Distribución Normal

\[ f(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2\sigma^2}z^2} \]

r random: Generar aleatorios

d density: Probabilidad puntual

p probability: Probabilidad acumulada

q quantile: Los cuatiles

El nombre de la distribución

z<-rnorm(1000)
plot(density(z))

z<-rnorm(10000)
plot(density(z))

z<-rnorm(100000)
plot(density(z))

\[ \bar{X} -> Normal \]

z<-rnorm(1000000)
plot(density(z))

pnorm(100)
## [1] 1

NOTA

En una distribución continua la probabilidad puntual siempre es cero, las probabilidades se encuentran en intervalos.

\[ \sigma_X = \sqrt{Var(X)} \]

\[ Var(X) = E((X-\mu)^2)=E(X^2) - \mu^2 \]

La desv estándar está en las unidades de la variable original. La distancia promedio que tienen los datos a la media.

Teorema de estandarización

\[X \sim N(\mu,\sigma^2)\] entonces

\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0,1) \] La distribución normal tiene media cero y varianza uno. No todas las distribuciones normales tiene la misma función de densidad, sin embargo, si se estandariza queda con media cero y con varianza 1.

x<-rnorm(10000,6,2)
plot(density(x))

mean(x)
## [1] 5.992289
sd(x)
## [1] 1.983673
z<-(x-mean(x))/sd(x)
round(mean(z),3)
## [1] 0
round(sd(z),3)
## [1] 1

En la notación z(0.05) medida del área a la izquierda del valor z.

qnorm(0.05,lower.tail = TRUE)
## [1] -1.644854

1.645, 10% 1.95, 5%

qnorm(0.025,lower.tail = TRUE)
## [1] -1.959964

TEOREMA DE LÍMITE CENTRAL

\[ Z = \frac{\bar X - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} ----> N(0,1) \]

Las distribuciones de probabilidad de todas las variables aleatorias continuas NO tienen distribución normal.

y<-rgamma(10000,5,10)
plot(density(y))

La distribución gamma se usa para modelar tiempos ya que el soporte son numeros reales positivos.

  1. P(0 < z < 2.42)
pnorm(2.42)-pnorm(0)
## [1] 0.4922397

b)b. P(z < 1.38)

pnorm(1.38)
## [1] 0.9162067
pnorm(-1.27)
## [1] 0.1020423
pnorm(2.72)-pnorm(-1.35)
## [1] 0.9082279
qnorm(0.2643,lower.tail = FALSE)
## [1] 0.6301446
qnorm(0.17)
## [1] -0.9541653
qnorm(0.04,lower.tail = FALSE)
## [1] 1.750686
qnorm(0.19)
## [1] -0.8778963
qnorm(0.717)
## [1] 0.5739524

$$ X N(35.6,5.4)

$$

P(X>40)

pnorm(40,35.6,5.4,lower.tail = F)
## [1] 0.2075892
qnorm(0.25,22,9,lower.tail = F)
## [1] 28.07041