Nota: Para facilitar la lectura, en las salidas impresas solo se muestran 10 observaciones de cada simulación. Sin embargo, todos los cálculos y análisis se realizan utilizando la cantidad total de simulaciones solicitadas en cada problema.

Problema 1 (Problema 8)

Enunciado

Una turbina de gas tiene cuatro componentes críticos que fallan de manera independiente. Los tiempos de vida (en horas) de cada componente siguen distribuciones exponenciales:

  • Componente 1: \(\lambda_1 = 1/5000\)
  • Componente 2: \(\lambda_2 = 1/4000\)
  • Componente 3: \(\lambda_3 = 1/6000\)
  • Componente 4: \(\lambda_4 = 1/5500\)

La turbina deja de funcionar cuando el primer componente falla.

a.) Genere 5000 simulaciones del tiempo de vida de la turbina.
b.) Estime la vida media de la turbina.
c.) Estime la probabilidad de que la turbina falle antes de 4000 horas.
d.) Construya el histograma del tiempo de vida de la turbina y comente sobre su forma.
e.) ¿Qué estrategias de mantenimiento preventivo se pueden considerar?

Solución

Inicialización de datos

set.seed(123)
n <- 5000
lambdas <- c(1/5000, 1/4000, 1/6000, 1/5500)
tiempos <- matrix(rexp(n * 4, rate = rep(lambdas, each = n)), ncol = 4)

a) Simule 5000 tiempos de vida de la turbina:

vida_turbina <- apply(tiempos, 1, min)
head(vida_turbina, 10)
 [1] 1151.9901 2883.0514  976.1071  157.8868  281.0549  332.8256 1416.0718
 [8]  726.3340  286.5589  145.7672

b) Vida media estimada de la turbina:

mean(vida_turbina)
[1] 1260.982

c) Probabilidad de que la turbina falle antes de 4000 horas:

mean(vida_turbina < 4000)
[1] 0.9598

d) Histograma del tiempo de vida de la turbina:

hist(vida_turbina, breaks=30, col="#69b3a2", main="Histograma del tiempo de vida de la turbina", xlab="Horas", border="white")

Análisis de la distribución:
El histograma del tiempo de vida de la turbina muestra que la mayor densidad de los datos se encuentra hacia la izquierda, es decir, la mayoría de los tiempos de vida son relativamente cortos. Esto es característico de una distribución exponencial, donde la probabilidad de fallas tempranas es alta y la cola hacia la derecha representa la baja probabilidad de que la turbina funcione durante mucho tiempo.

e) Estrategias de mantenimiento preventivo:

  • Realizar inspecciones periódicas y reemplazo preventivo de los componentes antes de que alcancen su vida media estimada.
  • Implementar monitoreo en tiempo real para detectar signos de desgaste o fallas inminentes.
  • Llevar un registro histórico de fallas para optimizar los intervalos de mantenimiento.
  • Priorizar el mantenimiento en los componentes con mayor tasa de falla (mayor \(\lambda\)).

Problema 2 (Problema 2)

Enunciado

La edad de una antigua pieza de materia orgánica se puede estimar a partir de la tasa a la que emite partículas beta como resultado del decaimiento del carbono-14. Por ejemplo, si \(X\) es el número de partículas emitidas durante diez minutos por un fragmento óseo con 10000 años de antigüedad que contiene 1 g de carbono, entonces \(X\) tiene una distribución de Poisson con media \(\lambda=45.62\). Un arqueólogo descubrió un pequeño fragmento óseo que contiene 1 g de carbono. Si \(t\) es la edad desconocida del hueso, en años, el arqueólogo contará el número \(X\) de partículas emitidas en diez minutos y calculará una edad estimada \(\hat{t}\) con la fórmula:

\[ \hat{t} = \frac{\ln(15.3) - \ln\left(\frac{X}{10}\right)}{0.0001210} \]

El arqueólogo no lo sabe, pero el hueso tiene exactamente 10000 años de antigüedad, por lo que \(X\) tiene una distribución de Poisson con \(\lambda=45.62\).

a.) Genere una muestra simulada de 10000 valores de \(X\) y sus correspondientes valores de \(\hat{t}\).
b.) Estime la media de \(\hat{t}\)
c.) Estime la desviación estándar de \(\hat{t}\)
d.) Estime la probabilidad de que \(\hat{t}\) esté a 1000 años de la edad real de 10000 años.

Solución

Inicialización de datos

set.seed(123)
n <- 10000
lambda <- 45.62
X <- rpois(n, lambda)

a) Simule 10000 valores de \(X\) y sus correspondientes \(\hat{t}\):

t_hat <- (log(15.3) - log(X/10)) / 0.0001210
head(data.frame(X, t_hat), 10)
    X     t_hat
1  41 10883.189
2  53  8761.537
3  34 12430.392
4  46  9932.203
5  57  8160.220
6  48  9580.470
7  37 11731.570
8  33 12677.110
9  53  8761.537
10 48  9580.470

b) Media de \(\hat{t}\):

mean(t_hat)
[1] 10114.79

c) Desviación estándar de \(\hat{t}\):

sd(t_hat)
[1] 1237.73

d) Probabilidad de que \(\hat{t}\) esté a 1000 años de 10000:

mean(abs(t_hat - 10000) <= 1000)
[1] 0.5886

Problema 3 (Problema 7)

Enunciado

Una constructora está evaluando la resistencia a la compresión de cilindros de concreto a los 28 días de curado. La resistencia sigue una distribución normal con media \(\mu=30\) MPa y desviación estándar \(\sigma=5\) MPa. Se requiere que el 95% de los cilindros superen los 25 MPa.

a.) Genere una muestra simulada de 10000 cilindros de concreto.
b.) Estime el porcentaje de cilindros que cumplen con la resistencia mínima de 25 MPa.
e.) Estime el décimo percentil (\(P_{10}\)) de la resistencia a la compresión.
d.) Si un cilindro que no cumple cuesta $50 USD en reprocesamiento, estime el costo promedio asociado a los rechazos en 10000 cilindros.
e.) ¿Qué medidas de control de calidad sugerirías implementar para mejorar el desempeño de la mezcla de concreto?

Solución

Inicialización de datos

set.seed(123)
n <- 10000
mu <- 30
sigma <- 5
resistencia <- rnorm(n, mean = mu, sd = sigma)

a) Simule 10000 resistencias de cilindros de concreto:

head(resistencia, 10)
 [1] 27.19762 28.84911 37.79354 30.35254 30.64644 38.57532 32.30458 23.67469
 [9] 26.56574 27.77169

b) Porcentaje de cilindros que cumplen con la resistencia mínima de 25 MPa:

cumplen <- resistencia > 25
mean(cumplen) * 100
[1] 83.88

c) Décimo percentil (\(P_{10}\)) de la resistencia a la compresión:

quantile(resistencia, 0.10)
     10% 
23.60281

d) Costo promedio asociado a los rechazos en 10000 cilindros:

costo_rechazo <- sum(!cumplen) * 50
costo_promedio <- costo_rechazo / n
costo_promedio
[1] 8.06
costo_rechazo
[1] 80600

e) Medidas de control de calidad sugeridas:

  • Mejorar la selección y dosificación de los materiales.
  • Controlar la relación agua/cemento.
  • Realizar pruebas de laboratorio frecuentes durante la producción.
  • Capacitar al personal en buenas prácticas de mezclado y curado.
  • Implementar controles estadísticos de proceso para detectar desviaciones a tiempo.

Problema 4 (Problema 9)

Enunciado

El caudal máximo diario de un río se modela como una distribución Gumbel con parámetros \(\mu=500\) m³/s y \(\beta=100\) m³/s. Un puente ha sido diseñado para resistir caudales de hasta 750 m³/s. Se desea estimar la probabilidad de que el puente sea superado en los próximos 10 años.

a.) Genere 3650 simulaciones (equivalente a 10 años) del caudal máximo diario.
b.) Estime la probabilidad de que en al menos un día en los próximos 10 años el caudal supere los 750 m³/s.
c.) Si se desea reducir el riesgo de superación al 1%, ¿qué caudal máximo debería resistir el nuevo diseño del puente?
d.) Construya el histograma de los caudales simulados y analice la distribución.
e.) ¿Qué medidas adicionales de mitigación podría implementar el ingeniero civil a cargo?

Solución

Inicialización de datos

set.seed(123)
n <- 3650
mu <- 500
beta <- 100
U <- runif(n)
caudales <- mu - beta * log(-log(U))

a) Simule 3650 caudales máximos diarios:

head(caudales, 10)
 [1] 477.9851 643.6031 511.1942 708.4170 779.0697 387.2217 544.8697 717.3142
 [9] 551.8805 524.3454

b) Probabilidad de que en al menos un día en 10 años el caudal supere 750 m³/s:

1 - (mean(caudales <= 750))^n
[1] 1

c) Caudal máximo para que el riesgo de superación en 10 años sea 1%:

p_1dia <- 1 - 0.01^(1/n)
quantile(caudales, p_1dia)
0.1260895% 
  316.2288

d) Histograma de los caudales simulados:

hist(caudales, breaks=30, col="#69b3a2", main="Histograma de caudales máximos diarios", xlab="Caudal (m³/s)", border="white")

Análisis de la distribución:
El histograma de los caudales máximos diarios también muestra una mayor densidad de datos hacia la izquierda. La mayoría de los caudales se concentran en valores menores, pero existe una cola hacia la derecha que representa la posibilidad de eventos extremos.

e) Medidas adicionales de mitigación sugeridas:

  • Construcción de diques o canales de desvío para reducir el impacto de crecidas.
  • Implementar sistemas de alerta temprana y monitoreo hidrológico.
  • Mejorar el diseño estructural del puente para soportar cargas dinámicas adicionales.
  • Planificar rutas de evacuación y protocolos de emergencia.
  • Reforestar cuencas para disminuir la escorrentía y el riesgo de inundaciones.