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}
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# Verificar, instalar y activar el paquete "kableExtra"
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}
library(kableExtra)Históricamente, el propósito original de la teoría de probabilidades se limitaba a la descripción y estudios del juego al azar.
• Girolamo Cardamo (1501-1576) fué el primero en relacionar probabilidades con juegos de azar.
Elaboró un horóscopo para Eduardo VI pronosticando una larga vida. El rey murió al año siguiente.
• Galileo (1564-1642) trató varios problemas de juegos de dados.
• Pascal y Fermat hicieron aportes a la teoría tratando de dar solución a problemas de juegos de dados.
• En 1812 Pierre Simon Marqués de Laplace presenta su “Théorie Analytique de Probabilités”, donde expone muchas ideas, métodos y resultados acerca de la teoría de probabilidades.
• En la última mitad del Siglo XIX la escuela Rusa contribuyó enormemente al desarrollo de la teoría con los trabajos de Chebychev, Liapunov y Markov.
• En el Siglo XX Borel inicia la conexión entre la teoría de probabilidades y la teoría matemática, teniendo como seguidores a Khintchine, Kolmogorov, Slutsky, Paul Lévy y Fisher, siendo considerado este último como el Padre de la Estadística Moderna.
En forma muy simple, entenderemos como probabilidad la cuantificación del grado de incerteza (posibilidad) sobre la ocurrencia de un resultado de cierto experimento.
Un ejemplo de ello es: “Al lanzar una moneda”, ¿puedo apostar a que sale cara y ganar? Dicha cuantificación la expresaremos en cantidades numéricas mayores o iguales a cero y menores o iguales a uno.
0 \leq P(A) \leq 1
• Clásico: Al realizar un experimento todos los resultados tienen la misma posibilidad de ocurrir. (EQUIPROBABILIDAD)
• Frecuentista: Si repetimos infinitas veces un experimento bajo las mismas condiciones ambientales y tabulamos los resultados, la columna de proporciones corresponde a las probabilidades.
• Subjetivo: La probabilidad de un resultado es asignada según el grado de certeza de un individuo.
Dos sujetos distintos asignan probabilidades distintas.
• Experimento Aleatorio (E): Es un experimento en el cual no se puede predecir, con certeza, su resultado.
• Espacio Muestral (\Omega): Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.
• Evento o Suceso: es cualquier subconjunto del espacio muestral.
• Evento Seguro: es aquel evento cuya probabilidad de ocurrencia es 1.
• Evento Imposible (\emptyset): es aquel evento cuya probabilidad de ocurrencia es 0.
Sea una función de probabilidad:
P: \Omega \to [0,1]
(Ax1) P(\Omega) = 1
(Ax2) P(A) \ge 0, \quad \forall A \subseteq \Omega
(Ax3) Si A_1, A_2, \ldots, A_n son eventos disjuntos, entonces:
P\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_i\right) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i)
Sean A y B eventos.
0 \le P(A) \le 1
P(A^c) = 1 - P(A)
P(\emptyset) = 0
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
Si A \subseteq B \Rightarrow P(A) \le P(B)
Si A y B son independientes:
P(A \cap B) = P(A) \times P(B)
P\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_i\right) \le \sum_{i=1}^{n} P(A_i)
Sea A un evento. Se define la probabilidad del evento A como:
P(A) = \frac{\# \text{Casos Favorables}}{\# \text{Casos Totales}}
Ejemplo: En la clase de Eyp2214-1 hay 6 mujeres y 23 varones. Se han escogido al azar 9 personas para efectuarles una interrogación oral. Indicar la probabilidad de que entre las personas seleccionadas hayan 4 mujeres. Sea A el suceso “resultan 4 mujeres”.
P(A) = \frac{\binom{6}{4} \binom{23}{5}}{\binom{29}{9}} = 0.0503
Sean A y B dos eventos. Se define la probabilidad condicional de A dado B como:
P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \quad \text{para } P(B) > 0
La que debe satisfacer los axiomas 1, 2 y 3. Notemos que al condicionar nuestro espacio muestral es ahora B. Además, si A y B son independientes, entonces: P(A|B) = P(A)
Un estudio aplicado a 200 niños mostró la existencia de dos parásitos (lambias y ascarís). Los resultados son mostrados en la siguiente tabla:
| Ascaris Sí | Ascaris No | TotalLambias Sí | 10 | 12 | 22 Lambias No | 82 | 96 | 178 Total | 92 | 108 | 200
A = “niño tiene ascaris” B = “niño tiene lambias”
Probabilidad que un niño tenga solo lambias: P(B) = \frac{92}{200} = 0.46
Probabilidad que un niño tenga ascaris: P(A) = \frac{22}{200} = 0.11
Probabilidad que un niño tenga ascaris sabiendo que posee lambias: P(A|B) = \frac{10}{92} = 0.109
Probabilidad que un niño tenga lambias y ascaris: P(A \cap B) = \frac{10}{200} = 0.05
Sea una partición del espacio muestral \Omega formada por eventos A_1, A_2, \ldots, A_n tales que son disjuntos y su unión es \Omega.
Entonces, para cualquier evento B: P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) \, P(B|A_i)
Un alumno acaba de matricularse en la PUC. La probabilidad de que se reciba es de 0.85 si obtiene beca y 0.45 si no la obtiene. Si la probabilidad de obtener una beca es de 0.3, ¿Cuál es la probabilidad de que este alumno se reciba?
Sea R = “se recibe” y B = “recibe beca”.
P(R) = P(B) \, P(R|B) + P(B^c) \, P(R|B^c)
P(R) = 0.3(0.85) + 0.7(0.45) = 0.57
Por tanto: P(R) = 0.57
```
Una urna contiene dos fichas blancas (B) y tres fichas rojas (R). Se extraen dos fichas sin reposición. A continuación se muestra el diagrama de árbol con las probabilidades condicionadas y las probabilidades conjuntas (resultados finales).
ASCII del diagrama de árbol (etiquetas entre paréntesis = probabilidades):
[inicio]
/ \
B (2/5) R (3/5)
/ \ / \
B|B (1/4) / \ R|B (3/4) / \ B|R (1/2)
BB BR RB RRProbabilidades marginales del primer lanzamiento: P(B) = \frac{2}{5}, \qquad P(R) = \frac{3}{5}
Si primero sale B (quedan 1 blanca y 3 rojas, total 4): P(B \mid B) = \frac{1}{4}, \qquad P(R \mid B) = \frac{3}{4}
Si primero sale R (quedan 2 blancas y 2 rojas, total 4): P(B \mid R) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \qquad P(R \mid R) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
P(BB) = P(B)\,P(B\mid B) = \frac{2}{5}\cdot\frac{1}{4} = \frac{1}{10} = 0.1 P(BR) = P(B)\,P(R\mid B) = \frac{2}{5}\cdot\frac{3}{4} = \frac{3}{10} = 0.3 P(RB) = P(R)\,P(B\mid R) = \frac{3}{5}\cdot\frac{1}{2} = \frac{3}{10} = 0.3 P(RR) = P(R)\,P(R\mid R) = \frac{3}{5}\cdot\frac{1}{2} = \frac{3}{10} = 0.3
Verificación (suma = 1): P(BB)+P(BR)+P(RB)+P(RR) = 0.1 + 0.3 + 0.3 + 0.3 = 1
Observación: el experimento es sin reposición; por eso las probabilidades condicionadas dependen del resultado anterior (se reduce el número de fichas totales).
Sea una partición del espacio muestral \Omega formada por eventos A_1, A_2, \ldots, A_n tales que son disjuntos y su unión es \Omega.
Entonces, para cualquier evento B: P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) \, P(B|A_i)
Un alumno acaba de matricularse en la PUC. La probabilidad de que se reciba es de 0.85 si obtiene beca y 0.45 si no la obtiene. Si la probabilidad de obtener una beca es de 0.3, ¿Cuál es la probabilidad de que este alumno se reciba?
Sea R = “se recibe” y B = “recibe beca”.
P(R) = P(B) \, P(R|B) + P(B^c) \, P(R|B^c)
P(R) = 0.3(0.85) + 0.7(0.45) = 0.57
Por tanto: P(R) = 0.57
Suponga que estamos bajo las mismas condiciones del teorema de probabilidades totales. Nos interesa poder calcular la probabilidad de que ocurra el i-ésimo elemento de la partición dado que observamos la ocurrencia del evento B.
La fórmula general del Teorema de Bayes es:
P(A_i | B) = \frac{P(A_i) \, P(B|A_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(A_j) \, P(B|A_j)}
donde: - A_1, A_2, \ldots, A_n forman una partición del espacio muestral \Omega - B es un evento tal que P(B) > 0
Retomando el ejemplo anterior: Un alumno acaba de matricularse en la PUC. La probabilidad de que se reciba es de 0.85 si obtiene beca y 0.45 si no la obtiene. Si la probabilidad de obtener una beca es de 0.3, ¿cuál es la probabilidad de que al postulante se le hubiera dado beca, sabiendo que se recibió?
Sea: R = “se recibe” B = “recibe beca”
Aplicando el Teorema de Bayes:
P(B|R) = \frac{P(B) \, P(R|B)}{P(R)}
Como ya habíamos calculado: P(R) = 0.57
Sustituyendo valores: P(B|R) = \frac{0.3(0.85)}{0.57} = 0.447
Por lo tanto: P(B|R) = 0.447
Es decir, existe aproximadamente un 44.7% de probabilidad de que el alumno haya obtenido beca sabiendo que se recibió.
CONCLUSIÓN
El estudio de la teoría de probabilidades permite comprender y cuantificar la incertidumbre asociada a fenómenos aleatorios. A través del análisis axiomático, la aplicación de la regla de la equiprobabilidad y el uso de herramientas como el diagrama de árbol, es posible visualizar las diferentes etapas de un experimento y determinar las probabilidades de cada suceso.
En particular, el Teorema de Bayes constituye un pilar fundamental en la toma de decisiones bajo incertidumbre, al permitir actualizar las probabilidades iniciales cuando se dispone de nueva información. Este enfoque es ampliamente aplicado en áreas como la estadística, la inteligencia artificial, el análisis de riesgos y la biología.
Finalmente, la representación gráfica de los eventos mediante árboles de probabilidad facilita la comprensión de relaciones condicionales entre sucesos y muestra de manera clara cómo la probabilidad total se distribuye entre los distintos caminos posibles, reforzando el carácter lógico y estructurado del razonamiento probabilístico.
BIBLIOGRAFIA