中級統計学：復習テスト2

注意

すべての質問に解答しなければ提出とは認めない．正答に修正した上で，復習テスト1〜8を順に重ねて左上でホチキス止めし，第1回中間試験実施日（10月24日の予定）に提出すること．

1. 棒グラフとヒストグラム（柱状グラフ）の違いを説明しなさい．

2. ヒストグラムと累積相対度数グラフの長所・短所を説明しなさい．

3. データ (0,0,1,1,2,2,3,3,4,4) のローレンツ曲線を描きなさい．

4. （教科書 pp. 32–33 参照）データ (1,1,1,1,2,3,4,5,16,20) の平均・中位数・最頻値を求めなさい．

解答例

1. 棒グラフは横軸が分類を表し，柱の高さで（相対）度数を表す．ヒストグラムは横軸が数値を表し，柱の面積で（相対）度数を表す．

2. • ヒストグラム
     • 長所：度数の大小が把握しやすい．
     • 短所：適切な階級の取り方が難しい．
   • 累積相対度数グラフ
     • 長所：分位数を読み取るのに適しており，階級が細かいほど滑らかなグラフとなる．
     • 短所：度数の大小が把握しにくい．

3. ローレンツ曲線をL(.)とすると

値	度数	累積度数	累積相対度数	観測値の和	観測値の累積和	L(p)
0	2	2	0.2	0	0	0.0
1	2	4	0.4	2	2	0.1
2	2	6	0.6	4	6	0.3
3	2	8	0.8	6	12	0.6
4	2	10	1.0	8	20	1.0

L(.)を図示すると

4. 平均 5.4 ，中位数 2.5 ，最頻値 1

2. （教科書 p. 38 参照）データを (x_1,\dots,x_n) とする．

1. y_i:=a+bx_i と一次変換すると， \begin{align*} \mu_y & =a+b\mu_x \\ \sigma_y^2 & =b^2\sigma_x^2 \end{align*} となることを示しなさい．ただし \mu_x,\mu_y は平均，\sigma_x^2,\sigma_y^2 は分散を表す．

2. 上の結果を利用して，z_i:=(x_i-\mu_x)/\sigma_x と標準化すると，平均が 0 ，分散が 1 となることを示しなさい．（ヒント：z_i=-\mu_x/\sigma_x+(1/\sigma_x)x_i と書ける．）

解答例

\begin{align*} \mu_y & :=\frac{y_1+\dots+y_n}{n} \\ & =\frac{(a+bx_1)+\dots+(a+bx_n)}{n} \\ & =\frac{(a+\dots+a)+(bx_1+\dots+bx_n)}{n} \\ & =\frac{na+b(x_1+\dots+x_n)}{n} \\ & =a+b\frac{x_1+\dots+x_n}{n} \\ & =a+b\mu_x \\ \sigma_y^2 & :=\frac{(y_1-\mu_y)^2+\dots+(y_n-\mu_y)^2}{n} \\ & =\frac{[(a+bx_1)-(a+b\mu_x)]^2+\dots+[(a+bx_n)-(a+b\mu_x)]^2}{n} \\ & =\frac{(bx_1-b\mu_x)^2+\dots+(bx_n-b\mu_x)^2}{n} \\ & =\frac{[b(x_1-\mu_x)]^2+\dots+[b(x_n-\mu_x)]^2}{n} \\ & =\frac{b^2(x_1-\mu_x)^2+\dots+b^2(x_n-\mu_x)^2}{n} \\ & =b^2\frac{(x_1-\mu_x)^2+\dots+(x_n-\mu_x)^2}{n} \\ & =b^2\sigma_x^2 \end{align*}

2. z_i:=(x_i-\mu_x)/\sigma_x=-\mu_x/\sigma_x+(1/\sigma_x)x_i と書けるから，a=-\mu_x/\sigma_x ，b=1/\sigma_x と置くと， \begin{align*} \mu_z & =a+b\mu_x \\ & =-\frac{\mu_x}{\sigma_x}+\frac{1}{\sigma_x}\mu_x \\ & =0 \\ \sigma_z^2 & =b^2\sigma_x^2 \\ & =\left(\frac{1}{\sigma_x}\right)^2\sigma_x^2 \\ & =1 \end{align*}