第3回 2変量データの整理（3.1–3.3.5）
注意
- 3.3.6節の時系列データは扱わない（ 「数理統計学」と「時系列解析」の方法論は異なる）．
- 3.4節の回帰分析は13章で扱うので今回は飛ばす．
今日のポイント
- 2変量データの度数分布表を分割表という．量的な2変量データは散布図に表せる．
- 2つの変量の関係の強さは（積率）相関係数，2つの順位の関係の強さは順位相関係数で表す．
- 相関は必ずしも因果関係を意味しない．因果関係のない相関を見かけ上の相関という．
1 散布図（p. 43）
定義 1 2変量データを xy 平面上の座標で表した図を散布図という．
注釈. 量的変量に用いる．
注釈. 散布図から2変量の関係（相関関係）が読み取れる（図 1）．
例 1 某大学1年生の英語と数学の入試成績（図 2）．
2 分割表（p. 45）
定義 2 2変量データの度数分布表を分割（クロス）表という．
注釈. 相対度数は縦比・横比でみることもできる．
例 2 東大（学部・院）の学生構成（表 1）．
| 日本人 | 留学生 | 計 | |
|---|---|---|---|
| 学部 | 14,871 | 96 | 14,967 |
| 学部研究生 | 252 | 17 | 269 |
| 修士 | 2,415 | 274 | 2,689 |
| 博士 | 2,002 | 620 | 2,622 |
| 院研究生 | 143 | 454 | 597 |
| 計 | 19,683 | 1,461 | 21,144 |
| 日本人 | 留学生 | 計 | |
|---|---|---|---|
| 学部 | 70.3 | 0.5 | 70.8 |
| 学部研究生 | 1.2 | 0.1 | 1.3 |
| 修士 | 11.4 | 1.3 | 12.7 |
| 博士 | 9.5 | 2.9 | 12.4 |
| 院研究生 | 0.7 | 2.1 | 2.8 |
| 計 | 93.1 | 6.9 | 100.0 |
| 日本人 | 留学生 | 計 | |
|---|---|---|---|
| 学部 | 75.6 | 6.6 | 70.8 |
| 学部研究生 | 1.3 | 1.2 | 1.3 |
| 修士 | 12.3 | 18.8 | 12.7 |
| 博士 | 10.2 | 42.4 | 12.4 |
| 院研究生 | 0.7 | 31.1 | 2.8 |
| 計 | 100.0 | 100.0 | 100.0 |
| 日本人 | 留学生 | 計 | |
|---|---|---|---|
| 学部 | 99.4 | 0.6 | 100.0 |
| 学部研究生 | 93.7 | 6.3 | 100.0 |
| 修士 | 89.8 | 10.2 | 100.0 |
| 博士 | 76.4 | 23.6 | 100.0 |
| 院研究生 | 24.0 | 76.0 | 100.0 |
| 計 | 93.1 | 6.9 | 100.0 |
定義 3 （該当数）／（非該当数）を該当／非該当のオッズという．
注釈. （該当率）／（非該当率）と同じ．該当率を p とすると p/(1-p)．
例 3 検査の陽性率が p なら陽性／陰性のオッズは p/(1-p)．
定義 4 2群のオッズの比をオッズ比という．
例 4 処置群・対照群の陽性率が p,q なら各群の陽性／陰性のオッズは p/(1-p)と q/(1-q)． したがってオッズ比は [p/(1-p)]/[q/(1-q)]（表 2）．
| 陽性 | 陰性 | 計 | オッズ | |
|---|---|---|---|---|
| 処置群 | p | 1-p | 1 | p/(1-p) |
| 対照群 | q | 1-q | 1 | q/(1-q) |
3 相関係数（p. 47）
3.1 共分散（p. 49）
2変量データを ((x_1,y_1),\dots,(x_n,y_n)) とする．
定義 5 各変量の平均からの偏差の積の平均を共分散という．
注釈. 式で表すと \sigma_{xy}:=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu_x)(y_i-\mu_y)
注釈. x_i が大きいと y_i も大きいなら共分散は正，x_i が大きいと y_i は小さいなら共分散は負，「無関係」なら0となる．
3.2 標準化（p. 39）
定義 6 変量の値から平均を引き，標準偏差で割る変換を標準化という．
注釈. 式で表すと z_i:=\frac{x_i-\mu_x}{\sigma_x}
注釈. 標準化した変量の平均は0，分散は1となる．
3.3 （積率）相関係数（p. 48）
定義 7 標準化した2変量の共分散を（ピアソンの積率）相関係数という．
注釈. 式で表すと \begin{align*} \rho_{xy} & =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\frac{x_i-\mu_x}{\sigma_x}\frac{y_i-\mu_y}{\sigma_y} \\ & =\frac{(1/n)\sum_{i=1}^n(x_i-\mu_x)(y_i-\mu_y)}{\sigma_x\sigma_y} \\ & =\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x\sigma_y} \end{align*}
注釈. 「関係」が強いほど1か-1に近くなる．
3.4 順位相関係数（p. 54）
順位を表す2変量の相関を定義する．
定義 8 順位の（積率）相関係数をスピアマンの順位相関係数という．
定理 1 2変量データ ((x_1,y_1),\dots,(x_n,y_n)) が順位を表すなら \rho_{xy}=1-\frac{6}{(n-1)n(n+1)}\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2
証明. 省略．
注釈. x_1=y_1, \dots, x_n=y_n なら \rho_{xy}=1．
定義 9 ケンドールの順位相関係数は \tau_{xy} :=\frac{\sum_{i=2}^n\sum_{j=1}^{i-1}\operatorname{sgn}(x_i-x_j)\operatorname{sgn}(y_i-y_j)}{{}_nC_2}]
注釈. \operatorname{sgn}(.)は符号関数． すなわち \operatorname{sgn}(x):=\begin{cases} -1 & \text{for $x<0$} \\ 0 & \text{for $x=0$} \\ 1 & \text{for $x>0$} \\ \end{cases}
注釈. 2つの観測値 (x_i,y_i)，(x_j,y_j) を取り出したとき， 「x_i>x_j だと y_i>y_j」なら順位相関係数は正， 「x_i>x_j だと y_i<y_j」なら順位相関係数は負となる．
3.5 相関と因果（p. 50）
2変量が相関をもつ理由は2つ考えられる．
定義 10 原因と結果の関係を因果関係という．
例 5 身長→体重（？），年齢→血圧，所得→消費，人口→商店数．
定義 11 因果関係のない相関を見かけ上の相関という．
注釈. 2変量の原因となる第3の変量が存在する場合に生じる．
例 6 数学と理科の成績（？），飲食店数と金融機関店舗数．
まとめ
今日のキーワード
散布図， 分割表， オッズ， オッズ比， 共分散， 標準化， （積率）相関係数， 順位相関係数（スピアマン，ケンドール）， 因果関係， 見かけ上の相関
次回までの準備