Las distribuciones continuas son fundamentales en el análisis actuarial para modelar variables que pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo, como montos de siniestros, tiempos de vida, duraciones de incapacidad y otros fenómenos financieros. A diferencia de las distribuciones discretas que modelan conteos, las distribuciones continuas permiten representar magnitudes y cantidades que varían de forma continua. En el sector asegurador, estas distribuciones son esenciales para el cálculo de reservas, determinación de primas de riesgo y evaluación de la solvencia de las entidades aseguradoras.
Cada distribución continua ofrece características específicas para modelar diferentes patrones de riesgo, desde variables simétricas hasta distribuciones sesgadas que son comunes en los montos de siniestros. La selección adecuada del modelo probabilístico continuo es crucial para una correcta cuantificación del riesgo y la estabilidad financiera de las operaciones de seguros.
La distribución uniforme continua describe el comportamiento de una variable aleatoria que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo [a, b] con igual probabilidad. Esta distribución es fundamental cuando no hay información previa que sugiera que algún valor dentro del intervalo es más probable que otro. En el contexto actuarial, se utiliza para modelar variables donde se conoce el rango posible pero no la distribución específica dentro de ese rango.
Una compañía de seguros analiza el tiempo requerido para procesar reclamaciones de automóviles. Por experiencia, se sabe que el tiempo de procesamiento varía uniformemente entre 5 y 15 días hábiles. La gerencia necesita estimar los tiempos esperados para planificar la capacidad operativa.
a <- 5
b <- 15
tiempo_esperado <- (a + b) / 2
varianza <- (b - a)^2 / 12
desviacion <- sqrt(varianza)
cat("=== TIEMPO DE PROCESAMIENTO DE RECLAMACIONES ===\n")## === TIEMPO DE PROCESAMIENTO DE RECLAMACIONES ===cat("Límite inferior (a):", a, "días\n")## Límite inferior (a): 5 díascat("Límite superior (b):", b, "días\n")## Límite superior (b): 15 díascat("Tiempo esperado de procesamiento:", tiempo_esperado, "días\n")## Tiempo esperado de procesamiento: 10 díascat("Desviación estándar:", round(desviacion, 2), "días\n")## Desviación estándar: 2.89 díascat("Probabilidad de procesar en menos de 10 días:", round((10 - a)/(b - a), 3), "\n")## Probabilidad de procesar en menos de 10 días: 0.5cat("Probabilidad de procesar en más de 12 días:", round((b - 12)/(b - a), 3), "\n")## Probabilidad de procesar en más de 12 días: 0.3Una aseguradora de viaje estima que las pérdidas por equipaje extraviado se distribuyen uniformemente entre $500 y $5,000. Esta información es crucial para calcular las reservas necesarias y establecer los límites de cobertura.
min_perdida <- 500
max_perdida <- 5000
monto_esperado <- (min_perdida + max_perdida) / 2
varianza_perdida <- (max_perdida - min_perdida)^2 / 12
cat("=== MONTO DE PÉRDIDAS - SEGURO DE VIAJE ===\n")## === MONTO DE PÉRDIDAS - SEGURO DE VIAJE ===cat("Monto mínimo de pérdida: $", format(min_perdida, big.mark=","), "\n")## Monto mínimo de pérdida: $ 500cat("Monto máximo de pérdida: $", format(max_perdida, big.mark=","), "\n")## Monto máximo de pérdida: $ 5,000cat("Monto esperado de pérdida: $", format(monto_esperado, big.mark=","), "\n")## Monto esperado de pérdida: $ 2,750cat("Desviación estándar: $", format(round(sqrt(varianza_perdida)), big.mark=","), "\n")## Desviación estándar: $ 1,299cat("Probabilidad de pérdida mayor a $2,000:", round((max_perdida - 2000)/(max_perdida - min_perdida), 3), "\n")## Probabilidad de pérdida mayor a $2,000: 0.667📋 Características Principales Aplicación Típica: Fenómenos naturales, errores de medición, promedios
Parámetros: μ (media), σ (desviación estándar)
Media: μ
Varianza: σ²
Asimetría: 0
Curtosis: 3
La distribución normal, también conocida como distribución gaussiana, es la distribución continua más importante en estadística. Su forma de campana simétrica la hace ideal para modelar fenómenos donde los valores se agrupan alrededor de una media. En el ámbito actuarial, se utiliza para modelar errores de predicción, promedios de grandes muestras y variables que resultan de la suma de muchos efectos pequeños e independientes.
Una aseguradora de salud observa que el monto promedio de las reclamaciones por hospitalización sigue una distribución normal con media de $8,000 y desviación estándar de $1,500. Esta información permite calcular probabilidades asociadas a diferentes niveles de siniestralidad.
media <- 8000
desviacion <- 1500
cat("=== SINIESTRALIDAD - SEGURO DE SALUD ===\n")## === SINIESTRALIDAD - SEGURO DE SALUD ===cat("Monto promedio de reclamaciones: $", format(media, big.mark=","), "\n")## Monto promedio de reclamaciones: $ 8,000cat("Desviación estándar: $", format(desviacion, big.mark=","), "\n")## Desviación estándar: $ 1,500cat("Probabilidad de reclamación menor a $6,000:", round(pnorm(6000, media, desviacion), 4), "\n")## Probabilidad de reclamación menor a $6,000: 0.0912cat("Probabilidad de reclamación mayor a $10,000:", round(1 - pnorm(10000, media, desviacion), 4), "\n")## Probabilidad de reclamación mayor a $10,000: 0.0912cat("Percentil 95%: $", format(round(qnorm(0.95, media, desviacion)), big.mark=","), "\n")## Percentil 95%: $ 10,467Una compañía que ofrece seguros para equipos industriales modela el tiempo de vida útil de los equipos mediante una distribución normal con media de 10 años y desviación estándar de 2 años. Esto ayuda a determinar las primas para pólizas de garantía extendida.
vida_media <- 10
vida_desviacion <- 2
cat("=== TIEMPO DE VIDA - EQUIPOS INDUSTRIALES ===\n")## === TIEMPO DE VIDA - EQUIPOS INDUSTRIALES ===cat("Vida útil promedio:", vida_media, "años\n")## Vida útil promedio: 10 añoscat("Desviación estándar:", vida_desviacion, "años\n")## Desviación estándar: 2 añoscat("Probabilidad de falla antes de 8 años:", round(pnorm(8, vida_media, vida_desviacion), 4), "\n")## Probabilidad de falla antes de 8 años: 0.1587cat("Probabilidad de durar más de 12 años:", round(1 - pnorm(12, vida_media, vida_desviacion), 4), "\n")## Probabilidad de durar más de 12 años: 0.1587cat("Periodo de garantía al 90% de confianza:", round(qnorm(0.90, vida_media, vida_desviacion), 1), "años\n")## Periodo de garantía al 90% de confianza: 12.6 años📋 Características Principales Aplicación Típica: Tiempos entre eventos, procesos sin memoria
Parámetros: λ (tasa de ocurrencia)
Media: 1/λ
Varianza: 1/λ²
Asimetría: 2
Curtosis: 9
La distribución exponencial modela el tiempo entre eventos en un proceso de Poisson. Su propiedad de “falta de memoria” la hace particularmente útil para modelar tiempos de vida de componentes y duraciones de eventos. En seguros, se utiliza frecuentemente para modelar tiempos entre siniestros, duraciones de incapacidad y periodos entre reclamaciones.
Una aseguradora analiza el tiempo entre siniestros para una cartera de conductores de bajo riesgo. Los datos históricos indican que el tiempo promedio entre siniestros es de 4 años.
lambda <- 1/4 # Tasa de siniestros por año
cat("=== TIEMPO ENTRE SINIESTROS - SEGURO DE AUTOS ===\n")## === TIEMPO ENTRE SINIESTROS - SEGURO DE AUTOS ===cat("Tasa de siniestros (λ):", round(lambda, 3), "por año\n")## Tasa de siniestros (λ): 0.25 por añocat("Tiempo promedio entre siniestros:", 1/lambda, "años\n")## Tiempo promedio entre siniestros: 4 añoscat("Probabilidad de siniestro en el primer año:", round(pexp(1, lambda), 4), "\n")## Probabilidad de siniestro en el primer año: 0.2212cat("Probabilidad de no tener siniestros en 5 años:", round(1 - pexp(5, lambda), 4), "\n")## Probabilidad de no tener siniestros en 5 años: 0.2865cat("Tiempo para el cual hay 90% de probabilidad de tener un siniestro:", round(qexp(0.90, lambda), 1), "años\n")## Tiempo para el cual hay 90% de probabilidad de tener un siniestro: 9.2 añosUna aseguradora de salud modela la duración de las incapacidades temporales por accidente laboral. La duración promedio es de 15 días, siguiendo una distribución exponencial.
lambda_incapacidad <- 1/15 # Tasa por día
cat("=== DURACIÓN DE INCAPACIDAD TEMPORAL ===\n")## === DURACIÓN DE INCAPACIDAD TEMPORAL ===cat("Duración promedio de incapacidad:", 1/lambda_incapacidad, "días\n")## Duración promedio de incapacidad: 15 díascat("Probabilidad de incapacidad menor a 7 días:", round(pexp(7, lambda_incapacidad), 4), "\n")## Probabilidad de incapacidad menor a 7 días: 0.3729cat("Probabilidad de incapacidad mayor a 30 días:", round(1 - pexp(30, lambda_incapacidad), 4), "\n")## Probabilidad de incapacidad mayor a 30 días: 0.1353cat("Duración máxima esperada para el 80% de los casos:", round(qexp(0.80, lambda_incapacidad), 1), "días\n")## Duración máxima esperada para el 80% de los casos: 24.1 días📋 Características Principales Aplicación Típica: Tiempos de vida, suma de variables exponenciales
Parámetros: α (forma), β (tasa)
Media: α/β
Varianza: α/β²
Asimetría: 2/√α
Curtosis: 6/α
La distribución gamma es una generalización de la distribución exponencial y es particularmente útil para modelar tiempos de vida y sumas de variables aleatorias independientes. En el contexto actuarial, se utiliza para modelar montos agregados de siniestros, tiempos hasta que ocurre un número específico de eventos y variables con sesgo positivo.
Una flota de transporte asegura sus vehículos y desea modelar el tiempo hasta que ocurre el tercer siniestro mayor. El tiempo entre siniestros individuales sigue una distribución exponencial con media de 6 meses.
alpha <- 3 # Número de siniestros
beta <- 1/6 # Tasa por mes
tiempo_esperado <- alpha/beta
cat("=== TIEMPO HASTA EL TERCER SINIESTRO ===\n")## === TIEMPO HASTA EL TERCER SINIESTRO ===cat("Parámetro de forma (α):", alpha, "\n")## Parámetro de forma (α): 3cat("Parámetro de tasa (β):", round(beta, 3), "por mes\n")## Parámetro de tasa (β): 0.167 por mescat("Tiempo esperado hasta el tercer siniestro:", tiempo_esperado, "meses\n")## Tiempo esperado hasta el tercer siniestro: 18 mesescat("Probabilidad de tercer siniestro antes de 12 meses:", round(pgamma(12, alpha, beta), 4), "\n")## Probabilidad de tercer siniestro antes de 12 meses: 0.3233cat("Probabilidad de tercer siniestro después de 24 meses:", round(1 - pgamma(24, alpha, beta), 4), "\n")## Probabilidad de tercer siniestro después de 24 meses: 0.2381Una aseguradora modela el monto total de siniestros anuales para una cartera de seguros de hogar usando una distribución gamma. Los parámetros se estiman en base a datos históricos.
alpha_siniestros <- 50
beta_siniestros <- 0.001
monto_esperado <- alpha_siniestros/beta_siniestros
cat("=== MONTO AGREGADO ANUAL - SEGURO DE HOGAR ===\n")## === MONTO AGREGADO ANUAL - SEGURO DE HOGAR ===cat("Parámetro de forma (α):", alpha_siniestros, "\n")## Parámetro de forma (α): 50cat("Parámetro de tasa (β):", beta_siniestros, "\n")## Parámetro de tasa (β): 0.001cat("Monto esperado anual: $", format(monto_esperado, big.mark=","), "\n")## Monto esperado anual: $ 50,000cat("Desviación estándar: $", format(sqrt(alpha_siniestros/beta_siniestros^2), big.mark=","), "\n")## Desviación estándar: $ 7,071.068cat("Probabilidad de superar $60,000:", round(1 - pgamma(60000, alpha_siniestros, beta_siniestros), 4), "\n")## Probabilidad de superar $60,000: 0.0844📋 Características Principales Aplicación Típica: Valores positivos con sesgo derecho
Parámetros: μ, σ (parámetros de escala)
Media: exp(μ + σ²/2)
Varianza: [exp(σ²)-1] exp(2μ+σ²)
Asimetría: (exp(σ²)+2)√(exp(σ²)-1)
Curtosis: exp(4σ²)+2exp(3σ²)+3exp(2σ²)-6
La distribución lognormal es especialmente útil para modelar variables que son el producto de muchos factores positivos pequeños e independientes. En seguros, es ampliamente utilizada para modelar montos de siniestros, ya que estos típicamente presentan sesgo positivo y no pueden ser negativos.
Una aseguradora modela los montos de siniestros de colisión para automóviles usando una distribución lognormal. Los parámetros se han estimado a partir de datos históricos.
mu <- 8.5
sigma <- 0.8
media_real <- exp(mu + sigma^2/2)
cat("=== MONTOS DE SINIESTROS - SEGURO DE AUTOS ===\n")## === MONTOS DE SINIESTROS - SEGURO DE AUTOS ===cat("Parámetro μ:", mu, "\n")## Parámetro μ: 8.5cat("Parámetro σ:", sigma, "\n")## Parámetro σ: 0.8cat("Media de los montos: $", format(round(media_real), big.mark=","), "\n")## Media de los montos: $ 6,768cat("Mediana: $", format(round(exp(mu)), big.mark=","), "\n")## Mediana: $ 4,915cat("Probabilidad de siniestro menor a $5,000:", round(plnorm(5000, mu, sigma), 4), "\n")## Probabilidad de siniestro menor a $5,000: 0.5086cat("Percentil 95%: $", format(round(qlnorm(0.95, mu, sigma)), big.mark=","), "\n")## Percentil 95%: $ 18,322Una compañía de seguros analiza los montos de indemnización por daños de incendio en propiedades comerciales. La distribución lognormal captura adecuadamente el sesgo positivo característico de estos montos.
mu_incendio <- 10.2
sigma_incendio <- 1.1
media_incendio <- exp(mu_incendio + sigma_incendio^2/2)
cat("=== INDEMNIZACIONES POR INCENDIO ===\n")## === INDEMNIZACIONES POR INCENDIO ===cat("Parámetro μ:", mu_incendio, "\n")## Parámetro μ: 10.2cat("Parámetro σ:", sigma_incendio, "\n")## Parámetro σ: 1.1cat("Monto promedio de indemnización: $", format(round(media_incendio), big.mark=","), "\n")## Monto promedio de indemnización: $ 49,267cat("Probabilidad de indemnización mayor a $100,000:", round(1 - plnorm(100000, mu_incendio, sigma_incendio), 4), "\n")## Probabilidad de indemnización mayor a $100,000: 0.1163cat("Monto máximo para el 75% de los casos: $", format(round(qlnorm(0.75, mu_incendio, sigma_incendio)), big.mark=","), "\n")## Monto máximo para el 75% de los casos: $ 56,497📋 Características Principales Aplicación Típica: Tiempos de falla, confiabilidad
Parámetros: λ (escala), k (forma)
Media: λ Γ(1 + 1/k)
Varianza: λ²[Γ(1+2/k) - Γ²(1+1/k)]
Asimetría: Compleja
Curtosis: Compleja
La distribución Weibull es extremadamente flexible para modelar tiempos de vida y tasas de falla. Puede representar distribuciones con tasas de falla crecientes, decrecientes o constantes, lo que la hace invaluable en estudios de confiabilidad y análisis de supervivencia en seguros.
Una aseguradora que ofrece garantías extendidas para componentes electrónicos modela su tiempo de vida usando una distribución Weibull con parámetros específicos.
lambda_weibull <- 5 # Parámetro de escala en años
k_weibull <- 1.5 # Parámetro de forma
cat("=== TIEMPO DE VIDA - COMPONENTES ELECTRÓNICOS ===\n")## === TIEMPO DE VIDA - COMPONENTES ELECTRÓNICOS ===cat("Parámetro de escala (λ):", lambda_weibull, "años\n")## Parámetro de escala (λ): 5 añoscat("Parámetro de forma (k):", k_weibull, "\n")## Parámetro de forma (k): 1.5cat("Tiempo medio de vida:", round(lambda_weibull * gamma(1 + 1/k_weibull), 2), "años\n")## Tiempo medio de vida: 4.51 añoscat("Probabilidad de falla antes de 2 años:", round(pweibull(2, k_weibull, lambda_weibull), 4), "\n")## Probabilidad de falla antes de 2 años: 0.2235cat("Probabilidad de durar más de 8 años:", round(1 - pweibull(8, k_weibull, lambda_weibull), 4), "\n")## Probabilidad de durar más de 8 años: 0.1321Una compañía de seguros de vida analiza la duración de las pólizas antes de que sean canceladas por los clientes, utilizando una distribución Weibull para modelar este comportamiento.
lambda_poliza <- 10 # Años
k_poliza <- 0.8 # Tasa de cancelación decreciente
cat("=== DURACIÓN DE PÓLIZAS - SEGURO DE VIDA ===\n")## === DURACIÓN DE PÓLIZAS - SEGURO DE VIDA ===cat("Parámetro de escala (λ):", lambda_poliza, "años\n")## Parámetro de escala (λ): 10 añoscat("Parámetro de forma (k):", k_poliza, "\n")## Parámetro de forma (k): 0.8cat("Duración media de las pólizas:", round(lambda_poliza * gamma(1 + 1/k_poliza), 2), "años\n")## Duración media de las pólizas: 11.33 añoscat("Probabilidad de cancelación en el primer año:", round(pweibull(1, k_poliza, lambda_poliza), 4), "\n")## Probabilidad de cancelación en el primer año: 0.1466cat("Probabilidad de mantener la póliza más de 15 años:", round(1 - pweibull(15, k_poliza, lambda_poliza), 4), "\n")## Probabilidad de mantener la póliza más de 15 años: 0.2508📋 Características Principales Aplicación Típica: Proporciones, probabilidades, variables en [0,1]
Parámetros: α, β (parámetros de forma)
Media: α/(α+β)
Varianza: αβ/[(α+β)²(α+β+1)]
Asimetría: 2(β-α)√(α+β+1)/(α+β+2)√(αβ)
Curtosis: 3(α+β+1)[2(α+β)²+αβ(α+β-6)]/[αβ(α+β+2)(α+β+3)]
La distribución beta es extremadamente flexible para modelar variables que toman valores en el intervalo [0,1], como proporciones, tasas y probabilidades. En el contexto actuarial, se utiliza para modelar ratios de siniestralidad, tasas de persistencia y otras proporciones relevantes.
Una aseguradora modela el ratio de siniestralidad (siniestros pagados/prima cobrada) usando una distribución beta basada en experiencia histórica.
alpha_beta <- 8
beta_beta <- 12
ratio_esperado <- alpha_beta/(alpha_beta + beta_beta)
cat("=== RATIO DE SINIESTRALIDAD ===\n")## === RATIO DE SINIESTRALIDAD ===cat("Parámetro α:", alpha_beta, "\n")## Parámetro α: 8cat("Parámetro β:", beta_beta, "\n")## Parámetro β: 12cat("Ratio de siniestralidad esperado:", round(ratio_esperado, 3), "\n")## Ratio de siniestralidad esperado: 0.4cat("Probabilidad de ratio menor a 0.5:", round(pbeta(0.5, alpha_beta, beta_beta), 4), "\n")## Probabilidad de ratio menor a 0.5: 0.8204cat("Probabilidad de ratio mayor a 0.7:", round(1 - pbeta(0.7, alpha_beta, beta_beta), 4), "\n")## Probabilidad de ratio mayor a 0.7: 0.0028cat("Intervalo del 90% para el ratio: [", round(qbeta(0.05, alpha_beta, beta_beta), 3), ",",
round(qbeta(0.95, alpha_beta, beta_beta), 3), "]\n")## Intervalo del 90% para el ratio: [ 0.23 , 0.582 ]Una compañía de seguros analiza la tasa de persistencia anual de sus clientes (proporción que renueva la póliza), modelándola con una distribución beta.
alpha_persistencia <- 15
beta_persistencia <- 3
tasa_esperada <- alpha_persistencia/(alpha_persistencia + beta_persistencia)
cat("=== TASA DE PERSISTENCIA DE CLIENTES ===\n")## === TASA DE PERSISTENCIA DE CLIENTES ===cat("Parámetro α:", alpha_persistencia, "\n")## Parámetro α: 15cat("Parámetro β:", beta_persistencia, "\n")## Parámetro β: 3cat("Tasa de persistencia esperada:", round(tasa_esperada, 3), "\n")## Tasa de persistencia esperada: 0.833cat("Probabilidad de persistencia mayor al 80%:", round(1 - pbeta(0.8, alpha_persistencia, beta_persistencia), 4), "\n")## Probabilidad de persistencia mayor al 80%: 0.6904cat("Valor más probable (moda):", round((alpha_persistencia-1)/(alpha_persistencia+beta_persistencia-2), 3), "\n")## Valor más probable (moda): 0.875El análisis actuarial mediante distribuciones continuas proporciona herramientas matemáticas sofisticadas para modelar una amplia gama de fenómenos financieros y de riesgo en el sector asegurador. Desde la simetría de la distribución normal hasta la flexibilidad de las distribuciones gamma y Weibull, cada modelo ofrece capacidades específicas para representar diferentes patrones de comportamiento en variables continuas.
La correcta selección y aplicación de estas distribuciones permite a los actuarios cuantificar riesgos con mayor precisión, establecer reservas técnicas adecuadas y diseñar productos de seguros que reflejen fielmente el riesgo subyacente. El dominio de estas herramientas, combinado con un entendimiento profundo de los fenómenos que modelan, constituye una competencia esencial para los profesionales actuarios en el entorno financiero moderno.