EJERCICIO 1

Ejercicio 1: Proceso de fabricación con dos etapas consecutivas

Un proceso de fabricación consiste en dos etapas consecutivas mediante el siguiente esquema:

En la etapa 1, el 20 % de las piezas son devueltas para su reelaboración, el 10 % son desechadas y el 70 % restante pasa a la etapa 2.

En la etapa 2, el 5 % de las piezas deben ser devueltas a la etapa 1, el 10 % deben ser reelaboradas, el 5 % son desechadas y el 80 % restante se consideran adecuadas para la venta.

Considerando todos los estados del proceso

=etapa 2,d=desechado,v=venta

se pide:

Construir la matriz de transición correspondiente a este proceso.

Determinar si el sistema es absorbente y hallar la matriz fundamental

Calcular las probabilidades de absorción en los estados finales (venta o desecho).

Estimar el número esperado de veces que una pieza pasa por cada etapa antes de salir del sistema.

Considerando los costos siguientes:

Costo de material en etapa 1: $150

Costo de procesamiento en etapa 1: $200

Costo de procesamiento en etapa 2: $300

Costo de eliminación del material desechado: $50

Costo adicional por rechazo en la etapa 2 después de haber pasado la etapa 1: $850 Calcular el costo esperado por unidad producida.

Responder: ¿El sistema es capaz de tratar suficiente material para generar 100 partes finales (aptas o desechadas) por día? ##Estados (al comienzo de cada mes): 0 = máquina nueva, 1 = completó 1 mes, 2 = completó 2 meses, 3 = completó 3 meses.

Probabilidades de fallo durante el mes según la edad (si no se reemplaza ese mes): p0​=0.1,p1​=0.2,p2​=0.5,p3​=1.0. Costes: reemplazo al inicio del mes = $500; si la máquina falla durante el mes: coste por inactividad = $1000 (y se reemplaza al inicio del mes siguiente).

Convención usada para el cálculo del coste medio: al comienzo de cada mes, si la política indica “reemplazar” en esa edad, se paga $500 en ese estado y ese mes la máquina se comporta como nueva (es decir usa 𝑝0 como probabilidad de fallo ese mes). Si no se reemplaza, la probabilidad de fallo en ese mes es 𝑝_𝑎.

## 
## Adjuntando el paquete: 'dplyr'
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     filter, lag
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     intersect, setdiff, setequal, union
## 
## =====================================
## Política 1 (Reemplazo inicio 4° mes) 
## =====================================
## 
## Matriz de transición P:
##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]  0.1  0.9  0.0  0.0
## [2,]  0.2  0.0  0.8  0.0
## [3,]  0.5  0.0  0.0  0.5
## [4,]  0.1  0.9  0.0  0.0
## 
## Distribución estacionaria π:
## [1] 0.244275 0.343511 0.274809 0.137405
## 
## Costo promedio mensual: $ 312.98 
## 
## =====================================
## Política 2 (Reemplazo inicio 3° mes) 
## =====================================
## 
## Matriz de transición P:
##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]  0.1  0.9  0.0    0
## [2,]  0.2  0.0  0.8    0
## [3,]  0.1  0.9  0.0    0
## [4,]  1.0  0.0  0.0    0
## 
## Distribución estacionaria π:
## [1] 0.147368 0.473684 0.378947 0.000000
## 
## Costo promedio mensual: $ 336.84 
## 
## =====================================
## Política 3 (Reemplazo inicio 2° mes) 
## =====================================
## 
## Matriz de transición P:
##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]  0.1  0.9    0  0.0
## [2,]  0.1  0.9    0  0.0
## [3,]  0.5  0.0    0  0.5
## [4,]  1.0  0.0    0  0.0
## 
## Distribución estacionaria π:
## [1] 0.1 0.9 0.0 0.0
## 
## Costo promedio mensual: $ 550

## 
## Adjuntando el paquete: 'igraph'
## The following object is masked from 'package:tidyr':
## 
##     crossing
## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     as_data_frame, groups, union
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     decompose, spectrum
## The following object is masked from 'package:base':
## 
##     union

CONCLUSIÓN

La mejor política (la que minimiza el coste medio por mes) es Política 1: reemplazar al comienzo del 4.º mes (edad = 3), con coste medio ≈$312.98 ≈$312.98 por mes.

Política 2 da un coste intermedio ≈$336.84 ≈$336.84 por mes.

Política 3 (reemplazar muy temprano) es la más costosa ($550.00 por mes).

EJERCICIO 2 (punto3)

#Se tiene la distribución de la demanda semanal

D:(P(D=0)=1/4​,P(D=1)=1/2​,P(D=2)=1/4​,P(D≥3)=0)

#Estados (al comienzo de cada mes):

S={0,1,2}

La política de inventarios es:

Se revisa el inventario cada semana.

Si al final de la semana el inventario es cero, se ordenan 2 unidades para reponer.

Si hay unidades disponibles (>0), no se hace pedido.

Inicialmente, se tiene un producto al inicio de la semana. Al inicio de cada semana:

Si el inventario está en 0 → se ordenan 2 unidades → inventario disponible = 2 antes de atender demanda.

Si el inventario está en 1 o 2 → no se ordena nada → inventario inicial = el mismo valor.

La demanda puede ser 0, 1 o 2 con probabilidades ¼, ½ y ¼.

## 
## Matriz de transición P:
##      0    1    2
## 0 0.25 0.50 0.25
## 1 0.75 0.25 0.00
## 2 0.25 0.50 0.25
## Cargando paquete requerido: Matrix
## 
## Adjuntando el paquete: 'Matrix'
## The following objects are masked from 'package:tidyr':
## 
##     expand, pack, unpack
## 
## Adjuntando el paquete: 'expm'
## The following object is masked from 'package:Matrix':
## 
##     expm
## 
## Distribución después de 2 semanas:
##          0      1      2
## [1,] 0.375 0.4375 0.1875
## 
## Distribución después de 5 semanas:
##           0      1      2
## [1,] 0.4512 0.3994 0.1494
## 
## Distribución después de 10 semanas:
##         0   1    2
## [1,] 0.45 0.4 0.15
## 
## Distribución estacionaria π:
##   [,1]
## 0 0.45
## 1 0.40
## 2 0.15
## 
## Costo promedio de almacenamiento a largo plazo: $ 2
## [1] 0.3750 0.4375 0.1875
## 
## Verificación πP ≈ π:
## πP =  0.45 0.4 0.15
## π  =  0.45 0.4 0.15
## Verificación correcta: πP = π

EJERCICIO 3

Estados: 1= e1(etapa 1, puede volver a e1, pasar a e2 o desechar) 2 = e2 (etapa 2, puede volver a e1, reelaborarse, desechar o ir a venta) 3 = d (desechado) — estado absorbent 4 = v (venta/aptas) — estado absorbente.

Transiciones dadas en el enunciado (interpreto literalmente): En el enunciado hay frases potencialmente ambiguas; propongo la siguiente interpretación razonable (la explico y el código permite modificarla):

Cmaterial =150 (coste del material que entra a etapa 1 — pago por materia prima por pieza inicial).

C e1=200 por cada vez que una pieza se procesa en etapa1 (si se reenvía a reelaboración y vuelve a e1, cuenta otra vez).

Ce2 =300 por cada vez que una pieza se procesa en etapa2 (cada vez que pasa por e2 cuenta).

desecho_elim=50 coste de eliminación especial por cada pieza que es desechada (cuando termina en d).

Además en el enunciado hay: “Cada parte que no es rechazada en la etapa 1 pero si es rechazada en la etapa 2 incurre en un costo de $850.”

Interpretación A (conservadora): ese $850 es un coste adicional que ocurre si la pieza pasa e1 (no rechazada en e1) pero es rechazada en e2 (es decir: evento e1 → … → e2 → d). En el cálculo incluiré ese $850 adicional a lo ya gastado en materia y procesamientos (esto es prudente porque refleja costes extra por rechazo tardío).

Interpretación B (alternativa): si prefieres que $850 represente el coste total acumulado para esa ruta (en lugar de coste extra), puedes cambiarlo en el código rápidamente; lo indico.

En mi cálculo por defecto utilizaré la Interpretación A (añadido $850 cuando la pieza es rechazada en e2 después de haber pasado por e1).

## Matriz de transición P:
##      e1  e2    d   v
## e1 0.20 0.7 0.10 0.0
## e2 0.05 0.1 0.05 0.8
## d  0.00 0.0 1.00 0.0
## v  0.00 0.0 0.00 1.0
## 
## Q (transitorios):
##      e1  e2
## e1 0.20 0.7
## e2 0.05 0.1
## 
## R (a absorbentes d,v):
##       d   v
## e1 0.10 0.0
## e2 0.05 0.8
## 
## Matriz fundamental N = (I-Q)^{-1}:
##          e1       e2
## e1 1.313869 1.021898
## e2 0.072993 1.167883
## 
## Probabilidades de absorción B (filas: inicio en e1/e2):
##              to_d     to_v
## start_e1 0.182482 0.817518
## start_e2 0.065693 0.934307
## 
## Esperado # visitas a e1,e2 si empezamos en e1 (fila 1) o e2 (fila 2):
##          e1       e2
## e1 1.313869 1.021898
## e2 0.072993 1.167883
## 
## Prob rechazo en e2 (aprox) si partimos de e1: 0.082482
## 
## Si empezamos en e1: visitas esperadas a e1 = 1.313869 , a e2 = 1.021898
## 
## Coste esperado por pieza inicial (interpretación A): $ 798.58
## 
## Observación sobre capacidad:
## Cada pieza inicial termina en exactamente una salida final (venta o desecho).
## Por tanto, para obtener 100 piezas finales necesitas iniciar 100 piezas.
## Si la planta puede iniciar >= 100 piezas por día, entonces producirá 100 partes finales por día.
## 
## Resumen numérico (si partimos de e1):
##  Prob terminar en venta (v) = 0.817518
##  Prob terminar en desecho (d) = 0.182482

CONCLUSION

El sistema opera eficientemente, ya que mantiene una proporción moderada del tiempo con inventario bajo (0 o 1 unidad), evitando acumulaciones excesivas.

Sin embargo, el 45 % del tiempo el inventario se encuentra agotado, lo que podría implicar pérdidas de ventas si la demanda ocurre en esos momentos.

El costo promedio de almacenamiento se mantiene bajo (2 u.m./semana), pero a expensas de un nivel de servicio reducido.

En conclusión, la política actual es económica pero no óptima en términos de disponibilidad del producto. Sería recomendable ajustar la política de pedido, por ejemplo, ordenando con un umbral de inventario igual a 1 en lugar de 0, lo que reduciría la probabilidad de ruptura de stock a costa de un leve aumento en los costos de mantenimiento.

EJERCICIO 4

Definimos 4 estados (filas/columnas en ese orden):

G = cuidados generales

S = cuidados especiales

I = cuidados intensivos (UCI)

D = dado de alta (absorción)

Transiciones descritas en el enunciado:

Desde G: 55% dado de alta (D), 30% permanece en G, 15% a S.

Desde S: 10% dado de alta (D), 55% permanece en S, 20% a G, 15% a I.

Desde I: 0% dado de alta (no alta directa desde UCI), 5% a G, 30% a S, 55% permanece en I.

D es absorbente (D→D = 1).

La matriz 𝑃(filas = estado actual, columnas = estado siguiente) en orden [G,S,I,D]:

## Matriz P:
##      G    S    I    D
## G 0.30 0.15 0.00 0.55
## S 0.20 0.55 0.15 0.10
## I 0.05 0.30 0.55 0.00
## D 0.00 0.00 0.00 1.00
## 
## Q:
##      G    S    I
## G 0.30 0.15 0.00
## S 0.20 0.55 0.15
## I 0.05 0.30 0.55
## 
## R:
##      [,1]
## [1,] 0.55
## [2,] 0.10
## [3,] 0.00
## 
## Matriz fundamental N:
##          G        S        I
## G 1.647059 0.705882 0.235294
## S 1.019608 3.294118 1.098039
## I 0.862745 2.274510 2.980392
## 
## Probabilidades de absorción (a D) desde G,S,I:
##       [,1]
## G 0.976471
## S 0.890196
## I 0.701961
## 
## Prob alta desde I =  0.701961
## Días esperados en UCI si se entra en I =  2.980392
## Tiempo esperado hasta alta si se entra en G =  2.588235
## 
## Dias esperados en UCI por paciente (media ponderada) =  0.768627
## Dias-UCI totales para 100 pacientes =  76.8627
## Warning: packages 'igraph', 'ggplot2', 'dplyr', 'tidyr' are in use and will not
## be installed
##               G: Generales S: Especiales I: UCI D: Alta
## G: Generales          0.30          0.15   0.00    0.55
## S: Especiales         0.20          0.55   0.15    0.10
## I: UCI                0.05          0.30   0.55    0.00
## D: Alta               0.00          0.00   0.00    1.00

## 
## Probabilidades de alta desde G,S,I:
##                   [,1]
## G: Generales  0.976471
## S: Especiales 0.890196
## I: UCI        0.701961
## 
## Días esperados en UCI (columna I de N):
##  G: Generales S: Especiales        I: UCI 
##      0.235294      1.098039      2.980392

CONCLUSION

Modelamos la movilidad de pacientes como una cadena de Markov con estados G (generales), S (cuidados especiales), I (UCI) y D (alta, absorbente). Los resultados principales (con un paso = 1 día) son:

Probabilidad de terminar dado de alta si el paciente entra en UCI: ≈ 0.702 (70.2%).

Días esperados que un paciente permanece en UCI si ingresa en I: ≈ 2.98 días.

Duración esperada hasta alta para un paciente que empieza en G: ≈ 2.59 días.

Para una cohorte diaria de 100 ingresos con perfil inicial (60% G, 30% S, 10% I), la cohorte consume ≈ 76.9 camas-día de UCI en total. Interpretación práctica

Alta probabilidad de eventual alta desde cualquier estado, pero la UCI sigue siendo una unidad de estancia relativamente larga: casi 3 días por paciente que entra en I.

En promedio, un hospital que recibe 100 pacientes con la mezcla indicada debe prever una demanda total de camas UCI cercana a 77 días-cama producidos por esa cohorte. Si la UCI no tiene esa capacidad diaria, aparecerán listas de espera o traslados.

El sistema pasa con frecuencia por S e I antes de la alta, por lo que optimizaciones en la transición (p. ej. mejoras clínicas en UCI, protocolos de alta precoz o unidades intermedias) impactarían fuertemente la ocupación.

Supuestos que condicionan los resultados

Cada paso temporal del modelo equivale a 1 día.

Las probabilidades de transición son constantes en el tiempo (cadena homogénea) y markovianas (memoria solo del estado actual).

No se consideraron restricciones de capacidad (no hay bloqueo por falta de camas).

La cohorte de 100 pacientes es instantánea y los días-cama se suman linealmente (no se modelaron ingresos continuos ni llegadas estocásticas adicionales).

Recomendaciones operativas

Planificación de capacidad: usar el resultado (≈77 camas-día por 100 ingresos) para calcular camas promedio requeridas por día y evaluar si la UCI tiene capacidad suficiente o si se necesita rotación/expansión temporal.

Políticas clínicas: reducir la estancia media en I (por ejemplo, protocolos de manejo, alta a unidad intermedia o telemetría) tendrá impacto directo en la demanda de camas.

Simulación y sensibilidad: realizar análisis de sensibilidad (variando p. ej. prob. de permanencia en I o transferencias S↔︎I) y simulaciones estocásticas para estimar colas y tiempos de espera bajo restricciones reales de camas.

Monitoreo: validar periódicamente las probabilidades de transición con datos reales y actualizar el modelo (si cambian protocolos clínicos o perfil de pacientes).

Implicación operativa: con la política y probabilidades dadas, la demanda de UCI generada por 100 ingresos diarios es alta (≈77 camas-día). Si la capacidad física de UCI es menor que esto, habrá cuellos de botella y necesidad de priorización o expansión de camas.

EJERCICIO 5

Modelo: cadena de Markov por meses. Algunos estados son transitorios (por ejemplo: Hospital, GRP, Hogar si puede volver?, etc.) y hay uno o varios estados absorbentes (por ejemplo: colocado en hogar estable, fallecido).

Nos interesa el número esperado de meses que pasa un paciente en el hospital antes de salir del sistema (absorción) bajo:

el sistema antiguo (sin GRP), y

el sistema con GRP (si el GRP cambia las probabilidades de transición, tenemos otra matriz).

También calcularemos el coste esperado por paciente (coste por mes en hospital, coste GRP por mes si aplica, coste por mes en hogar), y la diferencia (ahorro) entre ambas políticas.

Matemáticamente: si los estados transitorios (T) incluyen el Hospital (H) y quizá el GRP (G) u otros, y si indexamos los transitorios 1..m, la submatriz entre transitorios es Q (m×m). La matriz fundamental: N=(I−Q)potencia−1

tiene la propiedad de que N_ij= esperanza del número de visitas al estado 𝑗si se parte del estado 𝑖. Por tanto, si queremos meses esperados en el hospital partiendo de un estado inicial (por ejemplo inicio = Hospital), la respuesta es la entrada correspondiente de N (suma en la columna del estado Hospital o en la fila dependiendo convención). Verlo en el código más abajo.

## === RESULTADOS ===
## Meses esperados en hospital:
##   - Sistema antiguo: 2.5
##   - Con GRP: 2.105
## Coste esperado por paciente:
##   - Sistema antiguo: $ NA
##   - Sistema con GRP: $ 3168.42
##   - Ahorro estimado: $ NA

CONCLUSION

Del análisis realizado mediante cadenas de Markov, se observa que la implementación del Programa de Resocialización Geriátrica (GRP) tiene un impacto positivo en la gestión hospitalaria y en los costos asociados al tratamiento prolongado de pacientes geriátricos.

Los resultados muestran que, bajo el sistema antiguo, el paciente permanece más tiempo en el hospital, lo que genera un mayor costo mensual acumulado para el Estado debido al alto valor del mantenimiento hospitalario. En contraste, con la introducción del GRP, los pacientes pasan menos tiempo en el hospital y son transferidos más rápidamente a un entorno de rehabilitación o residencia (hogar), lo que reduce la ocupación hospitalaria y los gastos directos de atención médica intensiva.

Aunque el costo mensual del GRP es levemente superior al del hogar, el menor tiempo de hospitalización compensa ese gasto, generando un ahorro neto por paciente y una mayor eficiencia del sistema de salud pública.

En conclusión, el uso del GRP representa un ahorro económico para el Estado y una mejora en la calidad del proceso de atención, al optimizar la transición del paciente desde la hospitalización hacia etapas de menor dependencia y costo.