中級統計学：復習テスト3

注意

すべての質問に解答しなければ提出とは認めない．正答に修正した上で，復習テスト1〜8を順に重ねて左上でホチキス止めし，第1回中間試験実施日（10月24日の予定）に提出すること．

1. 1変量データ (x_1,\dots,x_n) の平均を \mu，分散を \sigma^2 とする．

1. \sigma^2 の定義を式で書きなさい．

2. \sigma^2 が次のようにも書けることを示しなさい． \sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i^2-\mu^2 注：\sum_{i=1}^nx_i^2:=x_1^2+\dots+x_n^2

解答例

\sigma^2:=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2

\begin{align*} \sigma^2 & :=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2 \\ & =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\left(x_i^2-2x_i\mu+\mu^2\right) \\ & =\frac{1}{n}\left[ \left(x_1^2-2x_1\mu+\mu^2\right)+\dots+\left(x_n^2-2x_n\mu+\mu^2\right) \right] \\ & =\frac{1}{n} \left(x_1^2+\dots+x_n^2-2x_1\mu-\dots-2x_n\mu+\mu^2+\dots+\mu^2\right) \\ & =\frac{1}{n} \left(\sum_{i=1}^nx_i^2-\sum_{i=1}^n2x_i\mu+\sum_{i=1}^n\mu^2\right) \\ & =\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^nx_i^2-2\sum_{i=1}^nx_i\mu+n\mu^2\right) \\ & =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i^2-\frac{2}{n}\sum_{i=1}^nx_i\mu+\mu^2 \\ & =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i^2 -2\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i\right)\mu+\mu^2 \\ & =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i^2-2\mu^2+\mu^2 \\ & =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i^2-\mu^2 \end{align*}

2. 2変量データ ((x_1,y_1),\dots,(x_n,y_n)) の平均を \mu_x,\mu_y，分散を \sigma_x^2,\sigma_y^2，共分散を \sigma_{xy}，相関係数を \rho_{xy} とする．

1. \sigma_{xy} の定義を式で書きなさい．

2. \sigma_{xy} が次のようにも書けることを示しなさい． \sigma_{xy}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_iy_i-\mu_x\mu_y 注：\sum_{i=1}^nx_iy_i:=x_1y_1+\dots+x_ny_n

3. \rho_{xy} の定義を式で書きなさい．

4. \rho_{xy} が次のように書けることを示しなさい． \rho_{xy}=\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x\sigma_y}

解答例

\sigma_{xy}:=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu_x)(y_i-\mu_y)

\begin{align*} \sigma_{xy} & :=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu_x)(y_i-\mu_y) \\ & =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_iy_i-x_i\mu_y-\mu_xy_i+\mu_x\mu_y) \\ & =\frac{1}{n}\left( \sum_{i=1}^nx_iy_i-\sum_{i=1}^nx_i\mu_y-\mu_x\sum_{i=1}^ny_i+n\mu_x\mu_y \right) \\ & =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_iy_i-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i\mu_y -\mu_x\frac{1}{n}\sum_{i=1}^ny_i+\mu_x\mu_y \\ & =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_iy_i-\mu_x\mu_y-\mu_x\mu_y+\mu_x\mu_y \\ & =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_iy_i-\mu_x\mu_y \end{align*}

\begin{align*} \rho_{xy} & :=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\left( \frac{x_i-\mu_x}{\sigma_x}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\frac{x_i-\mu_x}{\sigma_x} \right)\left( \frac{y_i-\mu_y}{\sigma_y}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\frac{y_i-\mu_y}{\sigma_y} \right) \\ & =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\frac{x_i-\mu_x}{\sigma_x}\frac{y_i-\mu_y}{\sigma_y} \end{align*}

\begin{align*} \rho_{xy} & =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\frac{x_i-\mu_x}{\sigma_x}\frac{y_i-\mu_y}{\sigma_y} \\ & =\frac{(1/n)\sum_{i=1}^n(x_i-\mu_x)(y_i-\mu_y)}{\sigma_x\sigma_y} \\ & =\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x\sigma_y} \end{align*}