Se observa que una tetera que hierve a los 100°C se demora 45 minutos en enfriarse a 50°C, cuando la temperatura ambiente es 20°C. Obtenga la función de la temperatura de la tetera en función del tiempo y calcule la constante a de la ecuación diferencial de la ley de enfriamiento de Newton.
Sabemos que, por la ley de enfriamiento de Newton, la tasa (velocidad) de enfriamiento de un cuerpo es directamente proporcional a la diferencia de temperatura relativo a su medio. Por consiguiente, su ecuación diferencial es:
\[\frac{dT}{dt} = a(T-T_m)...(1)\] donde T es la temperatura, t es el tiempo, \(T_m\) es la temperatura del medio ambiente, y a es una constante.
Primero, resolvemos la ecuación diferencial en general. Esta es separable:
\[\frac{dT}{T-T_m} = adt\] \[\therefore \int \frac{dT}{T-T_m} = a \int dt\]
\[\therefore ln(T-T_m) = at + c\] Sin pérdida de generalidad, podemos reemplazar \(e^c\) por c:
\[\therefore T = ce^{at} + T_m...(2)\] Esta es la solución general, en el intervalo \([0, \infty)\).
Para encontrar c, sustituimos el valor de T en \(t=0\): \(T=100°\). Además, está dado que \(T_m = 20\):
\[100 = ce^0 + 20\] \[\therefore c = 80\] \[\therefore T = 80e^{at} + 20...(3)\] Esta es la solución del PVI: la función de la temperatura de la tetera en función del tiempo.
Verificar, derivando (3):
\[\frac{dT}{dt} = 80ae^{at}\] De la ecuación (3), \(80e^{at} = T-20\):
\[\frac{dT}{dt} = a(T-20) = a(T-T_m) \ Q.E.D.\]
Para encontrar a, sustituir \(T = 50°\) en \(t=45\).
\[50 = 80e^{45a} + 20...(3)\] \[\therefore e^{45a} = \frac{50-20}{80} = \frac{3}{8}\] \[\therefore 45a = ln \left( \frac{3}{8} \right)\] \[\therefore a = \frac{1}{45} ln \left( \frac{3}{8} \right)\] \[\therefore a = -0.0218\] Entonces ahora podemos escribir la ecuación solución exacta:
\[T = 80e^{-0.0218t} + 20...(4)\]
Una población de salmones de una salmonera crece exponencialmente en su estado natural. Solamente bajo estas condiciones su tasa de crecimiento está dada por la ecuación diferencial:
\[y'(t) = ay(t)...(1)\]
donde \(a=0.4\) y t es el tiempo medido en meses. La capacidad máxima de la salmonera es 15 millones de peces, por el tamaño de las piscinas. Al momento de empezar su explotación, la salmonera tiene una población de 300.000 peces. Si se extraen 100.000 salmones mensuales, ¿cuántos peces tendrá la salmonera después de 12 meses? Explique su razonamiento.
Debido a que se extraen \(x = 100.000\) salmones mensuales, la ecuación diferencial bajo el régimen de explotación es:
\[\frac{dy}{dt} = ay - x...(2)\]
Además, debido a que el valor de \(y(t)\) tiene un tope máximo dado por la capacidad máxima de la salmonera, debemos multiplicar la ecuación diferencial (2) por el factor logístico \(1 - \frac{y}{y_y}\), donde \(y_m\) es la capacidad máxima de la salmonera:
\[\frac{dy}{dt} = (ay - x) \left( 1 - \frac{y}{y_m} \right)\] Simplificar:
\[\frac{dy}{dt} = \frac{1}{y_m} (ay - x)(y_m - y)...(3)\]
Esta es la ecuación diferencial que modela el problema, y es separable:
\[\frac{dy}{(ay-x)(y_m - y)} = \frac{1}{y_m} dt\]
\[\therefore \int \frac{dy}{(ay-x)(y_m - y)} = \frac{1}{y_m} \int dt\] El lado izquierdo se separa en fracciones parciales:
\[ \frac{1}{ay_m-x} \int \left[ \frac{a}{ay-x} + \frac{1}{y_m-y} \right] dy = \frac{1}{y_m} \int dt\] \[ \therefore \int \left[ \frac{1}{y-x/a} + \frac{1}{y_m-y} \right] dy = \frac{ay_m-x}{y_m} \int dt\]
\[\therefore ln(y-x/a) - ln(y_m-y) = (a-x/y_m)t + c\] \[\therefore ln \left( \frac{y-x/a}{y_m-y} \right) = (a-x/y_m)t + c\]
Sea \(b = a-x/y_m\), y sin pérdida de generalidad, podemos escribir c en vez de \(e^c\):
\[\therefore \frac{y-x/a}{y_m-y} = ce^{bt}\] \[\therefore y = ce^{bt}(y_m-y) + x/a \] \[\therefore (1+ce^{bt})y = y_mce^{bt} + x/a\] \[\therefore y = \frac{y_mce^{bt} + x/a}{1+ce^{bt}}\] \[\therefore y = \frac{y_mce^{bt}}{ce^{bt}(e^{-bt}/c+1)} + \frac{x/a}{1+ce^{bt}}\] \[\therefore y = \frac{y_m}{1+e^{-bt}/c} + \frac{x/a}{1+ce^{bt}}...(4)\] Esta es la solución general de la ecuación diferencial, en el intervalo \([0, \infty)\).
Para encontrar \(c\), reemplazar \(y = y_0\) cuando \(t=0\):
\[y_0 = \frac{y_m}{1+1/c} + \frac{x/a}{1+c}\] \[y_0 = \frac{y_m}{(1/c)(c+1)} + \frac{x/a}{1+c}\] \[\therefore y_0(1+c) = y_mc + x/a\] \[\therefore (y_0 - y_m)c = x/a - y_0\] \[\therefore c = \frac{y_0 - x/a}{y_m - y_0}\] Sustituir los valores:
\[\therefore c = \frac{3 \cdot 10^5 - 10^5/0.4}{1.5 \cdot 10^7 - 3 \cdot 10^5}\] \[\therefore c = 3.4 \cdot 10^{-3}\] Asimismo, calcular b:
\[b = a - \frac{x}{y_m}\]
\[\therefore b = 0.4 - \frac{10^5}{1.5 \cdot 10^7}\]
\[\therefore b = 0.3933\]
Ahora sustituir todos los valores de las constantes en (4) con \(t=12\):
\[y(12) = \frac{1.5 \cdot 10^7}{1+e^{-0.3933 \cdot 12}/3.4 \cdot 10^{-3}} + \frac{10^5/0.4}{1+3.4 \cdot 10^{-3}e^{0.3933 \cdot 12}}...(4)\] \[\therefore y(12) = 4.32 \cdot 10^6\] A los 12 meses, la salmonera tendrá 4,32 millones de peces.
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