中級統計学：復習テスト4

作者

村澤 康友

公開

2025年10月3日

注意

すべての質問に解答しなければ提出とは認めない．正答に修正した上で，復習テスト1〜8を順に重ねて左上でホチキス止めし，第1回中間試験実施日（10月24日の予定）に提出すること．

  1. 2枚のコインを同時に投げ，表の枚数を数える試行を考える．

  1. 標本空間を書きなさい．

  2. すべての事象を書きなさい．

  3. 各事象の確率を定義しなさい．

  1. \Omega:=\{0,1,2\}

  2. \emptyset,\{0\},\{1\},\{2\},\{0,1\},\{0,2\},\{1,2\},\Omega

\begin{align*} P(\emptyset) & =0 \\ P(\{0\}) & =\frac{1}{4} \\ P(\{1\}) & =\frac{1}{2} \\ P(\{2\}) & =\frac{1}{4} \\ P(\{0,1\}) & =\frac{3}{4} \\ P(\{0,2\}) & =\frac{1}{2} \\ P(\{1,2\}) & =\frac{3}{4} \\ P(\Omega) & =1 \end{align*}

  1. 確率の公理から以下を示しなさい．

  1. P(A)+P(A^c)=1

  2. P(\emptyset)=0

  3. A \subset B \Longrightarrow P(A) \le P(B)

  1. A と A^c は排反だから \begin{align*} P(A)+P(A^c) & =P(A \cup A^c) \\ & =P(\Omega) \\ & =1 \end{align*}

  2. A=A \cup \emptyset であり，A と \emptyset は排反だから \begin{align*} P(A) & =P(A \cup \emptyset) \\ & =P(A)+P(\emptyset) \end{align*} 両辺から P(A) を引けば結果が得られる．

  3. A \subset B より B=A \cup (A^c \cap B) A と A^c \cap B は排反だから \begin{align*} P(B) & =P(A \cup (A^c \cap B)) \\ & =P(A)+P(A^c \cap B) \\ & \ge P(A) \end{align*}