# Verificar, instalar y activar el paquete "tidyverse"
if (!require(tidyverse)) {
install.packages("tidyverse")
}
library(tidyverse)
# Verificar, instalar y activar el paquete "kableExtra"
if (!require(kableExtra)) {
install.packages("kableExtra")
}
library(kableExtra)
# Verificar, instalar y activar el paquete "dplyr"
if (!require(dplyr)) {
install.packages("dplyr")
}
library(dplyr)Definición general
Un modelo probabilístico es una representación matemática de un fenómeno o proceso aleatorio (es decir, incierto), donde los resultados posibles y su probabilidad de ocurrencia se describen mediante la teoría de la probabilidad.
En otras palabras: Un modelo probabilístico permite predecir o analizar eventos que no son completamente determinísticos, pero cuya incertidumbre puede medirse con probabilidades.
Un modelo probabilístico generalmente incluye:
Espacio muestral (S): conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Ejemplo: al lanzar una moneda, ( S = {Cara, Sello} ).
Eventos (A, B, C…): subconjuntos del espacio muestral, que representan los sucesos de interés. Ejemplo: “que salga cara”.
Probabilidad (P): función que asigna un número entre 0 y 1 a cada evento, indicando la posibilidad de que ocurra. Ejemplo: ( P() = 0.5 ).
Variable aleatoria (X): variable numérica que representa los resultados del experimento. Ejemplo: X = número de ciudadanos satisfechos.
Función de probabilidad o distribución: describe cómo se distribuyen los valores de la variable aleatoria (por ejemplo, binomial, Poisson, normal).
Tipos de modelos probabilísticos
La variable aleatoria solo puede tomar valores enteros o contables.
Se usa cuando los resultados se pueden enumerar (por ejemplo, número de usuarios atendidos).
Ejemplos:
La variable aleatoria puede tomar infinitos valores dentro de un intervalo.
Se usa cuando la medición es continua (por ejemplo, tiempo de atención, peso, altura, duración).
Ejemplos:
Importancia en la administración pública
En el ámbito de la gestión pública, los modelos probabilísticos permiten:
Ejemplo aplicado
Situación: La Secretaría de Movilidad de Ibagué quiere saber cuántos ciudadanos quedarán satisfechos con la atención. De estudios previos se sabe que el 80% (p = 0.8) suele estar conforme.
Si se atienden 10 personas (n = 10), y definimos [ X = ,] entonces: [] X Binomial(10, 0.8)]
Este es un modelo probabilístico discreto, pues:
En resumen
| Elemento | Descripción |
|---|---|
| Concepto | Representación matemática de un fenómeno aleatorio. |
| Finalidad | Analizar, estimar o predecir resultados bajo incertidumbre. |
| Tipos | Discretos y continuos. |
| Aplicación en lo público | Planificación, gestión del riesgo, control de calidad, evaluación de servicios. |
Definición general
La distribución binomial es una de las distribuciones de probabilidad discretas más importantes en la estadística. Se utiliza cuando se realiza un experimento compuesto por un número fijo de ensayos independientes, en los cuales solo pueden ocurrir dos resultados posibles:
Cada ensayo tiene la misma probabilidad de éxito (p) y de fracaso (q = 1 – p).
Variable aleatoria
Sea la variable aleatoria X = número de éxitos obtenidos en n ensayos independientes. Entonces:
[] X Binomial(n, p)]
donde:
Función de probabilidad
La probabilidad de obtener exactamente k éxitos en n ensayos se calcula con la fórmula:
[P(X = k) = p^k (1 - p)^{n - k}]
donde: [ = ] es el coeficiente binomial, que indica el número de formas distintas en que pueden lograrse ( k ) éxitos en ( n ) intentos.
Propiedades fundamentales
[] E(X) = n p
[] Var(X) = n p (1 - p)]
[= ]
[] _{k=0}^{n} P(X = k) = 1]
Condiciones para aplicar la distribución binomial
Ejemplo aplicado a la Administración Pública
Contexto
En una jornada de atención al ciudadano, la Secretaría de Movilidad de Ibagué registra que la probabilidad de satisfacción del usuario es del 80% (p = 0.8). Durante el día se atienden 10 ciudadanos (n = 10).
Variable aleatoria: [ X = ]
Entonces: [Binomial(10, 0.8)]
¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 8 ciudadanos queden satisfechos?
P(X = 8) = (0.8)^8 (0.2)^2
P(X = 8) = 45 = 0.30199
✅ Resultado: La probabilidad de que 8 ciudadanos estén satisfechos es aproximadamente 0.302 (30.2%).
Usos de la distribución binomial en la administración pública
Interpretación estadística
La distribución binomial permite modelar y predecir resultados en contextos donde hay una probabilidad fija de éxito y un número determinado de ensayos. En el ámbito público, es una herramienta útil para la toma de decisiones basada en datos, ayudando a mejorar la eficiencia, calidad y planificación de los servicios ciudadanos.
ContextO
La Secretaría de Movilidad del Municipio de Ibagué está evaluando la eficiencia en la atención ciudadana en su ventanilla única. De acuerdo con datos históricos, el 80% de los ciudadanos (p = 0.8) quedan satisfechos con el servicio recibido.
Durante un día, se atienden 10 usuarios (n = 10) seleccionados al azar, y se desea analizar la probabilidad de satisfacción ciudadana.
Definimos la variable aleatoria:
X = número de ciudadanos satisfechos
Entonces:
( X Binomial(n = 10, p = 0.8) )
Incisos del ejercicio
a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 8 ciudadanos estén satisfechos?
( P(X = 8) )
b) ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 8 ciudadanos estén satisfechos?
( P(X < 8) = P(X ) )
c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 8 ciudadanos estén satisfechos?
( P(X ) )
d) ¿Cuál es la probabilidad de que como máximo 6 ciudadanos estén satisfechos?
( P(X ) )
e) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 9 ciudadanos estén satisfechos?
( P(X > 9) = P(X = 10) )
Fórmula general de la distribución binomial
[ P(X = k) = p^k (1 - p)^{n - k}] donde:
Cálculos paso a paso (ejemplo del inciso a)
[ P(X = 8) = (0.8)^8 (0.2)^2] [ P(X = 8) = 45 = 0.30199]
✅ Probabilidad: 30.2%
Resumen de cada inciso (valores aproximados)
| Inciso | Expresión | Probabilidad |
|---|---|---|
| a | (P(X = 8)) | 0.302 |
| b | (P(X < 8)) = 1 – P(X ≥ 8) | 0.323 |
| c | (P(X ≥ 8)) = P(8)+P(9)+P(10) | 0.677 |
| d | (P(X ≤ 6)) | 0.032 |
| e | (P(X > 9)) = P(10) | 0.107 |
Interpretación práctica
# --------------------------------------------------------------
# DISTRIBUCIÓN BINOMIAL - SECRETARÍA DE MOVILIDAD DE IBAGUÉ
# Evaluación de satisfacción ciudadana en ventanilla única
# --------------------------------------------------------------
# Parámetros del problema
n <- 10 # número de ciudadanos atendidos
p <- 0.8 # probabilidad de satisfacción (éxito)
q <- 1 - p # probabilidad de insatisfacción (fracaso)
# Variable aleatoria: X = número de ciudadanos satisfechos
# a) P(X = 8) -> probabilidad de que exactamente 8 ciudadanos estén satisfechos
P_igual_8 <- dbinom(8, n, p)
P_igual_8[1] 0.3019899# b) P(X < 8) -> probabilidad de que menos de 8 ciudadanos estén satisfechos
P_menor_8 <- pbinom(7, n, p) # acumulada hasta 7
P_menor_8[1] 0.3222005# c) P(X ≥ 8) -> probabilidad de que al menos 8 ciudadanos estén satisfechos
P_mayor_igual_8 <- 1 - pbinom(7, n, p)
P_mayor_igual_8[1] 0.6777995# d) P(X ≤ 6) -> probabilidad de que como máximo 6 ciudadanos estén satisfechos
P_menor_igual_6 <- pbinom(6, n, p)
P_menor_igual_6[1] 0.1208739# e) P(X > 9) -> probabilidad de que más de 9 ciudadanos estén satisfechos
P_mayor_9 <- 1 - pbinom(9, n, p) # o dbinom(10, n, p)
P_mayor_9[1] 0.1073742# --------------------------------------------------------------
# RESULTADOS EN UNA SOLA TABLA
# --------------------------------------------------------------
resultados <- data.frame(
Inciso = c("a) P(X = 8)", "b) P(X < 8)", "c) P(X ≥ 8)", "d) P(X ≤ 6)", "e) P(X > 9)"),
Probabilidad = round(c(P_igual_8, P_menor_8, P_mayor_igual_8, P_menor_igual_6, P_mayor_9), 4)
)
print(resultados) Inciso Probabilidad
1 a) P(X = 8) 0.3020
2 b) P(X < 8) 0.3222
3 c) P(X ≥ 8) 0.6778
4 d) P(X ≤ 6) 0.1209
5 e) P(X > 9) 0.1074| Función | Descripción |
|---|---|
dbinom(k, n, p) |
Calcula la probabilidad puntual ( P(X = k) ). |
pbinom(k, n, p) |
Calcula la probabilidad acumulada ( P(X k) ). |
1 - pbinom(k, n, p) |
Calcula ( P(X > k) ) o ( P(X k+1) ). |
| Inciso | Probabilidad |
|---|---|
| a) P(X = 8) | 0.3020 |
| b) P(X < 8) | 0.3222 |
| c) P(X ≥ 8) | 0.6778 |
| d) P(X ≤ 6) | 0.0328 |
| e) P(X > 9) | 0.1074 |
# --------------------------------------------------------------
# DISTRIBUCIÓN BINOMIAL - SECRETARÍA DE MOVILIDAD DE IBAGUÉ
# Evaluación de satisfacción ciudadana en ventanilla única
# --------------------------------------------------------------
# Parámetros del problema
n <- 10 # número de ciudadanos atendidos
p <- 0.8 # probabilidad de satisfacción (éxito)
q <- 1 - p # probabilidad de insatisfacción (fracaso)
# Variable aleatoria: X = número de ciudadanos satisfechos
# --------------------------------------------------------------
# CÁLCULO DE PROBABILIDADES SEGÚN LOS INCISOS
# --------------------------------------------------------------
# a) P(X = 8) -> probabilidad de que exactamente 8 ciudadanos estén satisfechos
P_igual_8 <- dbinom(8, n, p)
# b) P(X < 8) -> probabilidad de que menos de 8 ciudadanos estén satisfechos
P_menor_8 <- pbinom(7, n, p)
# c) P(X ≥ 8) -> probabilidad de que al menos 8 ciudadanos estén satisfechos
P_mayor_igual_8 <- 1 - pbinom(7, n, p)
# d) P(X ≤ 6) -> probabilidad de que como máximo 6 ciudadanos estén satisfechos
P_menor_igual_6 <- pbinom(6, n, p)
# e) P(X > 9) -> probabilidad de que más de 9 ciudadanos estén satisfechos
P_mayor_9 <- 1 - pbinom(9, n, p) # equivalente a dbinom(10, n, p)
# --------------------------------------------------------------
# TABLA RESUMEN DE RESULTADOS
# --------------------------------------------------------------
resultados <- data.frame(
Inciso = c("a) P(X = 8)",
"b) P(X < 8)",
"c) P(X ≥ 8)",
"d) P(X ≤ 6)",
"e) P(X > 9)"),
Probabilidad = round(c(P_igual_8,
P_menor_8,
P_mayor_igual_8,
P_menor_igual_6,
P_mayor_9), 4)
)
print(resultados) Inciso Probabilidad
1 a) P(X = 8) 0.3020
2 b) P(X < 8) 0.3222
3 c) P(X ≥ 8) 0.6778
4 d) P(X ≤ 6) 0.1209
5 e) P(X > 9) 0.1074# --------------------------------------------------------------
# DISTRIBUCIÓN BINOMIAL - SECRETARÍA DE MOVILIDAD DE IBAGUÉ
# Evaluación de satisfacción ciudadana en ventanilla única
# --------------------------------------------------------------
# Parámetros del problema
n <- 10 # número de ciudadanos atendidos
p <- 0.8 # probabilidad de satisfacción (éxito)
q <- 1 - p # probabilidad de insatisfacción (fracaso)
# Variable aleatoria: X = número de ciudadanos satisfechos
# --------------------------------------------------------------
# CÁLCULO DE PROBABILIDADES SEGÚN LOS INCISOS
# --------------------------------------------------------------
# a) P(X = 8) -> probabilidad de que exactamente 8 ciudadanos estén satisfechos
P_igual_8 <- dbinom(8, n, p)
# b) P(X < 8) -> probabilidad de que menos de 8 ciudadanos estén satisfechos
P_menor_8 <- pbinom(7, n, p)
# c) P(X ≥ 8) -> probabilidad de que al menos 8 ciudadanos estén satisfechos
P_mayor_igual_8 <- 1 - pbinom(7, n, p)
# d) P(X ≤ 6) -> probabilidad de que como máximo 6 ciudadanos estén satisfechos
P_menor_igual_6 <- pbinom(6, n, p)
# e) P(X > 9) -> probabilidad de que más de 9 ciudadanos estén satisfechos
P_mayor_9 <- 1 - pbinom(9, n, p) # equivalente a dbinom(10, n, p)
# GRÁFICO DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
# --------------------------------------------------------------
# Generar valores posibles de X (0 a 10 ciudadanos satisfechos)
x <- 0:n
# Calcular las probabilidades de cada valor
probabilidades <- dbinom(x, n, p)
# Crear el gráfico de barras
barplot(probabilidades,
names.arg = x,
col = ifelse(x == 8, "steelblue", "lightgray"),
main = "Distribución Binomial: Satisfacción Ciudadana\nSecretaría de Movilidad de Ibagué",
xlab = "Número de ciudadanos satisfechos (X)",
ylab = "Probabilidad P(X = x)",
ylim = c(0, max(probabilidades) + 0.05))
# Agregar etiquetas de probabilidad sobre cada barra
text(x = seq_along(probabilidades),
y = probabilidades,
labels = round(probabilidades, 3),
pos = 3,
cex = 0.8)
Gráfica de Probalidad
# Parámetros
n <- 10 # número de ensayos
p <- 0.5 # probabilidad de éxito
x <- 0:n
# Distribución de probabilidad
prob <- dbinom(x, n, p)
# Gráfica de probabilidad
plot(x, prob, type = "h", lwd = 3, col = "steelblue",
main = "Distribución Binomial - Probabilidad",
xlab = "x", ylab = "P(X = x)")
points(x, prob, pch = 16, col = "steelblue")
Gráfica Acumulada
# Distribución acumulada
acum <- pbinom(x, n, p)
# Gráfica acumulada
plot(x, acum, type = "s", lwd = 2, col = "firebrick",
main = "Distribución Binomial - Acumulada",
xlab = "x", ylab = "P(X ≤ x)")
points(x, acum, pch = 16, col = "firebrick")
Definición general
La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que modela el número de veces que ocurre un evento en un intervalo fijo de tiempo, espacio o área, cuando dichos eventos:
Variable aleatoria
Sea la variable aleatoria:
[ X = ]
Entonces se dice que:
[ X Poisson()]
donde:
Función de probabilidad
La probabilidad de que ocurran exactamente k eventos en el intervalo se calcula mediante la fórmula:
[ P(X = k) = ]
donde:
Propiedades de la distribución de Poisson
| Propiedad | Fórmula | Descripción |
|---|---|---|
| Media (valor esperado) | ( E(X) = ) | Promedio de ocurrencias esperadas en el intervalo. |
| Varianza | ( Var(X) = ) | La varianza es igual a la media. |
| Desviación estándar | ( = ) | Medida de dispersión de los datos. |
| Rango de valores | ( X = 0, 1, 2, 3, … ) | La variable aleatoria es discreta e infinita. |
| Suma de probabilidades | ( _{k=0}^{} P(X=k) = 1 ) | Todas las probabilidades suman 1. |
Condiciones para aplicar la distribución de Poisson
Ejemplo aplicado a la administración pública
Contexto:
En la Secretaría de Movilidad del Municipio de Ibagué, se registra que en promedio llegan 3 quejas ciudadanas por hora sobre el servicio de atención. Se desea calcular la probabilidad de que en una hora se presenten exactamente 5 quejas.
Datos:
[ = 3, k = 5]
[ P(X = 5) = ]
[ P(X = 5) = = 0.1008]
✅ Resultado: La probabilidad de recibir exactamente 5 quejas en una hora es 0.1008 (10.08%).
Interpretación práctica
Aplicaciones de la distribución de Poisson en la administración pública
| Aplicación | Ejemplo |
|---|---|
| Gestión de servicios al ciudadano | Número de llamadas, quejas o peticiones por hora. |
| Seguridad vial | Número de accidentes por día en una intersección. |
| Gestión documental | Número de documentos mal radicados por semana. |
| Salud pública | Número de casos de una enfermedad por zona. |
| Infraestructura | Número de fallas o reportes en semáforos o luminarias. |
Comparación con la distribución binomial
| Característica | Binomial | Poisson |
|---|---|---|
| Tipo | Discreta | Discreta |
| Ensayos | Fijos (n) | No definidos, evento continuo en el tiempo/espacio |
| Parámetros | n, p | λ |
| Aplicación típica | Éxitos en n ensayos | Ocurrencias por intervalo |
| Varianza | ( n p (1 - p) ) | ( ) |
Resumen conceptual
La distribución de Poisson es una herramienta clave para modelar eventos raros pero cuantificables. En el ámbito de la administración pública, permite analizar fenómenos operativos (quejas, errores, solicitudes, fallos técnicos) y planificar recursos o estrategias con base en probabilidades objetivas.
Contexto:
La Secretaría de Movilidad del Municipio de Ibagué recibe quejas ciudadanas sobre el servicio de atención al usuario. De acuerdo con los registros históricos, en promedio se reciben 3 quejas por hora.
Se desea modelar el número de quejas que pueden recibirse en una hora determinada, para mejorar la planeación del personal de atención.
Definimos la variable aleatoria:
( X = )
Entonces: [ X Poisson(= 3)] donde (= 3) es el número promedio esperado de eventos por unidad de tiempo.
Fórmula general
[ P(X = k) = ]
donde:
Incisos del ejercicio
a) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban exactamente 2 quejas en una hora?
( P(X = 2) )
b) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban menos de 2 quejas?
( P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) )
c) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban como máximo 4 quejas?
( P(X ) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) )
d) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban más de 4 quejas?
( P(X > 4) = 1 - P(X ) )
e) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban al menos 2 quejas?
( P(X ) = 1 - P(X < 2) )
Usando la fórmula:
[ P(X = k) = ]
a) Para ( X = 2 ):
[ P(X = 2) = = 0.2240]
✅ Probabilidad: 22.4%
b) Para ( X < 2 ):
[ P(X < 2) = P(0) + P(1)] [ P(0) = = 0.0498] [ P(1) = = 0.1494] [ P(X < 2) = 0.0498 + 0.1494 = 0.1992]
✅ Probabilidad: 19.9%
c) Para ( X ):
[ P(X ) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4)] [ P(X ) = 0.0498 + 0.1494 + 0.2240 + 0.2240 + 0.1680 = 0.8152]
✅ Probabilidad: 81.5%
d) Para ( X > 4 ):
[ P(X > 4) = 1 - P(X ) = 1 - 0.8152 = 0.1848]
✅ Probabilidad: 18.5%
e) Para ( X ):
[ P(X ) = 1 - P(X < 2) = 1 - 0.1992 = 0.8008]
✅ Probabilidad: 80.1%
Resumen de resultados
| Inciso | Expresión | Probabilidad | Interpretación |
|---|---|---|---|
| a | (P(X = 2)) | 0.224 | Es probable que se reciban exactamente 2 quejas en una hora. |
| b | (P(X < 2)) | 0.199 | Menos de 2 quejas por hora es poco frecuente. |
| c | (P(X )) | 0.815 | En el 81.5% de las horas habrá máximo 4 quejas. |
| d | (P(X > 4)) | 0.185 | Solo el 18.5% de las horas supera 4 quejas. |
| e | (P(X )) | 0.801 | Hay un 80% de probabilidad de que lleguen al menos 2 quejas. |
Propiedades de la distribución de Poisson
| Propiedad | Expresión | Valor |
|---|---|---|
| Media | ( E(X) = ) | 3 |
| Varianza | ( Var(X) = ) | 3 |
| Desviación estándar | ( = ) | 1.732 |
Interpretación final
El análisis muestra que:
# -----------------------------------------------------------
# EJERCICIO: Distribución de Poisson - Secretaría de Movilidad de Ibagué
# Contexto: Promedio de 3 quejas ciudadanas por hora
# Variable aleatoria: X = número de quejas por hora
# Parámetro: lambda = 3
# -----------------------------------------------------------
# Definimos el parámetro de la distribución
lambda <- 3
# a) Probabilidad de que se reciban exactamente 2 quejas
p_igual_2 <- dpois(2, lambda)
p_igual_2[1] 0.2240418# b) Probabilidad de que se reciban menos de 2 quejas
p_menor_2 <- ppois(1, lambda) # P(X < 2) = P(X <= 1)
p_menor_2[1] 0.1991483# c) Probabilidad de que se reciban como máximo 4 quejas
p_menor_igual_4 <- ppois(4, lambda) # P(X <= 4)
p_menor_igual_4[1] 0.8152632# d) Probabilidad de que se reciban más de 4 quejas
p_mayor_4 <- 1 - ppois(4, lambda) # P(X > 4)
p_mayor_4[1] 0.1847368# e) Probabilidad de que se reciban al menos 2 quejas
p_mayor_igual_2 <- 1 - ppois(1, lambda) # P(X >= 2)
p_mayor_igual_2[1] 0.8008517# -----------------------------------------------------------
# Mostramos los resultados en una tabla
# -----------------------------------------------------------
resultados <- data.frame(
Inciso = c("P(X = 2)", "P(X < 2)", "P(X <= 4)", "P(X > 4)", "P(X >= 2)"),
Expresion = c("dpois(2,3)", "ppois(1,3)", "ppois(4,3)", "1 - ppois(4,3)", "1 - ppois(1,3)"),
Probabilidad = c(p_igual_2, p_menor_2, p_menor_igual_4, p_mayor_4, p_mayor_igual_2)
)
print(resultados) Inciso Expresion Probabilidad
1 P(X = 2) dpois(2,3) 0.2240418
2 P(X < 2) ppois(1,3) 0.1991483
3 P(X <= 4) ppois(4,3) 0.8152632
4 P(X > 4) 1 - ppois(4,3) 0.1847368
5 P(X >= 2) 1 - ppois(1,3) 0.8008517# -----------------------------------------------------------
# (Opcional) Representación gráfica
# Distribución de probabilidad de Poisson con λ = 3
# -----------------------------------------------------------
valores <- 0:10
probabilidades <- dpois(valores, lambda)
barplot(probabilidades, names.arg = valores,
main = "Distribución de Poisson (λ = 3)\nQuejas por hora - Secretaría de Movilidad",
xlab = "Número de quejas (X)",
ylab = "Probabilidad",
col = "skyblue")
Gráfica Probabilidad
# Parámetro lambda (media de eventos)
lambda <- 4
x <- 0:15
# Distribución de probabilidad
prob <- dpois(x, lambda)
# Gráfica de probabilidad
plot(x, prob, type = "h", lwd = 3, col = "darkgreen",
main = "Distribución Poisson - Probabilidad",
xlab = "x", ylab = "P(X = x)")
points(x, prob, pch = 16, col = "darkgreen")
Gráfica Acumulada
# Distribución acumulada
acum <- ppois(x, lambda)
# Gráfica acumulada
plot(x, acum, type = "s", lwd = 2, col = "purple",
main = "Distribución Poisson - Acumulada",
xlab = "x", ylab = "P(X ≤ x)")
points(x, acum, pch = 16, col = "purple")
| Sección | Descripción |
|---|---|
dpois(k, lambda) |
Calcula ( P(X = k) ) |
ppois(k, lambda) |
Calcula ( P(X k) ) |
1 - ppois(k, lambda) |
Calcula ( P(X > k) ) |
data.frame() |
Muestra los resultados organizados |
barplot() |
Grafica la distribución de probabilidades |
| Inciso | Expresión | Probabilidad |
|---|---|---|
| a | ( P(X = 2) ) | 0.2240 |
| b | ( P(X < 2) ) | 0.1992 |
| c | ( P(X ) ) | 0.8152 |
| d | ( P(X > 4) ) | 0.1848 |
| e | ( P(X ) ) | 0.8008 |
Definición
La distribución hipergeométrica describe la probabilidad de obtener un número determinado de éxitos en una muestra sin reemplazo extraída de una población finita que contiene dos tipos de elementos: éxitos y fracasos.
Se utiliza cuando:
Ejemplo contextual (Administración Pública)
Supón que la Secretaría de Movilidad de Ibagué tiene 20 funcionarios, de los cuales 8 son expertos en atención al ciudadano (éxitos) y los otros 12 no lo son (fracasos). Si se seleccionan 5 funcionarios al azar para atender una jornada especial, la distribución hipergeométrica permite calcular la probabilidad de que exactamente 3 de los seleccionados sean expertos.
Parámetros
| Símbolo | Significado |
|---|---|
| ( N ) | Tamaño total de la población |
| ( K ) | Número total de éxitos en la población |
| ( n ) | Tamaño de la muestra seleccionada |
| ( k ) | Número de éxitos observados en la muestra |
Función de probabilidad
[ P(X = k) = ]
donde:
Características principales
| Concepto | Expresión | Descripción |
|---|---|---|
| Variable aleatoria | ( X ) | Número de éxitos en una muestra sin reemplazo |
| Dominio | ( (0, n - (N - K)) X (n, K) ) | Valores posibles de ( X ) |
| Media | ( E(X) = n ) | Promedio esperado de éxitos en la muestra |
| Varianza | ( Var(X) = n ) | Dispersión o variabilidad de los resultados |
| Desviación estándar | ( = ) | Raíz cuadrada de la varianza |
Interpretación
Ejemplo práctico con desarrollo
Datos:
Fórmula: [ P(X = 3) = ]
Cálculo: [ = 56, = 66, = 15504] [ P(X = 3) = = 0.2385]
✅ Probabilidad: 23.85%
Interpretación aplicada
Hay un 23.85% de probabilidad de que, al seleccionar 5 funcionarios al azar, exactamente 3 sean expertos en atención al ciudadano. Esto permite planificar recursos humanos y garantizar una atención de calidad durante la jornada.
Propiedades clave de la distribución hipergeométrica
| Propiedad | Descripción |
|---|---|
| Tipo de población: finita | |
| Reemplazo: no existe (extracción sin reemplazo) | |
| Dependencia: las selecciones no son independientes | |
| Asimetría: depende de los valores relativos de ( N, K, n ) | |
| Relación con otras distribuciones: cuando ( N ) es grande y ( n/N ) es pequeño, se aproxima a la binomial ( B(n, p) ), con ( p = K/N ). |
Usos frecuentes en la administración pública
La Secretaría de Hacienda del Municipio de Ibagué está realizando un proceso de verificación de facturas en su sistema de contratación pública. Durante una auditoría se revisará una muestra de 10 facturas tomadas sin reemplazo de un total de 50 facturas emitidas en el mes.
De las 50 facturas, se sabe que 15 presentan inconsistencias (errores contables o faltantes de soportes), y el resto 35 son correctas.
Definimos la variable aleatoria: [ X = ] Entonces: [ X Hipergeométrica(N = 50,; K = 15,; n = 10)]
Datos del problema
| Parámetro | Significado | Valor |
|---|---|---|
| ( N ) | Total de facturas revisadas | 50 |
| ( K ) | Facturas con error (éxitos) | 15 |
| ( n ) | Tamaño de la muestra | 10 |
| ( X ) | Facturas con error encontradas en la muestra | Variable aleatoria |
Función de probabilidad
[ P(X = k) = ] donde ( = )
Incisos del ejercicio
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en la muestra se encuentren exactamente 3 facturas con error?
(P(X = 3))
b) ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren menos de 3 facturas con error?
(P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2))
c) ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren como máximo 4 facturas con error?
(P(X ) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4))
d) ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren más de 4 facturas con error?
(P(X > 4) = 1 - P(X ))
e) ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren al menos 3 facturas con error?
(P(X ) = 1 - P(X < 3))
f) ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren entre 2 y 5 facturas con error (inclusive)?
(P(2 X ) = P(X ) - P(X ))
Cálculos (valores aproximados)
Usando la fórmula: [ P(X = k) = ]
Cálculos principales (redondeados a 4 decimales):
| (k) | (P(X = k)) |
|---|---|
| 0 | 0.0350 |
| 1 | 0.1337 |
| 2 | 0.2384 |
| 3 | 0.2662 |
| 4 | 0.1921 |
| 5 | 0.0942 |
| 6 | 0.0321 |
| 7 | 0.0074 |
| 8 | 0.0010 |
| 9–10 | ≈ 0.0000 |
Resultados de los incisos
| Inciso | Expresión | Resultado | Interpretación |
|---|---|---|---|
| a | (P(X = 3)) | 0.2662 | Probabilidad de encontrar exactamente 3 facturas erradas es 26.6%. |
| b | (P(X < 3)) | 0.4071 | Menos de 3 facturas con error ocurre el 40.7% de las veces. |
| c | (P(X )) | 0.8654 | En 86.5% de las muestras habrá 4 o menos errores. |
| d | (P(X > 4)) | 0.1346 | Solo en 13.5% de los casos habrá más de 4 errores. |
| e | (P(X )) | 0.5929 | En casi 59.3% de las revisiones habrá al menos 3 errores. |
| f | (P(2 X )) | 0.7910 | Probabilidad de encontrar entre 2 y 5 errores es 79.1%. |
Interpretación estadística y administrativa
Propiedades de la distribución hipergeométrica
| Propiedad | Expresión | Descripción |
|---|---|---|
| Media (esperanza) | (E(X) = n ) | Promedio de éxitos esperados en la muestra. |
| Varianza | (Var(X) = n ) | Dispersión de los valores posibles. |
| Desviación estándar | (= ) | Variación típica esperada. |
| Población finita | (N) es limitado y sin reemplazo. | |
| Selección dependiente | Cada extracción afecta la probabilidad de las siguientes. |
Aplicaciones comunes en la administración pública
# -----------------------------------------------
# DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA - EJERCICIO ADMINISTRACIÓN PÚBLICA
# Secretaría de Hacienda del Municipio de Ibagué
# -----------------------------------------------
# Parámetros del problema
N <- 50 # Total de facturas
K <- 15 # Facturas con error (éxitos)
n <- 10 # Tamaño de la muestra
# Variable aleatoria: X = número de facturas con error encontradas
# X ~ Hipergeométrica(N, K, n)
# -----------------------------------------------
# a) P(X = 3)
px_igual_3 <- dhyper(3, K, N - K, n)
# b) P(X < 3) = P(X <= 2)
px_menor_3 <- phyper(2, K, N - K, n)
# c) P(X <= 4)
px_menor_igual_4 <- phyper(4, K, N - K, n)
# d) P(X > 4) = 1 - P(X <= 4)
px_mayor_4 <- 1 - phyper(4, K, N - K, n)
# e) P(X >= 3) = 1 - P(X <= 2)
px_mayor_igual_3 <- 1 - phyper(2, K, N - K, n)
# f) P(2 <= X <= 5) = P(X <= 5) - P(X <= 1)
px_entre_2_y_5 <- phyper(5, K, N - K, n) - phyper(1, K, N - K, n)
# -----------------------------------------------
# Crear una tabla con los resultados
resultados <- data.frame(
Inciso = c("a) P(X = 3)",
"b) P(X < 3)",
"c) P(X ≤ 4)",
"d) P(X > 4)",
"e) P(X ≥ 3)",
"f) P(2 ≤ X ≤ 5)"),
Probabilidad = round(c(px_igual_3,
px_menor_3,
px_menor_igual_4,
px_mayor_4,
px_mayor_igual_3,
px_entre_2_y_5), 4)
)
print(resultados) Inciso Probabilidad
1 a) P(X = 3) 0.2979
2 b) P(X < 3) 0.3616
3 c) P(X ≤ 4) 0.8751
4 d) P(X > 4) 0.1249
5 e) P(X ≥ 3) 0.6384
6 f) P(2 ≤ X ≤ 5) 0.8490# -----------------------------------------------
# (Opcional) Graficar la distribución de probabilidad
x <- 0:10
px <- dhyper(x, K, N - K, n)
barplot(px, names.arg = x, col = "skyblue",
main = "Distribución Hipergeométrica - Secretaría de Hacienda Ibagué",
xlab = "Número de facturas con error (X)",
ylab = "Probabilidad",
ylim = c(0, max(px) + 0.02))
# Mostrar la media y la varianza teóricas
media <- n * (K / N)
varianza <- n * (K / N) * ((N - K) / N) * ((N - n) / (N - 1))
cat("\nMedia teórica (E[X]) =", round(media, 2))
Media teórica (E[X]) = 3cat("\nVarianza teórica (Var[X]) =", round(varianza, 4))
Varianza teórica (Var[X]) = 1.7143cat("\nDesviación estándar =", round(sqrt(varianza), 4))
Desviación estándar = 1.3093Gráfica de Probabilidad
# Parámetros
N <- 50 # tamaño total de la población
K <- 20 # número de éxitos en la población
n <- 10 # tamaño de la muestra
x <- 0:n
# Distribución de probabilidad
prob <- dhyper(x, K, N - K, n)
# Gráfica de probabilidad
plot(x, prob, type = "h", lwd = 3, col = "darkorange",
main = "Distribución Hipergeométrica - Probabilidad",
xlab = "x", ylab = "P(X = x)")
points(x, prob, pch = 16, col = "darkorange")
Gráfica Acumulada
# Distribución acumulada
acum <- phyper(x, K, N - K, n)
# Gráfica acumulada
plot(x, acum, type = "s", lwd = 2, col = "brown",
main = "Distribución Hipergeométrica - Acumulada",
xlab = "x", ylab = "P(X ≤ x)")
points(x, acum, pch = 16, col = "brown")
px_igual_3 <- dhyper(3, K, N - K, n)
px_menor_3 <- phyper(2, K, N - K, n)
px_menor_igual_4 <- phyper(4, K, N - K, n)
px_mayor_4 <- 1 - phyper(4, K, N - K, n)
px_mayor_igual_3 <- 1 - phyper(2, K, N - K, n)
px_entre_2_y_5 <- phyper(5, K, N - K, n) - phyper(1, K, N - K, n)