VARIABLE ALETORIA Y DISTRIBUCCIÓN DE PROBABILIDAD

1 VARIABLE ALEATORIA Y DISTRUBUCCIÓN DE PROBABILIDAD

1.1 Variable Aleatoria

En estadística, una variable aleatoria es una variable que toma valores numéricos de manera aleatoria en función de la probabilidad. Es decir, es una función que asigna un número real a cada resultado posible de un experimento aleatorio. La variable aleatoria comúnmente se representa con una \(equis\) mayúscula “\(\displaystyle \mathbb {X}\)”.

\[\displaystyle \mathbb {X} :\Omega \rightarrow R\]

Hay dos tipos de variables aleatorias: discretas y continuas.

1.1.1 1. Variable Aleatoria Discreta:

Una variable aleatoria discreta toma valores numéricos específicos, como números enteros.

Por ejemplo, si lanzamos un dado, la variable aleatoria \(\mathbb{X}\) que representa el resultado del lanzamiento es discreta, ya que solo puede tomar los valores \(1, 2, 3, 4, 5\) o \(6\) con probabilidades iguales de \(\frac{1}{6}\).

1.1.2 2. Variable Aleatoria Continua:

variable aleatoria continua puede tomar cualquier valor dentro un intervalo. Por ejemplo:

si medimos la altura de las personas en una población, la variable aleatoria Y que representa la altura es continua, ya que puede tomar cualquier valor en un intervalo (por ejemplo, desde \(1.50\) hasta \(1.95\) \(metros\)) con una distribución de probabilidad determinada.

1.2 FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD O FUNCIÓN DE PROBABILIDAD (\(f(x)\))

Es una función que asigna a cada posible resultado de un experimento aleatorio una probabilidad. En el caso de una variable aleatoria \(discreta\), la función de probabilidad “también llamada función masa o cuantía” se puede expresar como una lista de las probabilidades de cada valor posible de la variable. En el caso de una variable aleatoria \(continua\), la función de probabilidad se expresa como la función de densidad de probabilidad.

Para cada una de las variables aleatorias. La función de probabilidad tiene sus propias propiedades.

.\(\bullet\)

\(Propiedades\) \(de\) \(la\) \(Función\) \(Masa\) o \(Cuantía\)

\(1.\) \[ f(x)\geq 0 \]

\(2.\) \[ \sum_{x}^{} f(x)=1 \]

\(3.\) \[P(x=a)=f(a)\]

\(Propiedades\) \(de\) \(la\) \(Función\) \(de\) \(Densidad\)

\(1.\) \[ f(x)\geq 0 \]

\(2.\) \[ \int_{-\infty }^{\infty} f(x)dx=1 \]

\(3.\) \[P(a<x<b)=\int_{a }^{b} f(x)dx\]

1.3 FUNCIÓN DE PROBABILIDAD ACUMULADA O FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN “\(F(x)\)”

es una función matemática que describe la probabilidad acumulada de que una variable aleatoria \(X\) tome un valor igual o menor que un valor dado \(x\).

Para una variable aleatoria discreta, la función de distribución se puede expresar como la suma acumulada de las probabilidades individuales de cada valor posible de la variable aleatoria. La función de distribución de una variable aleatoria discreta F(X) se define como:

\[F(X) = P(X ≤ x)\]

Para una variable aleatoria continua, la función de distribución se expresa como la integral acumulada de la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria. La función de distribución de una variable aleatoria continua \(F(X)\) se define como:

\[F(x)=f(X\leq x)=\int_{-\infty }^{x}f(t)dt\]

1.4 MEDIDAS DE RESUMEN “PARÁMETROS”

Las medidas de resumen son estadísticas que se utilizan para resumir las características de una variable aleatoria en una sola medida o un conjunto de medidas.

1.4.1 Valor Esperado o Esperanza Matemática

es una medida que indica el promedio esperado de una variable aleatoria después de múltiples repeticiones. En otras palabras, es el valor que se espera obtener en promedio cuando se realiza una prueba muchas veces.

\[{\displaystyle \mathbb {E} [X]} = \mu \]

1.4.2 Varianza

Es una medida de la dispersión de una variable aleatoria respecto a su valor esperado. En otras palabras, mide cuánto se alejan los valores individuales de una variable aleatoria del valor esperado.

\[{\displaystyle \mathbb {V} [X]} = \sigma^2 \]

1.4.3 Desviación Tipica o Estandar

es una medida de la dispersión de una variable aleatoria similar a la varianza. Sin embargo, es más fácil de interpretar que la varianza, ya que está en las mismas unidades que la variable aleatoria. Es la raíz cuadrada de la varianza. La desviación típica indica cuánto se desvían los valores individuales de una variable aleatoria del valor esperado en promedio.

\[\sqrt{{\displaystyle \mathbb {V} [X]}}=\sigma\]

1.5 Parámetros Para la Variable Aleatoria Discreta

Valor Esperado

$${\displaystyle \mathbb {E} [X]} = \mu=\sum_{x}^{}xf(x)$$

Varianza

$$ {\displaystyle \mathbb {V} [X]} =\sum_{x}^{}(x-\mu )^2 f(x)= \sigma^2$$ $${\displaystyle \mathbb {V} [X]} ={\displaystyle \mathbb {E} [X^2]}- ({\displaystyle \mathbb {E}[X]})^2$$ $$ Donde: {\displaystyle \mathbb {E} [x^2]}=\sum_{x}^{}x^2f(x)$$

Desviación Tipica o Estandar

$$\sqrt{{\displaystyle \mathbb {V} [X]}}=\sigma$$

1.6 Parámetros Para la Variable Aleatoria continua:

VALOR ESPERADO

\[{\displaystyle \mathbb {E} [X]} = \mu=\int_{-\infty }^{\infty} xf(x)dx\]

VARIANZA

\[ {\displaystyle \mathbb {V} [X]} =\int_{-\infty }^{\infty} xf(x-\mu)^2dx= \sigma^2\]

\[{\displaystyle \mathbb {V} [X]} ={\displaystyle \mathbb {E} [X^2]}- ({\displaystyle \mathbb {E}[X]})^2\]

\[ Donde: {\displaystyle \mathbb {E} [x^2]}=\int_{-\infty }^{\infty} x^2f(x)dx\]

DESVIACIÓN TIPICA O ESTANDAR

\[\sqrt{{\displaystyle \mathbb {V} [X]}}=\sigma\]

2 Ejercicios Propuestos

2.1 Ejemplo con la variable aleatoria discreta

\(1.\) Un experimento consiste en lanzar tres veces una moneda. Sea la variable aleatoria: \(\mathbb{X}\) \(=\)“número de caras que se obtienen”. Se pide:

\(a)\) Distribución de probabilidad de \(\mathbb{X}\)

Espacio muestral: \(\Omega\) \(=\) \(\left \{ (c,c,c),(c,c,s),(c,s,c),(s,c,c),(c,s,s),(s,c,s),(s,s,c),(s,s,s) \right \}\)

\(·\) \(\mathbb{X}(c,c,c)\) \(=\) \(3\)

\(P(\mathbb{X}=3) = \frac{1}{8}\)

\(·\) \(\mathbb{X}(c,c,s)=\mathbb{X}(c,s,c)=\mathbb{X}(s,c,c)=2\)

\(P(\mathbb{X}=2) = \frac{3}{8}\)

\(·\) \(\mathbb{X}(c,s,s)=\mathbb{X}(s,s,c)=\mathbb{X}(s,c,s)=1\)

\(P(\mathbb{X}=1) = \frac{3}{8}\)

\(·\) \(\mathbb{X}(s,s,s) = 0\)

\(P(\mathbb{X}=0) = \frac{1}{8}\)

La distribución de probabilidad será:

Code

library(MASS)
columna1 = c(0,1,2,3)
columna2 = as.fractions(c(1/8,3/8,3/8,1/8))
columna3= as.fractions(columna1*columna2)
columna3.1= as.fractions(sum(columna3))
columna4=as.fractions(columna1-columna3.1)
columna5=as.fractions(columna4^2)
columna6= as.fractions(columna2*columna5)

datos=data.frame(columna1,columna2,columna3,columna4,columna5,columna6)

fila_sumatoria <- data.frame(columna1 = NA, columna2 = sum(columna2), 
                              columna3 = sum(columna3), columna4 = NA, columna5 =NA, columna6= sum(columna6))

datos <- rbind(datos, fila_sumatoria)


# Cambiar el nombre de la columna 1
nombre_columna1 <- "$\\mathbb{X}=x_{i}$"
names(datos)[1] <- nombre_columna1

# Cambiar el nombre de la columna 2
nombre_columna2 <- "$P\\left ( \\mathbb{X}=x_{i} \\right )=f(x)$"
names(datos)[2] <- nombre_columna2

# Cambiar el nombre de la columna 3
nombre_columna3 <- "$x_{i}f(x)$"
names(datos)[3] <- nombre_columna3
 
# Cambiar el nombre de la columna 4
nombre_columna4 <- "$x_{i}-\\mu$"
names(datos)[4] <- nombre_columna4

# Cambiar el nombre de la columna 5
nombre_columna5 <- "$(x_{i}-\\mu)^2$"
names(datos)[5] <- nombre_columna5

# Cambiar el nombre de la columna 6
nombre_columna6 <- "$f(x)*(x_{i}-\\mu)^2$"
names(datos)[6] <- nombre_columna6



kable(datos, format = "markdown", row.names = FALSE, 
      caption = "DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD")

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

\(\mathbb{X}=x_{i}\)	\(P\left ( \mathbb{X}=x_{i} \right )=f(x)\)	\(x_{i}f(x)\)	\(x_{i}-\mu\)	\((x_{i}-\mu)^2\)	\(f(x)*(x_{i}-\mu)^2\)
0	0.125	0.000	-1.5	2.25	0.28125
1	0.375	0.375	-0.5	0.25	0.09375
2	0.375	0.750	0.5	0.25	0.09375
3	0.125	0.375	1.5	2.25	0.28125
NA	1.000	1.500	NA	NA	0.75000

Grafico con base

Code

# Gráfico 
# valores de la variable
x <- 0:3
# f.m.p.
fx <- c(1/8, 3/8, 3/8, 1/8)
# Crear el gráfico
plot(x = x, y = fx, xlab = "x", ylab = "f(x)", pch = 15, col = "#EE3B3B", ylim = c(0, 0.5))

# Agregar las líneas verticales
segments(x0 = x, y0 = 0, x1 = x, y1 = fx, lwd = 2, col = "#EE3B3B")

Grafico con ggplot2

Code

library(ggplot2)

# valores de la variable
x <- 0:3
# f.m.p.
fx <- c(1/8, 3/8, 3/8, 1/8)

# Crear el gráfico con ggplot2
ggplot(data = data.frame(x = x, fx = fx), aes(x = x, y = fx)) +
  geom_segment(aes(x = x, xend = x, y = 0, yend = fx), lwd = 2, col = "#EE3B3B") +
  geom_point(size = 4, col = "#EE3B3B") +
  scale_y_continuous(limits = c(0, 0.5), breaks = seq(0, 0.5, 1/8)) +
  labs(x = "x", y = "f(x)")

\(b)\) Función de distribución de \(\mathbb{X}\). Representación gráfica

\(x< 0\) \[F(\mathbb{X}) = P(\mathbb{X} \leq x)=P(\emptyset)=0\]

\(0\leq x< 1\) \[F(\mathbb{X}) = P(\mathbb{X} \leq x)=P(\mathbb{X}=0)=\frac{1}{8}\]

\(0\leq x< 2\) \[F(\mathbb{X}) = P(\mathbb{X} \leq x)=P(\mathbb{X}< 2)=P(\mathbb{X}=0)+P(\mathbb{X}=1)=\frac{1}{8}+\frac{3}{8}=\frac{4}{8}\]

\(0\leq x<3\) \[ F(\mathbb{X}) = P(\mathbb{X} \leq x)=P(\mathbb{X}=3)=P(\mathbb{X}=0)+P(\mathbb{X}=1)+P(\mathbb{X}=2)=\frac{1}{8}+\frac{3}{8}+\frac{3}{8}=\frac{7}{8}\]

\(x=3\) \[F(\mathbb{X}) = P(\mathbb{X} \leq x)=P(\mathbb{X}=3)=P(\mathbb{X}=0)+P(\mathbb{X}=1)+P(\mathbb{X}=2)+P(\mathbb{X}=3)\] \[=\frac{1}{8}+\frac{3}{8}+\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=1\]

\(x> 3\) \[F(\mathbb{X})= P(\mathbb{X} \leq x)=P(\Omega)=1\]

Code

X = c(0,1,2,3)
Px = c(1/8,3/8,3/8,1/8)
Pxacumulada=cumsum(Px)
tabla_2=data.frame(X,Px,Pxacumulada)

# Cambiar el nombre de la columna 1 x
X <- "$\\mathbb{X}=x_{i}$"
names(tabla_2)[1] <- X

# Cambiar el nombre de la columna 2
Px <- "$P\\left ( \\mathbb{X}=x_{i} \\right )$"
names(tabla_2)[2] <- Px

# Cambiar el nombre de la columna 3
Pxacumulada <- "$F(X) = P(X ≤ x)$"
names(tabla_2)[3] <- Pxacumulada

kable(tabla_2, format = "markdown", row.names = FALSE, 
      caption = "FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN")

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

\(\mathbb{X}=x_{i}\)	\(P\left ( \mathbb{X}=x_{i} \right )\)	\(F(X) = P(X ≤ x)\)
0	0.125	0.125
1	0.375	0.500
2	0.375	0.875
3	0.125	1.000

Representación Gráfica

BASE

Code

# valores de la variable
X <- c(0, 1, 2, 3)

# f.m.p.
Px <- c(1/8, 3/8, 3/8, 1/8)

# f.d.a.
Pxacumulada <- cumsum(Px)

plot(x = c(0, X), y = c(0, Pxacumulada), type = "s", 
     xlab = "x", ylab = "F(x)", col = "#EE3B3B", lwd = 2)
points(X, Pxacumulada, col = "#EE3B3B", pch = 15)

GGPLOT2

Code

library(ggplot2)

# valores de la variable
X <- c(0, 1, 2, 3)

# f.m.p.
Px <- c(1/8, 3/8, 3/8, 1/8)

# f.d.a.
Pxacumulada <- cumsum(Px)

# Crear el data frame
df <- data.frame(X = X, Pxacumulada = Pxacumulada)

# Crear el gráfico
ggplot(df, aes(x = X, y = Pxacumulada)) + 
  geom_step(color = "#EE3B3B", size = 1.5) + 
  geom_point(color = "#EE3B3B", size = 3) + 
  labs(x = "x", y = "F(x)") + 
  ylim(0,1)

\(F(\mathbb{X}) =\left\lbrace\begin{array}{c} 0~~~~~x< 0 \\ \frac{1}{8}~~~~~0\leq x< 1\\\frac{4}{8}~~~~~1\leq x< 2\\\frac{7}{8}~~~~~2\leq x< 3\\ 1~~~~~x\geq 3\end{array}\right.\)

\(c)\) Media, varianza y desviación típica de \(\mathbb{X}\)

• Media o Valor Esperado :

\[{\displaystyle \mathbb {E} [X]} = \mu = \sum_{x}^{}x_{i}f(x)\] \[\sum_{x}^{}x_{i}f(x)= 0+\frac{3}{8}+\frac{6}{8}+\frac{3}{8}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}=1.5\]

• Varianza:

\[ {\displaystyle \mathbb {V} [X]} =\sum_{x}^{}(x-\mu )^2 f(x)= \sigma^2\]

\(\sum_{x}^{}(x-\mu )^2 f(x)= 0.28125+0.09375+0.09375+0.28125=0.75\)

con fraccionarios se veria así:

\({\displaystyle \mathbb {V} [X]} =\sum_{x}^{}(x-\mu )^2 f(x)=\frac{9}{32}+\frac{3}{32}+\frac{3}{32}+\frac{9}{32}=\frac{24}{32}=\frac{3}{4}=0.75\)

• Desviación Típica o Estandar:

\[\sqrt{{\displaystyle \mathbb {V} [X]}}=\sigma\]

\[\sqrt{0.75} = 0.86 = \frac{1}{2}\sqrt{3}\]

\(d)\) Probabilidad de que salgan a lo sumo dos caras

\(P(\mathbb{X} \leq 2)=P(\mathbb{X}=0)+P(\mathbb{X}=1)+P(\mathbb{X}=2)=\frac{1}{8}+\frac{3}{8}+\frac{3}{8}=\frac{7}{8}\) o bien \(P(\mathbb{X} \leq 2)=F(2)=\frac{7}{8}=0.875\)

\(e)\) Probabilidad de que salgan al menos dos caras

\(P(X\geq 2)=P(\mathbb{X}=2)+P(\mathbb{X}=3)=\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}=0.5\)

o bien \(P(\mathbb{X}\geq 2)= 1-P(\mathbb{X}< 2)=1-P(\mathbb{X}\leq 1)=1-\left [P(\mathbb{X}=0)+ P(\mathbb{X}=1) \right ] = 1-(\frac{1}{8}+\frac{3}{8})=\frac{1}{2}=0.5\)

2.2 ejemplo con la variable aleatoria continua

Se ha verificado que la variable X =“peso en kilos de los niños al nacer” es una variable aleatoria continua con función de densidad.

\(f(x)=\left\lbrace\begin{array}{c} kx~~2\leq x\leq 4\\ 0~en~otro~caso \end{array}\right.\)

Se pide:

a) Hallar k para que f(x) sea función de densidad. Representarla

Para que f(x) sea una función de densidad, debe cumplir que la integral de la función sobre todo su dominio sea igual a 1. Entonces:

\(1=\int_{-\infty }^{\infty }f(x)dx=\int_{-\infty }^{2 }f(x)dx+\int_{2 }^{4 }f(x)dx+\int_{4 }^{\infty }f(x)dx\)

\(1=\int_{2 }^{4 }f(x)dx\)

\(1=\int_{2 }^{4 }f(x)dx=\int_{2 }^{4 }kx~dx=k\int_{2 }^{4 }x~dx=K\left [ \frac{x^2}{2}\right ]_{2}^{4}=k\left [ \frac{16}{2}-\frac{4}{2} \right ]=6k \mapsto k=\frac{1}{6}\)

Code

library(ggplot2)

x <- seq(0, 6, by = 0.01)
y <- ifelse(x >= 2 & x <= 4, 1/6 * x, 0)

df <- data.frame(x, y)

ggplot(df, aes(x = x, y = y)) + 
  geom_line(size = 1, color = "#EE3B3B") +
  xlab("x") +
  ylab("f(x)") +
  ggtitle("Función de densidad de probabilidad")

b) Hallar la función de distribución. Representarla

Para hallar la función de distribución, primero debemos calcular la integral de la función de densidad desde menos infinito hasta un valor x:

\(F(X)=\int_{-\infty }^{x }f(t)dt\)

\(x< 2~~~~F(X)=\int_{-\infty }^{x }f(t)dt=0\)

\(2\leq x\leq 4~~~~F(X)=\int_{-\infty }^{x }f(t)dt=F(X)=\int_{2 }^{x }f(t)dt=F(X)=\int_{-\infty }^{x }\frac{t}{6}dt=\frac{1}{6}\left [ \frac{t^2}{2} \right ]_{2}^{x}=\frac{x^2-4}{12}\)

\(x> 4~~~~F(X)=F(X)=\int_{-\infty }^{x }f(t)dt=F(X)=\int_{2 }^{4 }f(t)dt= \int_{2 }^{4 }\frac{t}{6}dt=\frac{1}{6}\left [ \frac{t^2}{2} \right ]_{2}^{4}=\frac{16-4}{2}=1\)

\[ F(X)=\left\lbrace\begin{array}{c} 0~~~~x< 2\\ \frac{x^2-4}{12}~~~~2\leq x\leq 4\\1~~~~ x> 4\end{array}\right. \]

Code

x <- seq(0, 6, by = 0.01)
y <- 1/12 * x^2 - 1/3
y <- ifelse(x < 2, 0, y)  # asignar valor 0 para x < 2
y <- ifelse(x > 4, 1, y)  # asignar valor 1 para x > 4

df <- data.frame(x, y)

ggplot(df, aes(x = x, y = y)) + 
  geom_line(size = 1, color = "#EE3B3B") +
  xlab("x") +
  ylab("F(x)") +
  ggtitle("Función de distribución")

c) Media, varianza y desviación típica

Media:

\(\alpha_{1}=\mu_{x} =E(\mathbb{X})=\int_{-\infty }^{\infty }xf(x)dx=\int_{2}^{4}x\frac{x}{6}~~dx=\frac{1}{6}\int_{2}^{4}x^2~~dx=\frac{1}{6}\left [ \frac{x^3}{3} \right ]_{2}^{4}=\frac{1}{6}\left [ \frac{64}{3}-\frac{8}{3} \right ]=3,1~~kilos\)

Varianza: \(\sigma_{x}^{2}=\alpha_{2}-\alpha_{1}^{2}\)

\(\alpha_{2}=E(\mathbb{X}^2)=\int_{-\infty }^{\infty }x^2f(x)dx=\int_{2}^{4}x^2~\frac{x}{6}~dx=\frac{1}{6}\int_{2}^{4}x^3~dx=\frac{1}{6}\left [ \frac{x^4}{4} \right ]_{2}^{4}=\frac{1}{6}\left [ \frac{256}{4}-\frac{16}{4} \right ]=10~~kilos^2\)

\(\sigma_{x}^{2}=\alpha_{2}-\alpha_{1}^{2}=10-3.1^{2}=0.39~~kilos^2\)

Desviación típica:

\(\sqrt{\displaystyle \mathbb {V} [X]}= \sigma\)

\(\sqrt{\displaystyle \mathbb {V} [X]}= \sigma_{x}=\sqrt{0.39~~kilos^2}=0.62~~kilos\)

d) Probabilidad de que un niño elegido al azar pese más de 3 kilos

\(P\left ( \mathbb{X}> 3 \right )=1-P\left ( \mathbb{X}\leq 3 \right )=1-F(3)=1-\frac{3^2-4}{12}=1-\frac{5}{12}=\frac{7}{12}=0.58\)

\(o~~tambien,~~ P\left ( \mathbb{X}> 3 \right )=\int_{3}^{4}f(x)~dx=\int_{3}^{4}\frac{x}{6}~dx=\frac{1}{6}\left [ \frac{x^2}{2} \right ]_{3}^{4}=\frac{1}{6}\left ( \frac{16}{2}-\frac{9}{2} \right )=0.58\)

e) Probabilidad de que pese entre 2 y 3,5 kilos

\(P\left ( 2\leq \mathbb{X} \leq 3.5\right )=F(3.5)-F(2)=\frac{3.5^2-4}{12}-0=0.6875\)

o podemos hacerlo de la siguiente manera:

\(P\left ( 2\leq \mathbb{X} \leq 3.5\right )\int_{2}^{3.5}f(x)dx=\int_{2}^{3.5}\frac{x}{6}dx=\frac{1}{6}\left [ \frac{x^2}{2} \right ]_{2}^{3.5}=\frac{1}{6}\left ( \frac{12.25}{2}-\frac{4}{2} \right )=\frac{8.25}{12}=0.6875\)

f) Qué debe pesar un niño para tener un peso igual o inferior al 90% de los niños.

\(F(K)=P(\mathbb{X}\leq k)=0.9\) \(~~0.9~~equivalentes~~al~~90%~~\) \(\rightarrow \frac{k^2-4}{12}=0.9\Rightarrow k^2-4=10.8\Rightarrow k^2=14.8\)

\(k=\sqrt{14.8}=3.85\)

es decir, el niño debe pesar 3,85 kilos para tener para tener al 90% de los niños con un peso igual o inferior a él.

[Wickham (2016); Henry and Wickham (2022); Xie (2023); Zhu (2021); Venables and Ripley (2002); Xie, Allaire, and Horner (2023); Allaire et al. (2023); Ooms (2023); Gordon, Gragg, and Konings (2022)](Dahl et al. 2019; Bache and Wickham 2022; Wickham et al. 2023; Müller and Wickham 2023)

References

Allaire, JJ, Yihui Xie, Christophe Dervieux, Jonathan McPherson, Javier Luraschi, Kevin Ushey, Aron Atkins, et al. 2023. “Rmarkdown: Dynamic Documents for r.” https://github.com/rstudio/rmarkdown.

Bache, Stefan Milton, and Hadley Wickham. 2022. “Magrittr: A Forward-Pipe Operator for r.” https://CRAN.R-project.org/package=magrittr.

Dahl, David B., David Scott, Charles Roosen, Arni Magnusson, and Jonathan Swinton. 2019. “Xtable: Export Tables to LaTeX or HTML.” https://CRAN.R-project.org/package=xtable.

Gordon, Max, Stephen Gragg, and Peter Konings. 2022. “htmlTable: Advanced Tables for Markdown/HTML.” https://CRAN.R-project.org/package=htmlTable.

Henry, Lionel, and Hadley Wickham. 2022. “Tidyselect: Select from a Set of Strings.” https://CRAN.R-project.org/package=tidyselect.

Müller, Kirill, and Hadley Wickham. 2023. “Tibble: Simple Data Frames.” https://CRAN.R-project.org/package=tibble.

Ooms, Jeroen. 2023. “Commonmark: High Performance CommonMark and Github Markdown Rendering in r.” https://CRAN.R-project.org/package=commonmark.

Venables, W. N., and B. D. Ripley. 2002. “Modern Applied Statistics with s.” https://www.stats.ox.ac.uk/pub/MASS4/.

Wickham, Hadley. 2016. “Ggplot2: Elegant Graphics for Data Analysis.” https://ggplot2.tidyverse.org.

Wickham, Hadley, Romain François, Lionel Henry, Kirill Müller, and Davis Vaughan. 2023. “Dplyr: A Grammar of Data Manipulation.” https://CRAN.R-project.org/package=dplyr.

Xie, Yihui. 2023. “Knitr: A General-Purpose Package for Dynamic Report Generation in r.” https://yihui.org/knitr/.

Xie, Yihui, JJ Allaire, and Jeffrey Horner. 2023. “Markdown: Render Markdown with ’Commonmark’.” https://CRAN.R-project.org/package=markdown.

Zhu, Hao. 2021. “kableExtra: Construct Complex Table with ’Kable’ and Pipe Syntax.” https://CRAN.R-project.org/package=kableExtra.