Diketahui \(Y\) adalah variabel acak yang bernilai positif sehingga \(y>0\) dan terdapat konstanta \(\alpha > 0\). Fungsi Gamma untuk \(\alpha\) yaitu
\[\begin{equation} \Gamma(\alpha) = \int_0^\infty y^{\alpha-1} e^{-y} \, dy \end{equation}\]
untuk \(\alpha > 0\) dan nilai dari integral adalah bilangan positif.
Jika \(\alpha = 1\) maka
\[ \Gamma(1) = \int_0^\infty e^{-y} \, dy = 1 \]
Jika \(\alpha = 2\) maka
\[ \Gamma(2) = \int_{0}^{\infty} y^{2-1} e^{-y} \, dy = \int_{0}^{\infty} y \, e^{-y} \, dy \]
Kita gunakan integral parsial:
Misal \(u = y \Rightarrow du = dy\),
\(dv = e^{-y} dy \Rightarrow v =
-e^{-y}\).
\[ \int y e^{-y} \, dy = -y e^{-y} - \int -e^{-y} \, dy = -y e^{-y} - e^{-y} + C \]
Evaluasi dari \(0\) ke \(\infty\):
Jadi: \[ \Gamma(2) = \left[ -y e^{-y} - e^{-y} \right]_{0}^{\infty} = (0) - (-1) = 1 \]
Jika \(\alpha = 3\), maka
\[ \Gamma(3) = \int_{0}^{\infty} y^{2} e^{-y} \, dy \]
Integral parsial:
Pertama, \(u = y^2\), \(dv = e^{-y} dy\)
\(du = 2y \, dy\), \(v = -e^{-y}\)
\[\begin{align} \int y^2 e^{-y} \, dy &= -y^2 e^{-y} + \int 2y e^{-y} \, dy \\ &= -y^2 e^{-y} + 2 \int y e^{-y} \, dy \end{align}\]
Tapi \(\int y e^{-y} \, dy\) sudah kita hitung sebelumnya = \(-y e^{-y} - e^{-y}\).
Jadi:
\[\begin{align} \int y^2 e^{-y} \, dy &= -y^2 e^{-y} + 2\left[ -y e^{-y} - e^{-y} \right] + C\\ &= -y^2 e^{-y} - 2y e^{-y} - 2 e^{-y} + C\\ &= -e^{-y} (y^2 + 2y + 2) + C \end{align}\]
Evaluasi dari \(0\) ke \(\infty\):
Jadi: \[ \Gamma(3) = 0 - (-2) = 2 \]
Kesimpulan: \[ \Gamma(1) = 1, \quad \Gamma(2) = 1, \quad \Gamma(3) = 2, \quad \Gamma(4) = 3,\cdots \]
Sehingga secara umum berlaku \(\Gamma(\alpha) = (\alpha-1)!\) untuk \(\alpha\) bulat positif.
Atau jika \(\alpha > 1\) maka \[\begin{align*} \Gamma(\alpha) &= (\alpha - 1) \int_0^\infty y^{\alpha - 2} e^{-y} \, dy \\ &= (\alpha - 1) \Gamma(\alpha - 1) \\ &= (\alpha - 1) (\alpha - 2)! \\ &= (\alpha - 1)(\alpha - 2) \cdots (3)(2)(1) \Gamma(1) \\ &= (\alpha - 1)! \end{align*}\]
Sekarang misalkan terdapat variabel \(x\) dengan \(y = \frac{x}{\beta}\) dengan \(\beta > 0\). Jika disubtitusikan ke Fungsi Gamma maka akan menjadi
\[\begin{align} \Gamma(\alpha) &= \int_0^\infty \left( \frac{x}{\beta} \right)^{\alpha - 1} e^{-\left( \frac{x}{\beta} \right)} \cdot d \left( \frac{x}{\beta} \right) \\ &= \int_0^\infty \frac{x^{\alpha - 1 }}{\beta^{\alpha-1}} e^{-\left( \frac{x}{\beta} \right)} \frac{1}{\beta} \cdot dx \\ 1 &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_0^\infty \frac{x^{\alpha - 1 }}{\beta^{\alpha-1}} e^{-\left( \frac{x}{\beta} \right)} \frac{1}{\beta} \cdot dx \end{align}\]
Sehingga akan diperoleh sifat dari distribusi peluang sebagai berikut: \[ \int_0^\infty \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \frac{x^{\alpha - 1}}{\beta^\alpha} e^{-\left( \frac{x}{\beta} \right)} dx = 1 \]
Dengan demikian
\[ \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \frac{x^{\alpha - 1}}{\beta^\alpha} e^{-\left( \frac{x}{\beta} \right)} \]
adalah suatu distribusi peluang karena memenuhi sifat
\[ \int_0^\infty f(x) dx = 1 \]
Selanjutnya diperoleh fungsi densitas distribusi gamma:
\[ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^\alpha} x^{\alpha-1} e^{-(x/\beta)} & \text{, untuk } x > 0 \\ 0 & \text{, untuk } x \text{ lainnya} \end{array} \right. \]
dengan \(\alpha > 0\), \(\beta > 0\), dan \(\Gamma(\alpha) > 0\).
Secara umum dituliskan \(X \sim \text{Gamma}(\alpha, \beta)\), dengan \(\alpha, \beta\) adalah parameter dari Distribusi Gamma.
Menggunakan fungsi densitas Gamma, apabila \(\alpha = \frac{r}{2}\) dan \(\beta = 2\), maka variabel acak \(X\) akan memiliki fungsi densitas sebagai berikut:
\[ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{\Gamma(r/2) 2^{r/2}} x^{r/2-1} e^{-x/2} & \text{, untuk } x > 0 \\ 0 & \text{, untuk } x \leq 0 \end{array} \right. \]
Bentuk fungsi densitas tersebut dinamakan distribusi Chi-kuadrat atau \(\chi^2\) dengan derajat kebebasan \(r\).
Menggunakan fungsi densitas Gamma, apabila \(\alpha = k\) dan \(\beta = \frac{1}{\lambda}\), maka variabel acak \(X\) akan memiliki fungsi densitas sebagai berikut:
\[ f(x) = \frac{1}{\Gamma(k) \left(\frac{1}{\lambda} \right)^k} x^{k-1} e^{-(\lambda x)} \]
dengan \(k\) adalah banyak kejadian \(\lambda\) adalah laju per kejadian. Jika \(k=1\) maka
\[\begin{align} f(x) &= \frac{1}{\Gamma(1) \left(\frac{1}{\lambda} \right)} x^{1-1} e^{-(\lambda x)}\\ &= \lambda e^{-(\lambda x)} \end{align}\]
Sehingga bentuk fungsi densitas
\[ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \lambda e^{-\lambda x} & \text{, untuk } x > 0 \\ 0 & \text{, untuk } x \text{ lainnya} \end{array} \right. \]
disebut fungsi densitas eksponensial atau bisa dituliskan bahwa \(X \sim Eksponensial (\lambda)\).
Misalkan terdapat dua variabel acak yaitu \(X_1\) dan \(X_2\), dan masing-masing mempunyai distribusi gamma, dengan masing-masing variabel acak saling independen.
\[ X_1 \sim \text{Gamma} (\alpha_1, \beta_1) \quad \text{dan} \quad X_2 \sim \text{Gamma} (\alpha_2, \beta_2) \]
\[ f(x_1) = \frac{1}{\Gamma(\alpha_1)} x_1^{\alpha_1 - 1} e^{-x_1/\beta_1} \cdot \frac{1}{\beta_1^{\alpha_1}} \]
\[ f(x_2) = \frac{1}{\Gamma(\alpha_2)} x_2^{\alpha_2 - 1} e^{-x_2/\beta_2} \cdot \frac{1}{\beta_2^{\alpha_2}} \]
Fungsi densitas gabungan \(X_1\) dan \(X_2\) yaitu \[ f(x_1, x_2) = f(x_1) \cdot f(x_2) \]
\[ = \frac{1}{\Gamma(\alpha_1) \Gamma(\alpha_2) \beta_1^{\alpha_1} \beta_2^{\alpha_2}} x_1^{\alpha_1 - 1} x_2^{\alpha_2 - 1} e^{-x_1/\beta_1} \cdot e^{-x_2/\beta_2} \]
Distribusi Beta didefinisikan dari \(f(x_1, x_2)\) dengan melakukan transformasi:
\[ y_1 = u_1(x_1, x_2) = x_1 + x_2 \] \[ y_2 = u_2(x_1, x_2) = \frac{x_1}{x_1 + x_2} \]
dengan mendapatkan fungsi marginal dari \(y_2\) dari distribusi gabungan \(y_1\) dan \(y_2\).
Fungsi densitas gabungan \(y_1\) dan \(y_2\):
\[ g(y_1, y_2) = y_1 \frac{1}{\Gamma(\alpha) \Gamma(\beta)} (y_1 y_2)^{\alpha-1} [y_1 (1-y_2)]^{\beta-1} e^{-y_1} \]
dengan \(\alpha = \alpha_1 = \alpha_2\) dan \(\beta = \beta_1 = \beta_2\).
Fungsi marginal \(y_2\) yaitu:
\[ g_2(y_2) = \frac{\Gamma(\alpha + \beta)}{\Gamma(\alpha) \Gamma(\beta)} y_2^{\alpha-1} (1-y_2)^{\beta-1}, \quad 0 < y_2 < 1. \]
Fungsi densitas \(g_2(y_2)\) disebut fungsi Distribusi Beta.
Kerjakan soal berikut ini!
Misalkan \(U \sim N(0,1)\) dan \(V \sim \chi^2(r)\), gabungkan kedua distribusi tersebut!
Misalkan terdapat variabel acak \(Q\) dengan
\[ Q = \frac{U}{\sqrt{V/r}} \]
dan \(u = q_1 \sqrt{z}\), dengan \(z = v\). Tentukanlah \(g(q_1, z) = h\left( \frac{q_1\sqrt{z}}{\sqrt{r}}, z \right) \cdot |J|\)!
dimana \(|J| = \frac{\sqrt{z}}{\sqrt{r}}\).