Origen de la distribución

La distribución de Poisson, introducida en 1837 por el matemático francés Siméon-Denis Poisson, es una distribución de probabilidad discreta que describe la ocurrencia de un número determinado de eventos raros dentro de un intervalo fijo de tiempo o espacio, bajo el supuesto de independencia entre los sucesos y una tasa promedio constante. Su aplicación resulta especialmente valiosa en fenómenos poco frecuentes, como llamadas a una central telefónica, llegadas de clientes o defectos en procesos de producción, y constituye un pilar en áreas como la teoría de colas, los procesos de conteo y el análisis de eventos raros.

Características principales

Distribución Poisson (discreta):

\[ f(x) = \frac{\lambda^x}{x!} e^{-\lambda}, \quad x \geq 0 \]

\(E[X] = \lambda\),    \(V[X] = \lambda\)

X : número de eventos que ocurren por unidad de tiempo, longitud, superficie o volumen.
\(\lambda\) : tasa promedio de ocurrencia de eventos por unidad de tiempo, longitud, superficie o volumen.

Propiedad de aditividad:
Si \(X_1 \sim \text{Poisson}(\lambda_1)\) y \(X_2 \sim \text{Poisson}(\lambda_2)\) son independientes, entonces $X_1 + \(X_2 \sim \text{Poisson}(\lambda_1 + \lambda_2)\).

Ejemplo

Enunciado:
Suponga que en una central telefónica se reciben en promedio 4 llamadas por minuto. ¿Cuál es la probabilidad de recibir exactamente 6 llamadas en un minuto? ¿Y cuál es la probabilidad de recibir a lo sumo 6 llamadas?

Solución:
Sea \(X\) el número de llamadas en un minuto, \(X \sim \text{Poisson}(\lambda=4)\).
Buscamos \(P(X=6)\) y \(P(X \leq 6)\).

Probabilidad de recibir exactamente 6 llamadas:

• Cálculo analítico:
  \[ P(X=6) = \frac{4^6 e^{-4}}{6!} \approx 0.104 \]

• Cálculo en R:
  dpois(6, 4)
[1] 0.1041956

Probabilidad de recibir a lo sumo 6 llamadas:

• Cálculo analítico:
  \[ P(X \leq 6) = \sum_{i=0}^{6} \frac{4^i e^{-4}}{i!} \approx 0.889 \]

• Cálculo en R:
  ppois(6, 4)
[1] 0.889326

Generación de 10 valores aleatorios con \(\lambda=4\):

• Cálculo en R:
  rpois(10, 4)
[1] 6 3 6 2 2 2 2 5 2 2

Aplicaciones

La distribución de Poisson es ampliamente utilizada en diversas áreas:

• Ingeniería: Número de defectos en un proceso de manufactura, fallas en sistemas eléctricos por unidad de tiempo.
• Ciencias: Mutaciones en un tramo de ADN, conteo de partículas radiactivas.
• Economía: Llegadas de clientes a un banco o supermercado, ocurrencia de accidentes laborales.
• Salud: Número de pacientes que llegan a urgencias por hora, aparición de enfermedades raras en una población.
• Telecomunicaciones: Llamadas recibidas en un call center por minuto, paquetes de datos en redes.

Relaciones entre distribuciones

• Límite de la Binomial: La Poisson es el límite de la binomial \(B(n, p)\) cuando \(n \to \infty\), \(p \to 0\) y \(np = \lambda\).
• Suma de Poisson: La suma de variables Poisson independientes es también Poisson.
• Relación con la Exponencial: El tiempo entre eventos en un proceso de Poisson sigue una distribución exponencial.
• Aproximación Normal: Para valores grandes de \(\lambda\), la Poisson se puede aproximar por una normal \(N(\lambda, \lambda)\).

Bibliografia

• Ross, S. (2014). Introduction to Probability Models. Academic Press.
  
• Casella, G. & Berger, R. (2002). Statistical Inference. Duxbury.
• Johnson, N.L., Kemp, A.W., & Kotz, S. (2005). Univariate Discrete Distributions. Wiley.
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