EMBOUTEILLAGE SUR UNE VOIE PUBLIQUE

Author

Dr AMANA MANIYASSOUWE/ 92 13 56 13

Le Principe Fondamental : L’Instabilité du Flux de Trafic Imaginez une file de voitures circulant sur une autoroute à une vitesse stable. Le système est en équilibre. Cependant, cet équilibre est précaire. Si une seule voiture ralentit ne serait-ce qu’un peu trop brusquement, la voiture suivante est obligée de ralentir un peu plus pour éviter la collision. La voiture d’après ralentira encore un peu plus, et ainsi de suite. Cette perturbation s’amplifie comme une vague qui remonte la file de voitures, jusqu’à ce qu’à un certain point, une voiture doive s’arrêter complètement. Le bouchon est né.

Les Équations Clés On modélise le trafic de trois manières principales, des plus simples aux plus complexes.

1. Le Modèle du Suiveur (Car-Following Model)

C’est le modèle le plus intuitif pour comprendre le “daim”. Il se concentre sur la relation entre deux voitures : un leader et un suiveur.

Soit :

🔘\(x_n(t)\) : la position de la n-ième voiture (le suiveur) au temps t.

🔘\(x_{n-1}(t\)) : la position de la voiture qui la précède (le leader) au temps t.

🔘 \(s(t) = x_{n-1}(t) - x_n(t)\) : l’espace (distance) entre les deux voitures.

🔘 \(Δv(t) = v_{n-1}(t) - v_n(t)\) : la différence de vitesse entre les deux voitures.

L’idée centrale : Le conducteur du suiveur ajuste son accélération en fonction de deux choses :

La distance qui le sépare du leader : s’il est trop près, il ralentit.

La vitesse relative par rapport au leader : si le leader va plus vite, il accélère ; si le leader ralentit, il freine.

L’équation la plus simple (modèle OVM - Optimal Velocity Model) s’écrit :

🔘 \(d²x_n(t)/dt² = a * [ V(s(t)) - dx_n(t)/dt ]\)

Où :

🔘\(d²x_n(t)/dt²\) est l’accélération du suiveur.

🔘 \(dx_n(t)/dt\) est sa vitesse.

🔘 \(V(s(t))\) est la “vitesse optimale”, une fonction qui donne la vitesse que le conducteur aimerait avoir en fonction de la distance s qui le sépare du véhicule précédent. C’est une fonction croissante : plus la distance est grande, plus la vitesse souhaitée est élevée.

🔘 \(a\) est un paramètre de sensibilité (réactivité du conducteur).

Comment le bouchon se forme avec cette équation :

Le leader ralentit légèrement (\(v_{n-1} diminue\)). La distance s entre lui et le suiveur commence à diminuer.

Le suiveur, percevant que s est en dessous de sa valeur idéale et que \(Δv\) est négative (le leader va moins vite que lui), freine selon l’équation ci-dessus.

S’il est trop sensible ou freine trop fort (le paramètre a et la forme de la fonction V sont cruciaux), il va ralentir plus que nécessaire.

Le véhicule n+1 derrière lui va reproduire la même réaction, mais en plus amplifiée. Après plusieurs véhicules, l’amplification est telle qu’un conducteur doit freiner jusqu’à l’arrêt. La perturbation, initialement faible, est devenue une onde stationnaire de ralentissement, c’est-à-dire un bouchon.

2 Schema Illustratif

embouteillage cluster_legende Légende cluster_initial État Initial: Flux Stable cluster_equations Équations Clés cluster_bouchon Formation du Bouchon cluster_perturbation Perturbation Initiale cluster_amplification Amplification de la Perturbation Initial Flux homogène Densité ρ, Vitesse V Perturbation Freinage brusque (Daim) Initial->Perturbation Instabilité à haute densité Voiture1 Voiture n-1 Ralentit légèrement Perturbation->Voiture1 Amorce Voiture2 Voiture n Freine plus fort Voiture1->Voiture2 Δv < 0 s diminue Eq1 d²xₙ/dt² = a[V(s) - dxₙ/dt] Voiture1->Eq1 Décrit Voiture3 Voiture n+1 Freine encore plus Voiture2->Voiture3 Δv << 0 s << s_critique Voiture2->Eq1 Décrit Onde Onde de choc se propage à contre-courant Voiture3->Onde Propagation en amont Voiture3->Eq1 Décrit Arret Arrêt complet à certains points Onde->Arret Amplification critique Eq3 ∂ρ/∂t + ∂q/∂x = 0 Onde->Eq3 Décrit Eq2 Modèle du suiveur Eq4 Équation de continuité Leg1 s = distance inter-véhicule Leg2 Δv = différence de vitesse Leg3 ρ = densité de véhicules Leg4 q = flux (ρ × V)

bouchon_simple FluxStable Flux Stable ρ constant, V constante Perturbation Perturbation (Daim) Freinage localisé FluxStable->Perturbation Amplification Amplification Chaque véhicule freine plus fort Perturbation->Amplification Eq1 Modèle microscopique: d²xₙ/dt² = a[V(s) - dxₙ/dt] Perturbation->Eq1 OndeChoc Formation Onde de Choc Propagation en amont Amplification->OndeChoc Bouchon Bouchon Stationnaire Zone haute densité Vitesse ≈ 0 OndeChoc->Bouchon Eq2 Modèle macroscopique: ∂ρ/∂t + ∂q/∂x = 0 OndeChoc->Eq2

Flux de gauche à droite : Montre l’évolution temporelle du phénomène

Couleurs :

🟢 Vert : État stable et fluide

🟡 Jaune : Perturbation initiale (daim)

🟠 Orange : Phase d’amplification

🔴 Rouge : Formation et propagation du bouchon

Mécanisme clé : L’amplification où chaque véhicule amplifie le ralentissement, décrite par l’équation du modèle du suiveur.

Résultat : Création d’une onde de choc qui se propage à contre-courant, décrite par l’équation de continuité.

Ce schéma illustre bien comment une petite perturbation peut s’amplifier pour créer un embouteillage important sans cause apparente.

3. Les Équations de Fluide (Modèle Macroscopique)

Ici, on ne regarde plus les voitures individuellement, mais le trafic comme un fluide continu. On définit trois grandeurs :

\(Densité (ρ)\) : nombre de voitures par kilomètre.

\(Vitesse (u)\) : vitesse moyenne des voitures.

\(Flux (q)\) : nombre de voitures par heure qui passent un point donné. Il existe une relation fondamentale : \(q = ρ * u\).

L’équation clé est l’équation de continuité, qui exprime simplement la conservation des voitures (une voiture qui entre dans une section en sort, ou reste à l’intérieur) :

\(∂ρ/∂t + ∂q/∂x = 0\)

Pour fermer le système, on a besoin d’une relation constitutive. Souvent, on suppose que la vitesse est une fonction de la densité : \(u = u(ρ)\). C’est logique : plus il y a de voitures, plus on ralentit. Une loi classique est celle de Greenshields : \(u(ρ) = u_max * (1 - ρ/ρ_max)\).

Comment le bouchon se forme avec ces équations :

La résolution de ces équations montre que les perturbations (de densité ou de vitesse) se propagent sous forme d’ondes. La vitesse de ces ondes est donnée par :

\(c = dq/dρ\)

C’est la “vitesse des bouchons”. Le point crucial est que lorsque la densité dépasse un certain seuil critique (correspondant à la capacité maximale de la route, le sommet de la courbe \(q(ρ))\), le flux devient instable.

Une petite augmentation de densité ρ fait chuter le flux q.

Cela crée une accumulation locale de véhicules \((∂ρ/∂t > 0 car ∂q/∂x < 0)\).

Cette accumulation (la zone de haute densité) est le bouchon. Elle se propage à contre-courant des voitures à une vitesse c, qui est négative (c’est pourquoi on voit le bouchon reculer).

🔘Synthèse : La Création du Bouchon “Daim” Perturbation Initiale : Un simple ralentissement localisé (un “daim”). Cela peut être dû à un conducteur qui freine un peu trop, à un changement de voie, ou même à une légère pente.

🔘Amplification (Effet de Resonance) : À haute densité, les conducteurs sont “nerveux”. Le modèle du suiveur montre que leur réaction (freinage) est plus forte que la perturbation initiale. Chaque véhicule amplifie le signal de ralentissement.

🔘Formation de l’Onde de Choc : D’un point de vue macroscopique, cette perturbation amplifiée crée une zone localisée de très haute densité et de faible vitesse. C’est le bouchon.

🔘Propagation : Cette zone, comme une vague, se propage vers l’arrière (à contre-courant) à une vitesse constante de quelques km/h, tandis que les voitures à l’avant du bouchon peuvent finir par s’en échapper et ré-accélérer.

En résumé, les équations du modèle du suiveur décrivent le mécanisme microscopique d’amplification, tandis que les équations de fluide décrivent le comportement macroscopique du bouchon une fois formé. Le “daim” est la manifestation parfaite de l’instabilité intrinsèque du flux de trafic à haute densité.