Problema 1

Un banco digital está analizando el tiempo de espera (en minutos) que transcurre entre que un cliente inicia una transferencia y el momento en que se acredita en la cuenta destino. Se sabe que el tiempo de acreditación se distribuye de manera uniforme entre 2 y 8 minutos.

T ~ Uniforme (a = 2 minutos, b = 8 minutos)

T = tiempo (horas) hasta que se realiza una compra

1. Grafica la función de densidad (fdp) de la variable aleatoria.

plot(seq(2, 8, 1), dunif(seq(2, 8, 1), 2, 8),
     type= "l", lwd = 3, col = "#3512B0",
     main = "Distribución del Tiempo de Espera de un Cliente", 
     xlab = "Minutos", ylab = "Densidad de Probabildiad")

2. Calcula la probabilidad de que la acreditación sea:

a. Menor a 5 minutos.

P ( T < 5)

punif(5,2,8)
## [1] 0.5

La probabilidad es de 0.5 ~ 50%

b. Mayor a 6 minutos.

P ( T > 6)

1 - punif(6,2,8)
## [1] 0.3333333

La probabilidad es de 0.3333 ~ 33.33%

c. Exactamente 4 minutos.

P ( T = 0)

La probabilidad es de 0.

d. Entre 3 y 7 minutos.

P ( 3 < T < 7)

punif(7,2,8) - punif(3,2,8)
## [1] 0.6666667

La probabilidad es de 0.6667 ~ 66.67%

3. Determina el valor esperado y el desvío estándar del tiempo de acreditación.

E(T)

(2 + 8) / 2
## [1] 5

El Valor Esperado son 5 minutos.

σ

sqrt(((8 - 2)^2)/12)
## [1] 1.732051

El Desvío Estándar es de 1.73 minutos.

Problema 2

Un equipo de Business Intelligence de una empresa de e-commerce estudia el tiempo (en horas) que transcurre entre dos compras sucesivas realizadas en su sitio web. Se ha estimado que en promedio se realiza 1 compra cada 0,5 horas (es decir, 2 compras por hora).

T ~ Exponencial ( µ = 0.5 horas ) T = tiempo (horas) hasta que se realiza una compra

1. Grafica la función de densidad (pdf) de la variable aleatoria.

plot(seq(0, 3, 0.1), dexp(seq(0, 3, 0.1), rate = 1/0.5),
     type= "l", lwd = 3, col = "#121AB0",
     main = "Distribución de Compras",
     xlab = "Horas", ylab = "Densidad de Probabilidad")

2. Calcula la probabilidad de que el tiempo entre compras sea:

a. Menor a 15 minutos.

15 minutos ~ 0.25 horas

P ( T < 0.25)

pexp(0.25, rate = 1/0.5)
## [1] 0.3934693

La probabilidad es de 0.3934 ~ 39.34%

b. Mayor a una hora.

P ( T > 1)

1 - pexp(1, rate = 1/0.5)
## [1] 0.1353353

La probabilidad es de 0.1353 ~ 13.53%

c. Entre 20 y 40 minutos.

20 minutos ~ 0.33 (1/3) horas

40 minutos ~ 0.66 (2/3) horas

P ( 1/3 < T < 2/3 )

pexp(2/3, rate = 1/0.5) - pexp(1/3, rate = 1/0.5)
## [1] 0.24982

La probabilidad es de 0.2498 ~ 24.98%

d. Calcula la probabilidad de que en la próxima hora se registre al menos 1 compra.

P(T < 1)

pexp(1, rate = 1/0.5)
## [1] 0.8646647

La probabilidad es de 0.8646 ~ 86.46%

Otra forma de hacerlo es:

X = número de compras en 1 hora

Mu de X va a ser: 1 compra cada 0.5 horas, en 1 horas cuantas compras esperas. 1 / 0.5 = Mu de x

X ~ Poisson (µ = 1/0.5 = 2)

P ( X ≥ 1 ) = 1 - P ( X < 0 )

1 - ppois(0, 2)
## [1] 0.8646647

e. Calcula la probabilidad de que en la próxima hora se registren más de 3 compras.

P ( X > 3 ) = 1 - P ( X < 3 )

1 - ppois(3, 2)
## [1] 0.1428765

La probabilidad es de 0.1428 ~ 14.28%

3. Determina el valor esperado y el desvío estándar del tiempo entre compras.

Tanto el valor esperado como el desvío estándar coinciden con µ, por lo que:

El Valor Esperado son 0.5 horas.

El Desvío Estándar es de 0.5 horas.