Punto 1 En una clase de 27 estudiantes, el profesor quiere formar grupos de tres para presentar un proyecto. Cada grupo presentará en un día distinto, y ningún estudiante puede estar en más de un grupo. ¿Cuántos grupos de tres estudiantes se pueden formar si el orden dentro del grupo no importa?

# Total de estudiantes
n =27
#Tamaño del grupo
k =3
# Número de grupos
g = n / k
factorial(n)/(factorial(k)^g)*1/factorial(g)
## [1] 2.977546e+15

Respuesta Se pueden formar aproximadamente dos punto nueve millones de billones de grupos diferentes. Esto se debe a que los veintisiete estudiantes pueden organizarse en grupos de tres de muchas maneras posibles, y aunque dentro de cada grupo el orden no importa, la cantidad total de combinaciones sigue siendo muy grande al distribuir a todos los alumnos sin repetirlos.

Punto 2 Una cadena de tiendas de pintura produce y vende pintura de látex y semiesmaltada. De acuerdo con las ventas a largo plazo, la probabilidad de que un cliente compre pintura de látex es 0.75. De los que compran pintura de látex, 60 % también compra rodillos. Sin embargo, sólo 30 % de los que compran pintura semiesmaltada compra rodillos. Un comprador que se selecciona al azar adquiere un rodillo y una lata de pintura. ¿Cuál es la probabilidad de que sea pintura de látex?

tabla=data.frame(rodillo=c(0.75*0.6,0.25*0.3),norodillo=c(0.75*0.4,0.25*0.7)) 
rownames(tabla)=c("latex","semiesmaltada")
(tabla)
##               rodillo norodillo
## latex           0.450     0.300
## semiesmaltada   0.075     0.175
#la probabilidad de que si compro rodillo haya comprado pintura de latex se calcula asi
0.75*0.6/(0.75*0.6+0.25*0.3)
## [1] 0.8571429

Respuesta La probabilidad de que el cliente haya comprado pintura de látex es de 0.85714, ya que la mayoría de los compradores eligen este tipo de pintura y, además, son quienes con mayor frecuencia adquieren rodillos en comparación con los que compran pintura semiesmaltada.

Punto 3 El tiempo que pasa, en horas, antes de que una parte importante de un equipo electrónico que se utiliza para fabricar un reproductor de video empiece a fallar tiene la siguiente función de densidad:

  1. Encuentre F(X)
(0.5)^1.5-(0.2)^1.5
## [1] 0.2641107

b.Encuentre la probabilidad de que el componente funcione entre 0.2 y 0.5 horas

f=function(x)3/2*sqrt(x)
integrate(f,0.2,0.5)$value
## [1] 0.2641107

c.Encuentre su valor esperado.

f=function(x){3/2*sqrt(x)}
Ex=integrate(function(x)x*f(x),0,1)$value
Ex
## [1] 0.6
Ex %>% fractions()
## [1] 3/5

Respuesta La probabilidad acumulada se obtiene integrando la función de densidad, lo que permite conocer la probabilidad de que el componente falle antes de cierto tiempo. Al calcular esta integral para los límites dados, se obtiene el valor de cero punto dos sesenta y cuatro, que representa la probabilidad de que funcione entre cero punto dos y cero punto cinco horas. El valor esperado resulta ser cero punto seis, equivalente a tres quintos, lo que significa que, en promedio, el componente empieza a fallar después de ese tiempo de funcionamiento.

Punto 4 Se sabe que 60 % de los ratones inoculados con un suero quedan protegidos contra cierta enfermedad. Si se inoculan 5 ratones, calcule la probabilidad de que más de 3 contraigan la enfermedad.

#probabilidad de exito p=1-0.6=0.4
#aqui exito es contraer la enfermedad
p=1-0.6
n=5 #numero de ratones seleccionados
#se pide MAS de 3 ,es decir p(X>3)=P(X=4)+P(X=5)
sum(dbinom(4:5,n,p))
## [1] 0.08704

Respuesta La probabilidad de que más de tres ratones contraigan la enfermedad se obtiene considerando que el sesenta por ciento queda protegido, por lo tanto, el cuarenta por ciento se enferma. Como se inoculan cinco ratones, se calcula la probabilidad de que cuatro o cinco se enfermen aplicando el modelo binomial, que mide la posibilidad de cierto número de éxitos o fracasos en varios intentos independientes. Al sumar estas dos probabilidades, el resultado es cero punto cero ocho setenta y cuatro, lo que indica que existe una probabilidad baja de que más de tres ratones se enfermen.

Punto 5 Una empresa de servicios financieros realiza seguimiento al tiempo que tardan sus asesores en atender una solicitud de crédito. Con base en registros históricos, se ha determinado que el tiempo de atención (en minutos) sigue una distribución normal con una media de 20 minutos y una desviación estándar de 4 minutos. La gerencia ha fijado un estándar máximo de 25 minutos para garantizar la satisfacción del cliente

a.¿Cuál es la probabilidad de que un asesor tarde entre 18 y 26 minutos en completar la atención? (Dibuje la región sombreada

#media=20 ,desviacion=4
media=20
desviacion=4
pnorm(26,media,desviacion)-pnorm(18,media,desviacion)
## [1] 0.6246553
curve(dnorm(x,media,desviacion),media-3*desviacion,media+3*desviacion)
curve(dnorm(x,media,desviacion),18,26,type="h",add = TRUE,col="cadetblue1",n = 100)

b. ¿Cuál es la probabilidad de que un asesor tarde menos de 10 minutos en completar la atención?

media=20
desviacion=4
pnorm(10,media,desviacion)
## [1] 0.006209665
curve(dnorm(x,media,desviacion),media-3*desviacion,media+3*desviacion)
curve(dnorm(x,media,desviacion),media-3*desviacion,10,type="h",add = TRUE,col="cadetblue1",n = 100)

c.¿Cuál es la probabilidad de que se gaste más de 20 minutos en completar la atención?

media=20
desviacion=4
1-pnorm(20,media,desviacion)
## [1] 0.5
curve(dnorm(x,media,desviacion),media-3*desviacion,media+3*desviacion)
curve(dnorm(x,media,desviacion),20,media+3*desviacion,type="h",add = TRUE,col="cadetblue1",n = 100)

Respuesta La probabilidad de que el tiempo de atención esté entre dieciocho y veintiséis minutos es aproximadamente cero punto seis veinticuatro, lo que muestra que la mayoría de los asesores atienden dentro del rango esperado. La probabilidad de que un asesor tarde menos de diez minutos es muy baja, cercana a cero punto cero cero seis, indicando que casi nunca se atiende tan rápido. Finalmente, la probabilidad de tardar más de veinte minutos es de cero punto cinco, lo que significa que la mitad de las atenciones superan el tiempo promedio establecido.