Úloha 2

Matematické operácie

Poznáte “najkrajšiu matematickú rovnicu”?

Je ňou Eulerova identita, ktorá je krásnym spojením tigonometrických funkcií, exponenciálnych funkcií a komplexných čísel. Poďme si ju predstaviť: \[e^{i\pi} + 1 = 0\] kde:
e je exponenciálna báza
i je imaginárna jednotka
pi je Ludolfovo číslo.

V R si ju môžeme overiť pomocou kódu:

z <- exp(1i * pi) + 1
z

[1] 0+1.224647e-16i

round(z, 15)

[1] 0+0i

Táto jednoduchá kontrola ukazuje, že matematické teórie majú pevný základ aj v reálnej výpočtovej praxi.

V nasledujúcom chunku si predstavíme zopár zaujímavých logických rovníc

a<-TRUE
b<-FALSE
c<- TRUE
a

[1] TRUE

b

[1] FALSE

c

[1] TRUE

x<-(a&b)|c
x

[1] TRUE

y<-(!a&!b)&c
y

[1] FALSE

xx<-(a|b)|!c
xx

[1] TRUE

Očakávali by ste takéto výsledky?

Malé cvičenie

Vypočítajte:

\[\frac{(15^2-4)}{7}\]

f<-(15^2 - 4) / 7
f

[1] 31.57143

Výsledok tohto príkladu je: 31.57143.

V tomto chunku sa pohráme s textovými premennými:

first <- "Miroslava"                      
last  <- "Medvecká"                         
full  <- paste(first, last)
full

[1] "Miroslava Medvecká"

full_nospace <- paste0(first, last)
full_nospace

[1] "MiroslavaMedvecká"

csv_line <- paste("ruža", "slnečnica", "hortenzia", sep = ",")
csv_line

[1] "ruža,slnečnica,hortenzia"

Dĺžka textového reťazca, podreťazec

x <- "Prajem pekný deň!"
nchar(x)                 

[1] 17

substr(x, 8, 17)          

[1] "pekný deň!"

---

Vektory

v1 <- c(5, 4, 3, 2, 1)
v2 <- 1:5                 
v3 <- seq(from = 0, to = 1, by = 0.2)
v4 <- rep(2, times = 4)   
v5 <- runif(6)             
v6 <- rnorm(4)         
v1; v2; v3; v4; v5

[1] 5 4 3 2 1
[1] 1 2 3 4 5
[1] 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
[1] 2 2 2 2
[1] 0.9555456 0.7484804 0.6343071 0.9781731 0.5651916 0.8978082

Aritmetické operácie s vektormi

v <- c(5, 4, 3, 2, 1)
p<- v + 20  
p

[1] 25 24 23 22 21

q<- v * 3 
q

[1] 15 12  9  6  3

r<- (v + 5) / 2
r

[1] 5.0 4.5 4.0 3.5 3.0

s<- exp(v)  
s

[1] 148.413159  54.598150  20.085537   7.389056   2.718282

sum <- sum(c(4,3,3),c(1,1,1))   
sum

[1] 13

t<- crossprod(c(4,3,3),c(1,1,1))   
t

     [,1]
[1,]   10

tt<-c(4,3,3)*c(1,1,1)   
tt

[1] 4 3 3

Matematické operácie s 2 vektormi rovnakého rozmeru

length(c(5,6,8,9,11, 12))

[1] 6

length(v5)           

[1] 6

 c(5,6,8,9,11, 12)+ v5     

[1]  5.955546  6.748480  8.634307  9.978173 11.565192 12.897808

Indexovanie a výber niektorych prvkov vektora

x <- c(10, 15, 13, 8, 7, 0, 2 )
x[2]           

[1] 15

x[1:3]         

[1] 10 15 13

x[-1]          

[1] 15 13  8  7  0  2

x[x > 12]      

[1] 15 13

which(x > 12)  

[1] 2 3

Práca s chýbajúcimi hodnotami

y <- c(2, NA, 4, NA, 6)
is.na(y)

[1] FALSE  TRUE FALSE  TRUE FALSE

mean(y)                 # NA

[1] NA

mean(y, na.rm = TRUE)   # remove NAs

[1] 4

Základné štatistiky a usporiadanie prvkov vektora podľa veľkosti

z <- c(15, 7, 5, 3, 13)
mean(z)                

[1] 8.6

sd(z)                  

[1] 5.176872

max(z)                  

[1] 15

summary(z)              

   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
    3.0     5.0     7.0     8.6    13.0    15.0 

sort(z)                

[1]  3  5  7 13 15

sort(z, decreasing = TRUE)  

[1] 15 13  7  5  3

Malé cvičenie

Vytvorte vektor w s číslami 1..20 a vypočítajte sumu všetkých párnych čísel.

w <- 1:20
sum(w[w %% 2 == 0])

[1] 110

Suma všetkých párnych čísel je 110

Matice

m <- matrix(1:15, nrow = 3, ncol = 5)           
m_byrow <- matrix(1:15, nrow = 3, byrow = TRUE)  
m; m_byrow

     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,]    1    4    7   10   13
[2,]    2    5    8   11   14
[3,]    3    6    9   12   15
     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,]    1    2    3    4    5
[2,]    6    7    8    9   10
[3,]   11   12   13   14   15

Rozmery matice

dim(m)                   # (rows, cols)

[1] 3 5

m

     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,]    1    4    7   10   13
[2,]    2    5    8   11   14
[3,]    3    6    9   12   15

Adresovanie prvkov matice

m[1, 2]      

[1] 4

m[ , 3]      

[1] 7 8 9

m[2, ]       

[1]  2  5  8 11 14

m[1:2, 2:3] 

     [,1] [,2]
[1,]    4    7
[2,]    5    8

Maticové operácie

A <- matrix(c(1,2,3,4), nrow = 2)
B <- matrix(c(5,6,7,8), nrow = 2)

A + B        

     [,1] [,2]
[1,]    6   10
[2,]    8   12

A * B        

     [,1] [,2]
[1,]    5   21
[2,]   12   32

A %*% B     

     [,1] [,2]
[1,]   23   31
[2,]   34   46

t(A)         

     [,1] [,2]
[1,]    1    2
[2,]    3    4

det(A)       

[1] -2

solve(A)    

     [,1] [,2]
[1,]   -2  1.5
[2,]    1 -0.5

Zlučovanie vektorov do matíc

C <- cbind(1:3, 4:6)   #  - po stlpcoch 
D <- rbind(1:3, 4:6)   #  - po riadkoch 
C; D

Vypočítanie zvolenej štatistiky po riadkoch (stĺpcoch) matice

M <- matrix(1:9, nrow = 3)
M
apply(M, 1, sum)   # suma po riadkoch
apply(M, 2, mean)  # priemery po stĺpcoch

Malé cvičenie

Vytvorte maticu 5x5 s hodnotami po riadkoch 1..25, vypočítajte stĺpcové sumy a súčin matíc \(M^t M\).

M2 <- matrix(1:25, nrow = 5, byrow = TRUE)
colSums(M2)

[1] 55 60 65 70 75

t(M2) %*% M2

     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,]  855  910  965 1020 1075
[2,]  910  970 1030 1090 1150
[3,]  965 1030 1095 1160 1225
[4,] 1020 1090 1160 1230 1300
[5,] 1075 1150 1225 1300 1375

---