第4回 確率（4.1–4.4）
これまでの復習
統計学の2つのアプローチ
- 記述統計学：データの整理
- 統計的推測：標本から母集団について推測 → 抽出される標本により結果が変わる → 信頼度の評価が必要
今日のポイント
- 試行において起こりうる結果を標本点，標本点全体の集合を標本空間，標本空間の部分集合を事象という．
- 事象に対して定義され，確率の公理を満たす関数を確率という．
- 確率の公理から確率の性質が導かれる．
1 標本空間と事象（p. 68）
1.1 標本空間（p. 69）
定義 1 結果が偶然に支配される実験を試行という．
例 1 コイントス，サイコロ，電球の寿命，明日の天気．
定義 2 試行において起こりうる結果を標本点という．
定義 3 標本点全体の集合を標本空間という．
例 2 コイントスなら \{H,T\}，サイコロなら \{1,\dots,6\}，電球の寿命なら (0,\infty)．
注釈. 標本点を \omega，標本空間を \Omega で表すことが多い．
1.2 事象（p. 69）
定義 4 標本空間の部分集合を事象という．
例 3 コイントスの事象は \emptyset,\{H\},\{T\},\Omega.
定義 5 空集合の事象を空事象という．
定義 6 標本空間全体の事象を全事象という．
定義 7 ただ1つの標本点から成る事象を根元事象という．
定義 8 複数の標本点から成る事象を複合事象という．
1.3 集合算（p. 73）
ある試行の事象をA,B,Cとする．
定義 9 A \cup B を A と B の和事象という．
注釈. ベン図で表すと
定義 10 A \cap B を A と B の積事象という．
注釈. ベン図で表すと
定義 11 A \cap B=\emptyset なら A と B は排反という．
定義 12 A^c を A の余事象という．
注釈. ベン図で表すと
定理 1 (交換法則) \begin{align*} A \cup B & =B \cup A \\ A \cap B & =B \cap A \end{align*}
定理 2 (結合法則) \begin{align*} (A \cup B) \cup C & =A \cup (B \cup C) \\ (A \cap B) \cap C & =A \cap (B \cap C) \end{align*}
注釈. ベン図で表すと
定理 3 (分配法則) \begin{align*} A \cap (B \cup C) & =(A \cap B) \cup (A \cap C) \\ A \cup (B \cap C) & =(A \cup B) \cap (A \cup C) \end{align*}
注釈. 数の場合は \begin{align*} a \times (b+c) & =(a \times b)+(a \times c) \\ a+(b \times c) & \ne (a+b) \times (a+c) \end{align*}
注釈. ベン図で表すと
定理 4 (ド・モルガンの法則) \begin{align*} (A \cup B)^c & =A^c \cap B^c \\ (A \cap B)^c & =A^c \cup B^c \end{align*}
注釈. 「A または B」でない＝A でなく，かつ B でない． 「A かつ B」でない＝A でないか，または B でない． ベン図で表すと
2 確率（p. 75）
2.1 確率の公理（p. 78）
定義 13 事象に対して定義され，以下の公理を満たす関数 P(.) を確率という．
- 0 \le P(.) \le 1
- P(\Omega)=1
- （\sigma 加法性）A_1,A_2,\dots が排反なら P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\right)=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i)
注釈. 面積・体積・個数などと同じく，集合（事象）の「大きさ」の測度と理解してよい． ただし全体の「大きさ」を1と基準化する点が異なる．
例 4 公正なコイントスなら P(A):=\begin{cases} 0 & \text{for $A=\emptyset$} \\ 1/2 & \text{for $A=\{H\},\{T\}$} \\ 1 & \text{for $A=\Omega$} \\ \end{cases}
2.2 確率の性質（p. 80）
定理 5 P(A)+P(A^c)=1
証明. A と A^c は排反だから \begin{align*} P(A)+P(A^c) & =P(A \cup A^c) \\ & =P(\Omega) \\ & =1 \end{align*}
定理 6 P(\emptyset)=0
証明. A=A \cup \emptyset であり，A と \emptyset は排反だから \begin{align*} P(A) & =P(A \cup \emptyset) \\ & =P(A)+P(\emptyset) \end{align*} 両辺から P(A) を引けば結果が得られる．
定理 7 A \subset B \Longrightarrow P(A) \le P(B)
証明. A \subset B より B=A \cup (A^c \cap B) A と A^c \cap B は排反だから \begin{align*} P(B) & =P(A \cup (A^c \cap B)) \\ & =P(A)+P(A^c \cap B) \\ & \ge P(A) \end{align*}
定理 8 (加法定理) P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)
証明. ベン図より \begin{align*} A \cup B & =(A \cap B) \cup (A \cap B^c) \cup (A^c \cap B) \\ A & =(A \cap B) \cup (A \cap B^c) \\ B & =(A \cap B) \cup (A^c \cap B) \end{align*} A \cap B，A \cap B^c，A^c \cap B は排反だから \begin{align*} P(A \cup B) & =P(A \cap B)+P(A \cap B^c)+P(A^c \cap B) \\ P(A) & =P(A \cap B)+P(A \cap B^c) \\ P(B) & =P(A \cap B)+P(A^c \cap B) \end{align*} したがって \begin{align*} P(A)+P(B) & =2P(A \cap B)+P(A \cap B^c)+P(A^c \cap B) \\ & =P(A \cap B)+P(A \cup B) \end{align*} 式変形より結果が得られる．
まとめ
今日のキーワード
試行， 標本点， 標本空間， 事象（空事象，全事象，根元事象，複合事象，和事象，積事象，排反事象，余事象）， 集合算の法則（交換法則，結合法則，分配法則，ド・モルガンの法則）， 確率の公理， \sigma加法性， 加法定理
次回までの準備