Introducción

El modelo geométrico de Pascal (también conocido como triángulo de Pascal) es uno de los modelos numéricos más famosos en la Historia de la Matemática; ofrece una notable correspondencia entre su simple construcción, los coeficientes del desarrollo del binomio de Newton y los relevantes conceptos de combinaciones y variaciones del Análisis Combinatorio y el Cálculo de Probabilidades (Solaeche, 1998).

Origen

El Triángulo de Pascal tiene raíces en diversas culturas antiguas. Ya en el siglo XII, el matemático chino Chia Hsien lo describía como un sistema para calcular coeficientes binomiales. En esa misma época, el persa Omar Khayyam también lo estudió, inspirado en fuentes chinas e indias. Posteriormente, aparece en la obra de Liu Ju-Hsien (siglo XIII), y de manera más clara en el tratado Espejo Precioso de los Cuatro Elementos (1303) de Chu Shih Chieh. En el siglo XV, el astrónomo al-Kāshī lo vinculó al desarrollo binomial en el observatorio de Samarkanda. Ya en Europa, el alemán Michael Stifel lo difundió en Arithmetica integra (1544), seguido por Niccolò Tartaglia con su General trattato di numeri et misure (1556–1560). Finalmente, el francés Blaise Pascal en 1653 formalizó su relación con el Teorema del Binomio, aportando nuevas propiedades y aplicaciones en combinatoria y probabilidad en su Tratado del triángulo aritmético. Desde 1886, gracias al matemático escocés George Chrystal, recibe el nombre con el que hoy lo conocemos: Triángulo de Pascal.

¿Cómo funciona?

Los números se disponen en forma triangular, con unos (1) en el vértice y en los lados. Cada término interno surge de la suma de los dos superiores. El triángulo es indefinido, presenta simetría bilateral y sus filas, columnas y diagonales se cuentan desde cero, de arriba hacia abajo y de izquierda a derecha (Solaeche, 1998).

Propiedades

• El término situado en la fila n y la columna m es el número \(\binom{n}{m}\).
• Los unos en el vértice superior (o fila cero) y en los lados adyacentes son fácilmente verificables mediante

\[ \binom{n}{n} = \binom{n}{0} = \binom{0}{0} = 1, \quad \text{para todo } n \geq 0. \]

• La simetría bilateral se expresa mediante la relación

\[ \binom{n}{m} = \binom{n}{\,n-m} \] que expresa la igualdad de los números colocados simétricamente respecto del eje de simetría del triángulo. Todas las filas son simétricas respecto a dicho eje, pues la propiedad de simetría se conserva al pasar de una fila a otra.

• La n-ésima fila contiene n + 1 términos.
• La diagonal nula da el equivalente en el espacio cero y sólo puede concebirse como formada por un vértice en el que aparece el número 1.
• La primera diagonal está formada exclusivamente por unos (1).
• La segunda diagonal está formada por los números naturales.
• La tercera diagonal proporciona los números triangulares 1, 3, 6, 10, 15, …
  Estos representan el cardinal de un conjunto de puntos que forman una disposición triangular con n puntos por lado en el plano bidimensional. Cada número triangular se obtiene a partir del anterior sumándole el número de términos anteriores, incluyendo el mismo.
• La expresión del n-ésimo número triangular
  \[{n+1 \choose 2}\] indica cuántos términos del Triángulo de Pascal contienen sus n primeras filas, desde la fila 0 hasta la fila n − 1.
• La cuarta diagonal contiene los números tetraédricos o piramidales: 1, 4, 10, 20, 35, …
  Estos se obtienen sumando triángulos sucesivos en el espacio tridimensional.

  (Solaeche, 1998)

Características principales

• f(x): Cada número dentro del triángulo corresponde a un coeficiente binomial, expresado como \[ f(n,m) = \binom{n}{m} = \frac{n!}{m!(n-m)!} \] donde 𝑛 es la fila y 𝑚 la columna.
• F(x): Puede interpretarse como la suma acumulada de coeficientes en una fila: \[ F(n) = \sum_{m=0}^{n} \binom{n}{m} = 2^n \] Es decir, la suma de todos los elementos de la fila 𝑛 es 2𝑛.
• E[X] (Esperanza): Si se interpreta una fila 𝑛 como la distribución binomial B(n,1/2), entonces: \[ E[X] = n \cdot p = \frac{n}{2} \]
• V[X] (Varianza): En la misma interpretación binomial: \[ V[X] = n \cdot p \cdot (1-p) = \frac{n}{4} \]
• Representación gráfica: Disposición triangular de los coeficientes binomiales. Simetría bilateral respecto al eje vertical. Cada fila corresponde a las potencias sucesivas del binomio (a+b)^n \[ (a+b)^n = \sum_{m=0}^{n} \binom{n}{m} a^{n-m} b^m \] También se puede observar la representación gráfica de los coeficientes binomiales con índice menor o igual a 5 en la sección de ¿Cómo funciona?

  (Mata, 2019)

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