中級統計学：復習テスト5

注意

すべての質問に解答しなければ提出とは認めない．正答に修正した上で，復習テスト1〜8を順に重ねて左上でホチキス止めし，第1回中間試験実施日（10月24日の予定）に提出すること．

1. ある試行の事象を A,B とする．以下を示しなさい．

P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)

P(A|B)=P(A) \Longleftrightarrow P(B|A)=P(B)

ヒント：「\Longrightarrow」と「\Longleftarrow」を示す．

解答例

1. 条件つき確率の定義より

\begin{align*} P(A|B) & :=\frac{P(A \cap B)}{P(B)} \\ P(B|A) & :=\frac{P(B \cap A)}{P(A)} \end{align*}

すなわち乗法定理より

\begin{align*} P(A|B)P(B) & =P(A \cap B) \\ P(B|A)P(A) & =P(B \cap A) \end{align*}

A \cap B=B \cap A より右辺同士が等しいので左辺同士も等しい．

\begin{align*} P(A|B)=P(A) & \Longleftrightarrow \frac{P(A \cap B)}{P(B)}=P(A) \\ & \Longleftrightarrow P(A \cap B)=P(A)P(B) \\ & \Longleftrightarrow \frac{P(A \cap B)}{P(A)}=P(B) \\ & \Longleftrightarrow P(B|A)=P(B) \end{align*}

2. ある試行の事象をA,B,Cとする．

1. A,B,C の独立性を定義しなさい（注：条件は4つある）．

2. 次式を示しなさい．

P(A \cap B \cap C)=P(A|B \cap C)P(B|C)P(C)

ヒント：右辺の条件つき確率の定義をそれぞれ書いてみるとよい．

解答例

1. 以下が成り立つときA,B,Cは（相互に）独立という．

\begin{align*} P(A \cap B) & =P(A)P(B) \\ P(B \cap C) & =P(B)P(C) \\ P(A \cap C) & =P(A)P(C) \\ P(A \cap B \cap C) & =P(A)P(B)P(C) \end{align*}

2. 条件つき確率の定義より

\begin{align*} P(A|B \cap C)P(B|C)P(C) & =\frac{P(A \cap (B \cap C))}{P(B \cap C)}\frac{P(B \cap C)}{P(C)}P(C) \\ & =P(A \cap B \cap C) \end{align*}