Aula 4: Fundamentos de Séries Temporais

Análise da Dinâmica do PIB Mensal Brasileiro (Proxy IAE-FGV)

1. Introdução

Neste roteiro prático, vamos aplicar os conceitos fundamentais da econometria de séries temporais para analisar uma proxy mensal do Produto Interno Bruto (PIB) do Brasil, o Indicador de Atividade Econômica da FGV (IAE-FGV). Sendo um dado de alta frequência, esta série exibe características temporais complexas (tendência, sazonalidade mensal) que a tornam um excelente objeto de estudo. Nosso objetivo é diagnosticar essas características, entender por que elas são um “problema” para a modelagem tradicional, e aprender como tratá-las adequadamente.

2. Preparação do Ambiente

Carregamos os pacotes que nos darão as ferramentas para baixar, manipular, visualizar e testar os dados.

# Pacote para acessar dados do Banco Central do Brasil
library(rbcb)

# Coleção de pacotes para manipulação e visualização de dados
library(tidyverse)

# Pacote específico para testes de raiz unitária
library(tseries)

3. Aquisição e Análise Inicial dos Dados

Utilizaremos o pacote rbcb para importar a série do PIB mensal (código 4380 no SGS-BCB) a partir de 1996. Para estabilizar a variância da série e para que as diferenças possam ser interpretadas como taxas de crescimento, trabalharemos com o logaritmo natural da série.

# Código da série PIB mensal (proxy) no SGS-BCB
codigo_pib_mensal <- 4380

# Obter a série histórica a partir de 1996
pib_mensal_df <- rbcb::get_series(c(PIB_Mensal = codigo_pib_mensal), start_date = "1996-01-01")

# Calcular o logaritmo natural
pib_mensal_df <- pib_mensal_df %>%
  mutate(log_PIB_Mensal = log(PIB_Mensal))

# Plotar a série do log(PIB_Mensal)
ggplot(pib_mensal_df, aes(x = date, y = log_PIB_Mensal)) +
  geom_line(color = "darkblue", size = 1) +
  labs(
    title = "Logaritmo do PIB Mensal do Brasil (Proxy IAE-FGV)",
    subtitle = "Série observada a valores correntes",
    x = "Ano",
    y = "Log(PIB Mensal)"
  ) +
  theme_minimal()

## Warning: Using `size` aesthetic for lines was deprecated in ggplot2 3.4.0.
## ℹ Please use `linewidth` instead.
## This warning is displayed once every 8 hours.
## Call `lifecycle::last_lifecycle_warnings()` to see where this warning was
## generated.

O gráfico revela uma clara tendência de crescimento ao longo do tempo. A série definitivamente não flutua em torno de uma média constante, o que é um forte indício visual de não-estacionariedade.

4. Decomposição da Série Temporal

Para entender melhor a estrutura dos dados, vamos decompor a série em seus componentes. Uma série temporal \(Y_t\) pode ser vista como a soma de uma tendência (\(T_t\)), um componente sazonal (\(S_t\)), e um componente irregular (\(e_t\)).

\(Y_t = T_t + S_t + e_t\)

• Tendência: O movimento de longo prazo da série.
• Sazonalidade: Flutuações periódicas que ocorrem dentro de um ano. Com dados mensais, esperamos um padrão que se repete a cada 12 meses (ex: Dezembro é tipicamente um mês de alta atividade).
• Irregular (Ruído): Choques não previsíveis.

Para isso, convertemos nossos dados para um objeto ts, informando ao R que se trata de uma série mensal (frequency = 12).

# Converter a série para o formato ts, especificando a frequência MENSAL = 12
log_pib_mensal_ts <- ts(pib_mensal_df$log_PIB_Mensal, start = c(1996, 1), frequency = 12)

# Decompor a série
decomposicao <- decompose(log_pib_mensal_ts)

# Plotar a decomposição
plot(decomposicao)

A análise do gráfico de decomposição agora mostra um rico componente sazonal, com picos e vales que se repetem anualmente, refletindo o ciclo de atividade econômica ao longo do ano. A tendência de longo prazo continua evidente.

5. Estacionariedade e o Teste de Raiz Unitária

5.1. A Importância Crucial da Estacionariedade

(Esta explicação teórica se mantém perfeitamente válida) Uma série é estacionária se suas propriedades estatísticas não mudam ao longo do tempo. Regredir uma série não-estacionária contra outra pode levar a uma regressão espúria: encontrar correlações fortes que são meramente coincidentes, frutos de tendências independentes. Para evitar conclusões falsas, precisamos trabalhar com séries estacionárias. O “problema” que impede isso é a chamada raiz unitária.

5.2. O Teste de Dickey-Fuller Aumentado (ADF)

(Esta explicação teórica se mantém perfeitamente válida) O teste ADF é nossa ferramenta formal para detectar a raiz unitária. As hipóteses são:

• \(H_0\) (Hipótese Nula): A série possui uma raiz unitária (é não-estacionária).
• \(H_1\) (Hipótese Alternativa): A série é estacionária.

Aplicamos o teste à nossa série log_pib_mensal_ts.

# Aplicar o teste ADF simplificado à série em nível
teste_adf_nivel <- tseries::adf.test(log_pib_mensal_ts)

# Exibir o resultado do teste
print(teste_adf_nivel)

## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  log_pib_mensal_ts
## Dickey-Fuller = -1.3535, Lag order = 7, p-value = 0.8496
## alternative hypothesis: stationary

Interpretando o Resultado do Teste ADF

O p-value é alto (muito maior que 0.05). Com um p-valor tão elevado, nós não temos evidências para rejeitar a hipótese nula. Nossa conclusão, portanto, é a mesma de antes: a série do log(PIB Mensal) é não-estacionária.

6. Transformando a Série com Diferenciação

A solução é a diferenciação. A primeira diferença do logaritmo da série \(\Delta \ln(Y_t) = \ln(Y_t) - \ln(Y_{t-1})\), representa a taxa de crescimento mensal da atividade econômica.

# Calcular a primeira diferença da série de log(PIB Mensal)
log_pib_mensal_diff <- diff(log_pib_mensal_ts)

# Plotar a série diferenciada
plot(
  log_pib_mensal_diff,
  main = "Taxa de Crescimento Mensal do PIB (Proxy)",
  ylab = "Variação do Log(PIB Mensal)",
  col = "darkblue"
)
abline(h = 0, col = "red", lty = 2)

A série agora parece flutuar em torno de uma média constante. Vamos aplicar o teste ADF novamente para confirmar.

# Aplicar o teste ADF simplificado à série diferenciada
teste_adf_diff <- tseries::adf.test(log_pib_mensal_diff)

## Warning in tseries::adf.test(log_pib_mensal_diff): p-value smaller than printed
## p-value

# Exibir o resultado
print(teste_adf_diff)

## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  log_pib_mensal_diff
## Dickey-Fuller = -8.8128, Lag order = 7, p-value = 0.01
## alternative hypothesis: stationary

O resultado agora é drasticamente diferente. O p-value é extremamente baixo (reportado como 0.01 na saída, mas na verdade é menor, o que significa p < 0.01). Como este p-valor é muito inferior a 0.05, nós rejeitamos a hipótese nula com forte convicção. Concluímos que a série da taxa de crescimento é estacionária.

7. Funções de Autocorrelação (ACF e PACF)

Com a série estacionária em mãos, investigamos sua estrutura de memória ou dependência temporal. Quão forte é a relação entre o crescimento do PIB hoje e o crescimento em meses passados? Para isso, usamos os correlogramas da FAC e FACP.

7.1. Função de Autocorrelação (FAC ou ACF)

A ACF mede a correlação “total” (direta e indireta) entre a série e suas defasagens. Formalmente, a autocorrelação \(\rho_k\) para uma defasagem (lag) \(k\) é a razão entre a autocovariância no lag \(k\) (\(\gamma_k\)) e a variância da série (\(\gamma_0\)).

\[ \rho_k = \frac{\text{Cov}(Y_t, Y_{t-k})}{\text{Var}(Y_t)} = \frac{\gamma_k}{\gamma_0} \]

O valor de \(\rho_k\) varia entre -1 e 1. Ele nos diz o quão forte é a associação linear entre uma observação e outra ocorrida \(k\) períodos no passado, considerando todos os canais (inclusive o efeito através das observações intermediárias).

7.2. Função de Autocorrelação Parcial (FACP ou PACF)

A PACF mede a correlação “direta” entre a série e uma defasagem, após remover (“parcializar”) o efeito das defasagens intermediárias.

A forma mais intuitiva de entender a PACF é através de modelos autorregressivos. O valor da PACF no lag \(k\), denotado por \(\phi_{kk}\), é o coeficiente estimado para a \(k\)-ésima defasagem em uma regressão da série contra suas \(k\) defasagens:

\[ Y_t = c + \phi_{k1}Y_{t-1} + \phi_{k2}Y_{t-2} + \dots + \mathbf{\phi_{kk}}Y_{t-k} + \epsilon_t \]

Assim, \(\phi_{11}\) é simplesmente a correlação entre \(Y_t\) e \(Y_{t-1}\). Já \(\phi_{22}\) é o coeficiente de \(Y_{t-2}\) em uma regressão de \(Y_t\) contra \(Y_{t-1}\) e \(Y_{t-2}\), capturando a correlação direta entre \(Y_t\) e \(Y_{t-2}\) que não passa através de \(Y_{t-1}\).

7.3. Análise Gráfica dos Correlogramas

Estas ferramentas são essenciais para identificar a estrutura de modelos da classe ARIMA, que veremos futuramente. Vamos agora gerar os gráficos.

# Plotar os correlogramas da série estacionária
par(mfrow = c(1, 2))
acf(log_pib_mensal_diff, main = "ACF do Crescimento do PIB", na.action = na.omit, lag.max = 36)
pacf(log_pib_mensal_diff, main = "PACF do Crescimento do PIB", na.action = na.omit, lag.max = 36)

par(mfrow = c(1, 1))

Interpretando os Correlogramas

As linhas azuis pontilhadas são os limites de significância estatística.

• Autocorrelação Sazonal: No gráfico ACF, observe se há picos significantes em lags que são múltiplos de 12 (12, 24, 36). Isso indica a presença de um padrão sazonal remanescente na série, mesmo após a diferenciação.
• Padrões de Curto Prazo: Analisamos os lags iniciais para identificar a estrutura de dependência de curto prazo. Um corte abrupto no PACF após o lag \(p\) sugere um componente Autoregressivo de ordem \(p\), AR(\(p\)). Um corte abrupto no ACF após o lag \(q\) sugere um componente de Média Móvel de ordem \(q\), MA(\(q\)). Essa análise visual será o ponto de partida da nossa próxima aula de modelagem.