Regresi dengan peubah lag (lagged variable regression) adalah bentuk analisis regresi yang melibatkan nilai masa lalu dari suatu variabel (lag) sebagai prediktor terhadap nilai sekarang.
distributed lag model : Variabel Dependen Y dipengaruhi oleh lag dari variabel independen X ( Xt-1, Xt-2 , dst)
Autoregresive model : Variabel Dependen Y dipengaruhi oleh lag dirinya sendiri (Yt-1, Yt-2, dst) dan X sekarang (Xt)
1 Packages
Warning: package 'dLagM' was built under R version 4.5.1
Loading required package: nardl
Warning: package 'nardl' was built under R version 4.5.1
Registered S3 method overwritten by 'quantmod':
method from
as.zoo.data.frame zoo
Loading required package: dynlm
Warning: package 'dynlm' was built under R version 4.5.1
Loading required package: zoo
Attaching package: 'zoo'
The following objects are masked from 'package:base':
as.Date, as.Date.numeric
Warning: package 'MLmetrics' was built under R version 4.5.1
Attaching package: 'MLmetrics'
The following object is masked from 'package:dLagM':
MAPE
The following object is masked from 'package:base':
Recall
Warning: package 'lmtest' was built under R version 4.5.1
Warning: package 'car' was built under R version 4.5.1
Loading required package: carData
2 Impor Data
data <- rio::import("https://raw.githubusercontent.com/rizkynurhambali/praktikum-sta1341/main/Pertemuan%203/Data%20Asli.csv")str(data)
'data.frame': 20 obs. of 4 variables:
$ t : int 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
$ Yt : num 52.9 53.8 54.9 58.2 60 63.4 68.2 78 84.7 90.6 ...
$ Y(t-1): num NA 52.9 53.8 54.9 58.2 60 63.4 68.2 78 84.7 ...
$ Xt : num 30.3 30.9 30.9 33.4 35.1 37.3 41 44.9 46.5 50.3 ...
data
3 Pembagian Data
#SPLIT DATAtrain<-data[1:15,]test<-data[16:20,]
#data time seriestrain.ts<-ts(train)test.ts<-ts(test)data.ts<-ts(data)
4 Model Koyck
Model Koyck didasarkan pada asumsi bahwa semakin jauh jarak lag peubah independen dari periode sekarang maka semakin kecil pengaruh peubah lag terhadap peubah dependen.
Koyck mengusulkan suatu metode untuk menduga model dinamis distributed lag dengan mengasumsikan bahwa semua koefisien \(\beta\) mempunyai tanda sama.
Model kyock merupakan jenis paling umum dari model infinite distributed lag dan juga dikenal sebagai geometric lag
Pemodelan model Koyck dengan R dapat menggunakan dLagM::koyckDlm() . Fungsi umum dari koyckDlm adalah sebagai berikut.
koyckDlm(x , y , intercept)
Fungsi koyckDlm() akan menerapkan model lag terdistribusi dengan transformasi Koyck satu prediktor. Nilai x dan y tidak perlu sebagai objek time series (ts). intercept dapat dibuat TRUE untuk memasukkan intersep ke dalam model.
#MODEL KOYCKmodel.koyck <-koyckDlm(x = train$Xt, y = train$Yt)summary(model.koyck)
Call:
"Y ~ (Intercept) + Y.1 + X.t"
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-3.75605 -1.16407 0.01599 1.17295 3.28003
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -3.7335 2.1785 -1.714 0.1146
Y.1 0.4214 0.1158 3.639 0.0039 **
X.t 1.1510 0.1901 6.055 8.25e-05 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 2.023 on 11 degrees of freedom
Multiple R-Squared: 0.9934, Adjusted R-squared: 0.9922
Wald test: 828.9 on 2 and 11 DF, p-value: 1.01e-12
Diagnostic tests:
NULL
alpha beta phi
Geometric coefficients: -6.452844 1.150951 0.4214181
AIC(model.koyck)
[1] 64.08525
BIC(model.koyck)
[1] 66.64148
Dari hasil tersebut, didapat bahwa peubah \(x_t\) dan \(y_{t-1}\) memiliki nilai \(P-Value<0.05\). Hal ini menunjukkan bahwa peubah \(x_t\) dan \(y_{t-1}\) berpengaruh signifikan terhadap \(y\). Adapun model keseluruhannya adalah sebagai berikut
\[
\hat{Y_t}=-3.7335+1.1510X_t+0.4214Y_{t-1}
\]
4.2 Peramalan dan Akurasi
Berikut adalah hasil peramalan y untuk 5 periode kedepan menggunakan model koyck
mape.koyck <-MAPE(fore.koyck$forecasts, test$Yt)mape.koyck #data test
[1] 0.06845456
#akurasi data trainingGoF(model.koyck)
5 Regression with Distributed Lag
Pemodelan model Regression with Distributed Lag dengan R dapat menggunakan dLagM::dlm() . Fungsi umum dari dlm adalah sebagai berikut.
dlm(formula , data , x , y , q , remove )
Fungsi dlm() akan menerapkan model lag terdistribusi dengan satu atau lebih prediktor. Nilai x dan y tidak perlu sebagai objek time series (ts). \(q\) adalah integer yang mewakili panjang lag yang terbatas.
Call:
lm(formula = model.formula, data = design)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-1.4118 -0.8790 -0.3542 0.7202 2.3047
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -9.4870 1.6123 -5.884 0.000106 ***
x.t 0.2557 0.1632 1.567 0.145434
x.1 1.8395 0.1927 9.547 1.17e-06 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 1.277 on 11 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.9974, Adjusted R-squared: 0.9969
F-statistic: 2081 on 2 and 11 DF, p-value: 6.538e-15
AIC and BIC values for the model:
AIC BIC
1 51.20728 53.76351
AIC(model.dlm)
[1] 51.20728
BIC(model.dlm)
[1] 53.76351
Dari hasil diatas, didapat bahwa \(P-value\) dari intercept dan \(x_{t-1}<0.05\). Hal ini menunjukkan bahwa intercept dan \(x_{t-1}\) berpengaruh signifikan terhadap \(y\). Adapun model keseluruhan yang terbentuk adalah sebagai berikut
Dari hasil tersebut terdapat beberapa peubah yang berpengaruh signifikan terhadap taraf nyata 5% yaitu \(x_t\) , \(x_{t-2}\) , \(x_{t-4}\) , \(x_{t-6}\). Adapun keseluruhan model yang terbentuk adalah
Adapun hasil peramalan 5 periode kedepan menggunakan model tersebut adalah sebagai berikut
#peramalan dan akurasifore.dlm2 <-forecast(model = model.dlm2, x=test$Xt, h=5)#akurasi data testmape.dlm2<-MAPE(fore.dlm2$forecasts, test$Yt)mape.dlm2
[1] 0.1511753
#akurasi data trainingGoF(model.dlm2)
Model tersebut merupakan model yang sangat baik dengan nilai MAPE yang kurang dari 10%.
6 Model Autoregressive
Peubah dependen dipengaruhi oleh peubah independen pada waktu sekarang, serta dipengaruhi juga oleh peubah dependen itu sendiri pada satu waktu yang lalu maka model tersebut disebut autoregressive (Gujarati 2004).
6.1 Pemodelan
Pemodelan Autoregressive dilakukan menggunakan fungsi dLagM::ardlDlm() . Fungsi tersebut akan menerapkan autoregressive berordo \((p,q)\) dengan satu prediktor. Fungsi umum dari ardlDlm() adalah sebagai berikut.
ardlDlm(formula =NULL , data =NULL , x =NULL , y =NULL , p =1 , q =1 , remove =NULL )
Dengan \(p\) adalah integer yang mewakili panjang lag yang terbatas dan \(q\) adalah integer yang merepresentasikan ordo dari proses autoregressive.
model.ardl <-ardlDlm(x = train$Xt, y = train$Yt, p =1 , q =1)summary(model.ardl)
Time series regression with "ts" data:
Start = 2, End = 15
Call:
dynlm(formula = as.formula(model.text), data = data, start = 1)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-1.6274 -0.8401 -0.1767 0.8392 1.9447
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -8.3594 1.9186 -4.357 0.00143 **
X.t 0.3563 0.1875 1.900 0.08661 .
X.1 1.4557 0.4071 3.575 0.00505 **
Y.1 0.1408 0.1318 1.068 0.31055
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 1.269 on 10 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.9976, Adjusted R-squared: 0.9969
F-statistic: 1405 on 3 and 10 DF, p-value: 2.006e-13
Time series regression with "ts" data:
Start = 2, End = 15
Call:
dynlm(formula = as.formula(model.text), data = data)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-1.6274 -0.8401 -0.1767 0.8392 1.9447
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -8.3594 1.9186 -4.357 0.00143 **
Xt.t 0.3563 0.1875 1.900 0.08661 .
Xt.1 1.4557 0.4071 3.575 0.00505 **
Yt.1 0.1408 0.1318 1.068 0.31055
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 1.269 on 10 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.9976, Adjusted R-squared: 0.9969
F-statistic: 1405 on 3 and 10 DF, p-value: 2.006e-13
AIC(model.ardl)
[1] 51.69462
BIC(model.ardl)
[1] 54.8899
Hasil di atas menunjukkan bahwa selain peubah \(x_{t-1}\), hasil uji t menunjukkan nilai-p pada peubah \(\ge0.05\) Hal ini menunjukkan bahwa peubah \(x_{t-1}\) berpengaruh signifikan terhadap \(y_t\), sementara \(x_t\) dan \(y_{t-1}\) berpengaruh signifikan terhadap \(y_t\). Model keseluruhannya adalah sebagai berikut:
Berdasarkan akurasi di atas, terlihat bahwa nilai MAPE keduanya tidak jauh berbeda. Artinya, model regresi dengan distribusi lag ini tidak overfitted atau underfitted
6.3Lag Optimum
#penentuan lag optimummodel.ardl.opt <-ardlBoundOrders(data =data.frame(data), ic ="AIC", formula = Yt ~ Xt )model.ardl.opt
$p
Xt
1 6
$q
[1] 1
$Stat.table
q = 1 q = 2 q = 3 q = 4 q = 5 q = 6 q = 7 q = 8
p = 1 112.18269 109.52534 105.52217 101.63734 95.28841 88.62221 NA NA
p = 2 107.53473 107.27801 104.24754 98.64030 82.80884 78.24396 NA NA
p = 3 104.39360 104.39360 106.01978 99.61104 80.50702 NA NA NA
p = 4 96.84811 96.30318 96.30318 92.11385 81.60323 NA NA NA
p = 5 86.53889 84.38162 71.12124 71.12124 NA NA NA NA
p = 6 -20.56587 NA NA NA NA NA NA NA
q = 9 q = 10 q = 11 q = 12 q = 13 q = 14 q = 15
p = 1 NA NA NA NA NA NA NA
p = 2 NA NA NA NA NA NA NA
p = 3 NA NA NA NA NA NA NA
p = 4 NA NA NA NA NA NA NA
p = 5 NA NA NA NA NA NA NA
p = 6 NA NA NA NA NA NA NA
$min.Stat
[1] -20.56587
Dari tabel di atas, dapat terlihat bahwa nilai AIC terendah didapat ketika \(p=6\) dan \(q=1\), yaitu sebesar -20,56587. Artinya, model autoregressive optimum didapat ketika \(p=6\) dan \(q=1\).
Selanjutnya dapat dilakukan pemodelan dengan nilai \(p\) dan \(q\) optimum seperti inisialisasi di langkah sebelumnya.
7 Pemodelan DLM & ARDL dengan Library dynlm
Pemodelan regresi dengan peubah lag tidak hanya dapat dilakukan dengan fungsi pada packagesdLagM , tetapi terdapat packagesdynlm yang dapat digunakan. Fungsi dynlm secara umum adalah sebagai berikut.
dynlm(formula, data, subset, weights, na.action, method ="qr",model =TRUE, x =FALSE, y =FALSE, qr =TRUE, singular.ok =TRUE,contrasts =NULL, offset, start =NULL, end =NULL, ...)
Untuk menentukan formula model yang akan digunakan, tersedia fungsi tambahan yang memungkinkan spesifikasi dinamika (melalui d() dan L()) atau pola linier/siklus dengan mudah (melalui trend(), season(), dan harmon()). Semua fungsi formula baru mengharuskan argumennya berupa objek deret waktu (yaitu, "ts" atau "zoo").
L() : fungsi untuk mengambil nilai lag dari suatu variabel.
L(Xt)= Xt pada periode sebelumnya (lag ke-1).
L(Xt, 2) = Xt pada dua periode sebelumnya (lag ke-2).
#sama dengan model dlm q=1cons_lm1 <-dynlm(Yt ~ Xt+L(Xt),data = train.ts)#sama dengan model ardl p=1 q=0cons_lm2 <-dynlm(Yt ~ Xt+L(Yt),data = train.ts)#sama dengan ardl p=1 q=1cons_lm3 <-dynlm(Yt ~ Xt+L(Xt)+L(Yt),data = train.ts)#sama dengan dlm p=2cons_lm4 <-dynlm(Yt ~ Xt+L(Xt)+L(Xt,2),data = train.ts)
7.1 Ringkasan Model
Berikut adalah ringkasan hasil estimasi dari masing-masing model:
summary(cons_lm1)
Time series regression with "ts" data:
Start = 2, End = 15
Call:
dynlm(formula = Yt ~ Xt + L(Xt), data = train.ts)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-1.4118 -0.8790 -0.3542 0.7202 2.3047
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -9.4870 1.6123 -5.884 0.000106 ***
Xt 0.2557 0.1632 1.567 0.145434
L(Xt) 1.8395 0.1927 9.547 1.17e-06 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 1.277 on 11 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.9974, Adjusted R-squared: 0.9969
F-statistic: 2081 on 2 and 11 DF, p-value: 6.538e-15
summary(cons_lm2)
Time series regression with "ts" data:
Start = 2, End = 15
Call:
dynlm(formula = Yt ~ Xt + L(Yt), data = train.ts)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-3.4441 -1.1436 0.1785 1.5549 2.1584
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -3.54096 1.96526 -1.802 0.099 .
Xt 0.92218 0.14482 6.368 5.31e-05 ***
L(Yt) 0.55684 0.08922 6.241 6.34e-05 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 1.827 on 11 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.9946, Adjusted R-squared: 0.9936
F-statistic: 1015 on 2 and 11 DF, p-value: 3.344e-13
summary(cons_lm3)
Time series regression with "ts" data:
Start = 2, End = 15
Call:
dynlm(formula = Yt ~ Xt + L(Xt) + L(Yt), data = train.ts)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-1.6274 -0.8401 -0.1767 0.8392 1.9447
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -8.3594 1.9186 -4.357 0.00143 **
Xt 0.3563 0.1875 1.900 0.08661 .
L(Xt) 1.4557 0.4071 3.575 0.00505 **
L(Yt) 0.1408 0.1318 1.068 0.31055
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 1.269 on 10 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.9976, Adjusted R-squared: 0.9969
F-statistic: 1405 on 3 and 10 DF, p-value: 2.006e-13
summary(cons_lm4)
Time series regression with "ts" data:
Start = 3, End = 15
Call:
dynlm(formula = Yt ~ Xt + L(Xt) + L(Xt, 2), data = train.ts)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-1.4446 -0.6965 -0.2373 0.8810 1.8630
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -9.6779 1.8156 -5.330 0.000474 ***
Xt 0.3179 0.1792 1.774 0.109856
L(Xt) 1.5276 0.3487 4.380 0.001770 **
L(Xt, 2) 0.2651 0.2440 1.087 0.305388
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 1.322 on 9 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.9974, Adjusted R-squared: 0.9965
F-statistic: 1133 on 3 and 9 DF, p-value: 6.471e-12
7.2 SSE
Selain ringkasan hasil, kita juga bisa menghitung nilai SSE dari masing-masing model.
deviance(cons_lm1)
[1] 17.94685
deviance(cons_lm2)
[1] 36.70155
deviance(cons_lm3)
[1] 16.10882
deviance(cons_lm4)
[1] 15.73004
Semakin kecil nilai SSE, berarti model lebih baik dalam menyesuaikan data (karena error lebih kecil).
7.3 Ui encomptest
langkah selanjutnya adalah membandingkan kinerja antar model. selanjutnya adalah membandingkan kinerja antar model. Salah satu pendekatan yang dapat digunakan adalah encompassing test dengan fungsi encomptest() dari package lmtest.
Model 1 : p-value 0.31055 (> 0.05). Artinya, penambahan lag dari Y (L(Yt)) tidak memberikan peningkatan signifikan.
Dengan demikian, Model 1 sudah memadai.
Model 2 : p-value = 0.00505 (< 0.01).
Artinya, penambahan lag dari X (L(Xt)) memberikan peningkatan signifikan.Sehingga Model 2 tidak cukup memadai tanpa tambahan variabel lag dari Xt.
7.3.1 Uji Autokorelasi Residual
#durbin watsondwtest(cons_lm1)
Durbin-Watson test
data: cons_lm1
DW = 2.1065, p-value = 0.3842
alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0
dwtest(cons_lm2)
Durbin-Watson test
data: cons_lm2
DW = 1.441, p-value = 0.0497
alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0
dwtest(cons_lm3)
Durbin-Watson test
data: cons_lm3
DW = 1.9337, p-value = 0.2449
alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0
dwtest(cons_lm4)
Durbin-Watson test
data: cons_lm4
DW = 1.8189, p-value = 0.1911
alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0
7.3.2 Uji Heterogenitas
bptest(cons_lm1)
studentized Breusch-Pagan test
data: cons_lm1
BP = 1.5713, df = 2, p-value = 0.4558
bptest(cons_lm2)
studentized Breusch-Pagan test
data: cons_lm2
BP = 3.7022, df = 2, p-value = 0.1571
bptest(cons_lm3)
studentized Breusch-Pagan test
data: cons_lm3
BP = 4.0554, df = 3, p-value = 0.2555
bptest(cons_lm4)
studentized Breusch-Pagan test
data: cons_lm4
BP = 2.7921, df = 3, p-value = 0.4248
Jika p-value > 0.05 → tidak ada heteroskedastisitas
Jika p-value ≤ 0.05 → ada heteroskedastisitas.
7.3.3 Uji Normalitas
H0: Residual berdistribusi normal.
H1: Residual tidak berdistribusi normal.
shapiro.test(residuals(cons_lm1))
Shapiro-Wilk normality test
data: residuals(cons_lm1)
W = 0.90752, p-value = 0.145
shapiro.test(residuals(cons_lm2))
Shapiro-Wilk normality test
data: residuals(cons_lm2)
W = 0.94358, p-value = 0.4661
shapiro.test(residuals(cons_lm3))
Shapiro-Wilk normality test
data: residuals(cons_lm3)
W = 0.94403, p-value = 0.4723
shapiro.test(residuals(cons_lm4))
Shapiro-Wilk normality test
data: residuals(cons_lm4)
W = 0.92477, p-value = 0.2907
Jika p-value > 0.05 → gagal tolak H0 → residual normal.
Jika p-value ≤ 0.05 → tolak H0 → residual tidak normal.
8 Perbandingan Model
Membuat tabel ringkas akurasi model berdasarkan nilai MAPE (Mean Absolute Percentage Error).
Berdasarkan nilai MAPE, model paling optimum didapat pada Model Koyck karena memiliki nilai MAPE yang terkecil.
8.1 Plot
Untuk membandingkan hasil peramalan dari berbagai model (Koyck, DLM 1, DLM 2, dan ARDL) dengan data aktual, dibuat grafik garis. Visualisasi ini membantu melihat seberapa dekat hasil ramalan tiap model dengan nilai aktual.
par(mfrow=c(1,1)) # atur layout grafik tunggal# plot data aktualplot(test$Xt, test$Yt, type="b", col="black", ylim=c(120,250))# tambahkan garis ramalan dari masing-masing modelpoints(test$Xt, fore.koyck$forecasts, col="red"); lines(test$Xt, fore.koyck$forecasts, col="red")points(test$Xt, fore.dlm$forecasts, col="blue"); lines(test$Xt, fore.dlm$forecasts, col="blue")points(test$Xt, fore.dlm2$forecasts, col="orange"); lines(test$Xt, fore.dlm2$forecasts, col="orange")points(test$Xt, fore.ardl$forecasts, col="green"); lines(test$Xt, fore.ardl$forecasts, col="green")# legenda modellegend("topleft",c("Aktual", "Koyck","DLM 1","DLM 2", "Autoregressive"),lty=1, col=c("black","red","blue","orange","green"), cex=0.8)
Berdasarkan plot perbandingan, terlihat bahwa semua model mampu mengikuti tren data aktual, meskipun dengan tingkat kedekatan yang berbeda. Model DLM 1 (biru) dan Autoregressive (hijau) cukup konsisten mendekati data aktual, sementara DLM 2 (oranye) tampak menyimpang pada awal periode sebelum kembali mendekati tren. Model Koyck (merah) terlihat paling mendekati garis data aktual secara keseluruhan.
#Run the search over finite DLMs according to AIC valuesfiniteDLMauto(formula = logprice ~ interest+logm1,data =data.frame(data1), q.min =1, q.max =5,model.type ="dlm", error.type ="AIC", trace =FALSE)
Fungsi akan mencoba model dengan lag minimal q=1 hingga maksimal q=5. Dari hasil, model terbaik yang ditemukan menggunakan lag q=5 dengan nilai AIC = -463.1393.
# Model dengan q = 5 (lag sampai periode ke-5)model.dlmberganda =dlm(formula = logprice ~ interest + logm1,data =data.frame(data1), q =5)summary(model.dlmberganda)
# Model dengan q = 1 (lag sampai periode ke-1)model.dlmberganda2 =dlm(formula = logprice ~ interest + logm1,data =data.frame(data1), q =1)summary(model.dlmberganda2)
Call:
lm(formula = as.formula(model.formula), data = design)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-0.134002 -0.044697 0.006407 0.036962 0.113063
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -7.77917 0.13299 -58.492 < 2e-16 ***
interest.t -3.22103 0.94184 -3.420 0.000824 ***
interest.1 6.52775 0.94501 6.908 1.66e-10 ***
logm1.t 0.73918 0.08419 8.780 5.61e-15 ***
logm1.1 0.63330 0.08429 7.513 6.55e-12 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 0.05443 on 138 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.9832, Adjusted R-squared: 0.9828
F-statistic: 2025 on 4 and 138 DF, p-value: < 2.2e-16
AIC and BIC values for the model:
AIC BIC
1 -419.7575 -401.9805
