_2}{v_2 - 2}, \quad \text{untuk } v_2 > 2 \]
Nilai varians (keragaman): \[ Var(F) = \frac{2v_2^2(v_1 + v_2 - 2)}{v_1 (v_2 - 2)^2 (v_2 - 4)}, \quad \text{untuk } v_2 > 4 \]
Domain: \(F > 0\)
Sebaran F bersifat positif miring (right-skewed), dan semakin besar derajat kebebasan \(v_1\) dan \(v_2\), bentuknya mendekati simetris.

Implementasi dalam R

Contoh Parameter

Misalkan: - \(v_1 = 5\) - \(v_2 = 10\)

# Derajat kebebasan
v1 <- 5
v2 <- 10

# Rentang nilai x
x <- seq(0, 5, by = 0.1)

# Hitung fungsi kepekatan peluang (PDF)
f_x <- df(x, v1, v2)

# Buat tabel hasil
data.frame(x = round(x,2), f_x = round(f_x,5))

##      x     f_x
## 1  0.0 0.00000
## 2  0.1 0.22740
## 3  0.2 0.45374
## 4  0.3 0.59725
## 5  0.4 0.66825
## 6  0.5 0.68761
## 7  0.6 0.67354
## 8  0.7 0.63952
## 9  0.8 0.59482
## 10 0.9 0.54552
## 11 1.0 0.49548
## 12 1.1 0.44700
## 13 1.2 0.40140
## 14 1.3 0.35933
## 15 1.4 0.32102
## 16 1.5 0.28646
## 17 1.6 0.25547
## 18 1.7 0.22782
## 19 1.8 0.20322
## 20 1.9 0.18138
## 21 2.0 0.16201
## 22 2.1 0.14484
## 23 2.2 0.12963
## 24 2.3 0.11615
## 25 2.4 0.10420
## 26 2.5 0.09359
## 27 2.6 0.08418
## 28 2.7 0.07581
## 29 2.8 0.06837
## 30 2.9 0.06174
## 31 3.0 0.05583
## 32 3.1 0.05055
## 33 3.2 0.04583
## 34 3.3 0.04160
## 35 3.4 0.03782
## 36 3.5 0.03442
## 37 3.6 0.03137
## 38 3.7 0.02862
## 39 3.8 0.02615
## 40 3.9 0.02391
## 41 4.0 0.02190
## 42 4.1 0.02007
## 43 4.2 0.01842
## 44 4.3 0.01693
## 45 4.4 0.01557
## 46 4.5 0.01434
## 47 4.6 0.01321
## 48 4.7 0.01219
## 49 4.8 0.01126
## 50 4.9 0.01041
## 51 5.0 0.00963

# Visualisasi dengan plot
plot(x, f_x, type = "l", lwd = 2, col = "pink",
     main = paste("Sebaran F (v1 =", v1, ", v2 =", v2, ")"),
     xlab = "Nilai F", ylab = "f(x)")
grid()