1. 建立迴歸模型

data(iris)

# 建立模型：花萼寬度 ~ 其他變數
model1 <- feols(Sepal.Width ~ Sepal.Length + Petal.Length + Petal.Width + Species, data = iris)
summary(model1)
## OLS estimation, Dep. Var.: Sepal.Width
## Observations: 150
## Standard-errors: IID 
##                    Estimate Std. Error  t value   Pr(>|t|)    
## (Intercept)        1.657164   0.255946  6.47467 1.4001e-09 ***
## Sepal.Length       0.377773   0.065569  5.76147 4.8675e-08 ***
## Petal.Length      -0.187567   0.083493 -2.24650 2.6194e-02 *  
## Petal.Width        0.625710   0.123376  5.07156 1.1956e-06 ***
## Speciesversicolor -1.160285   0.193294 -6.00268 1.5033e-08 ***
## Speciesvirginica  -1.398255   0.277146 -5.04519 1.3445e-06 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## RMSE: 0.262392   Adj. R2: 0.622493

2. 結果解釋

變數 估計值 (Estimate) 標準誤 (Std. Error) t 值 Pr(> t
(Intercept) 1.657 0.256 6.47 <0.001 基準值：當各變數為 0 且物種為 setosa 時的預測值
Sepal.Length 0.378 0.066 5.76 <0.001 每增加 1 單位花萼長度，花萼寬度約增加 0.38
Petal.Length -0.188 0.083 -2.25 0.026 花瓣長度增加 1 單位，花萼寬度減少約 0.19
Petal.Width 0.626 0.124 5.07 <0.001 花瓣寬度增加 1 單位，花萼寬度增加約 0.63
Speciesversicolor -1.160 0.193 -6.00 <0.001 相較 setosa，versicolor 花萼寬度小 1.16
Speciesvirginica -1.398 0.277 -5.05 <0.001 相較 setosa，virginica 花萼寬度小 1.40

統計意義

幾乎所有變數的 p 值 < 0.05，表示在 95% 信心水準下皆具顯著性。

星號代表顯著程度：

***：p < 0.001（極顯著）

**：p < 0.01（顯著）

*：p < 0.05（中度顯著）

模型表現

RMSE = 0.262：平均預測誤差約 0.26 單位，屬於合理範圍。

調整後 R² = 0.622：模型能解釋約 62% 的花萼寬度變異，顯示具有良好解釋力。

解釋總結

花萼長度與花瓣寬度呈正相關；花瓣長度呈負相關。

不同物種之間花萼寬度有明顯差異，versicolor 與 virginica 的花萼都比setosa小。

模型整體顯著，結果穩定且具解釋力。

3. 同時檢定兩個係數

同時檢定花瓣長度與寬度的係數是否為 0

linearHypothesis(model1, c("Petal.Length = 0", "Petal.Width = 0"))
## 
## Linear hypothesis test:
## Petal.Length = 0
## Petal.Width = 0
## 
## Model 1: restricted model
## Model 2: Sepal.Width ~ Sepal.Length + Petal.Length + Petal.Width + Species
## 
##   Res.Df Df  Chisq Pr(>Chisq)    
## 1    146                         
## 2    144  2 26.014  2.245e-06 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Linear hypothesis test: Petal.Length = 0 and Petal.Width = 0

Model 1: restricted model

Model 2: Sepal.Width ~ Sepal.Length + Petal.Length + Petal.Width + Species

p 值 = 2.245 × 10⁻⁶ < 0.001 → 拒絕虛無假設 。 這表示：花瓣長度 (Petal.Length) 和花瓣寬度 (Petal.Width) 至少有一個對花萼寬度 (Sepal.Width) 具有顯著影響。 也就是說，把這兩個變數拿掉後，模型的解釋力會顯著下降。

4. 殘差診斷圖

library(ggplot2)

ggplot(data.frame(fitted = fitted(model1), resid = resid(model1)),
       aes(x = fitted, y = resid)) +
  geom_point(color = "blue", alpha = 0.6) +
  geom_hline(yintercept = 0, color = "red") +
  theme_minimal() +
  labs(
    title = "Residuals vs Fitted (feols Model)",
    x = "Fitted Values",
    y = "Residuals"
  )

5. 使用 fixest::feols() 比較模型與 etable()

model1 <- feols(Sepal.Width ~ Sepal.Length + Petal.Length, data = iris)
model2 <- feols(Sepal.Width ~ Sepal.Length + Petal.Length + Petal.Width + Species, data = iris)

# 模型比較表
etable(list(
  "簡化模型" = model1,
  "完整模型" = model2
),
style.tex = FALSE,
dict = c(
  Sepal.Width = "花萼寬度",
  Sepal.Length = "花萼長度",
  Petal.Length = "花瓣長度",
  Petal.Width = "花瓣寬度"
))
##                          簡化模型       完整模型
## Dependent Var.:          花萼寬度       花萼寬度
##                                                         
## Constant            1.038*** (0.2882)  1.657*** (0.2559)
## 花萼長度       0.5612*** (0.0653) 0.3778*** (0.0656)
## 花瓣長度      -0.3353*** (0.0307)  -0.1876* (0.0835)
## 花瓣寬度                          0.6257*** (0.1234)
## Speciesversicolor                     -1.160*** (0.1933)
## Speciesvirginica                      -1.398*** (0.2771)
## _________________ ___________________ __________________
## S.E. type                         IID                IID
## Observations                      150                150
## R2                            0.45641            0.63516
## Adj. R2                       0.44902            0.62249
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

6. 結論

根據 fixest::feols() 模型分析結果，花萼寬度 (Sepal.Width) 與花萼長度 (Sepal.Length)、花瓣長度 (Petal.Length) 及花瓣寬度 (Petal.Width) 之間具有顯著線性關係。 在完整模型中，花萼長度與花瓣寬度對花萼寬度呈正向影響，而花瓣長度則呈負向影響；不同物種間的花萼寬度也有明顯差異，versicolor 與 virginica 的花萼顯著比 setosa 小。

linearHypothesis() 檢定顯示花瓣長度與花瓣寬度的係數並非同時為零（p < 0.001），代表兩者對模型具有顯著貢獻。 etable() 比較顯示完整模型的調整後 R²（0.622）明顯高於簡化模型（0.449），說明加入花瓣變數與物種後能有效提升模型解釋力。

殘差圖與散點圖（含 geom_smooth(method = “lm”) 迴歸線）顯示資料分佈合理、線性假設成立、無明顯異質變異。 整體而言，完整模型能準確捕捉花萼寬度的變異，並展現花形特徵與物種分類之間的明確關聯。

7. 繪製迴歸線圖

ggplot(iris, aes(x = Sepal.Length, y = Sepal.Width, color = Species)) +
  geom_point(alpha = 0.8, size = 2) +
  geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, linewidth = 1) +
  theme_minimal(base_size = 14) +
  labs(
    title = "Linear Relationship between Sepal Width and Sepal Length",
    x = "Sepal Length",
    y = "Sepal Width"
  )
## `geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'