中級統計学：復習テスト6

注意

すべての質問に解答しなければ提出とは認めない．正答に修正した上で，復習テスト1〜8を順に重ねて左上でホチキス止めし，第1回中間試験実施日（10月24日の予定）に提出すること．

1. 次の確率変数を考える．

X:=\begin{cases} 1 & \text{with pr.\ 1/2} \\ 0 & \text{with pr.\ 1/2} \\ \end{cases}

1. X の cdf を式とグラフで表しなさい．

2. X の pmf を式とグラフで表しなさい．

解答例

F_X(x)=\begin{cases} 0 & \text{for $x<0$} \\ 1/2 & \text{for $0 \le x<1$} \\ 1 & \text{for $1 \le x$} \\ \end{cases}

p_X(x)=\begin{cases} 1/2 & \text{for $x=0,1$} \\ 0 & \text{for $x \ne 0,1$} \\ \end{cases}

2. 以下の cdf に対応する pdf を式とグラフで表しなさい．（ヒント：cdf を微分すればよい．）

F(x):=\begin{cases} 0 & \text{for $x<0$} \\ x & \text{for $0 \le x \le 1$} \\ 1 & \text{for $1<x$} \\ \end{cases}

F(x):=\begin{cases} 0 & \text{for $x<1$} \\ 1-1/x & \text{for $x \ge 1$} \\ \end{cases}

F(x):=\begin{cases} 0 & \text{for $x<0$} \\ 1-1/\mathrm{e}^x & \text{for $x \ge 0$} \\ \end{cases}

F(x):=\frac{\mathrm{e}^x}{1+\mathrm{e}^x}

解答例

f(x)=\begin{cases} 0 & \text{for $x<0$} \\ 1 & \text{for $0 \le x \le 1$} \\ 0 & \text{for $1<x$} \\ \end{cases}

f(x)=\begin{cases} 0 & \text{for $x<1$} \\ 1/x^2 & \text{for $x \ge 1$} \\ \end{cases}

f(x)=\begin{cases} 0 & \text{for $x<0$} \\ 1/\mathrm{e}^x & \text{for $x \ge 0$} \\ \end{cases}

\begin{align*} f(x) & =F'(x) \\ & =\frac{\mathrm{e}^x(1+\mathrm{e}^x)-\mathrm{e}^x\mathrm{e}^x}{(1+\mathrm{e}^x)^2} \\ & =\frac{\mathrm{e}^x}{(1+\mathrm{e}^x)^2} \\ & =\frac{1}{1+\mathrm{e}^x}\frac{\mathrm{e}^x}{1+\mathrm{e}^x} \\ & =\frac{1}{1+\mathrm{e}^x}\frac{1}{\mathrm{e}^{-x}+1} \\ & =\frac{1}{(1+\mathrm{e}^x)(1+\mathrm{e}^{-x})} \end{align*}