Tugas TPG

1 Menyiapkan Lingkungan

library(MVTests)    # OneSampleHT2

## Warning: package 'MVTests' was built under R version 4.4.3

## 
## Attaching package: 'MVTests'

## The following object is masked from 'package:datasets':
## 
##     iris

library(Hotelling)  # hotelling.test untuk 2-sample

## Loading required package: corpcor

library(MVN)        # pemeriksaan normalitas multivariat (opsional)

## Warning: package 'MVN' was built under R version 4.4.3

2 Perbandingan Dua Vektor Nilai Tengah Sampel Berpasangan

Kasus A (paired): Evaluasi Intervensi Pembelajaran pada 30 mahasiswa. Dua indikator diukur sebelum dan sesudah: Vocab Score (skor kosa kata) dan Grammar Score (skor tata bahasa). Analisis apakah rata-rata perubahan (post − pre) pada kedua indikator berbeda dari nol secara multivariat (paired Hotelling T²).

2.1 Membangkitkan data sesuai NIM

set.seed(1090)
n = 30
pre_vocab    = rnorm(n, mean = 70, sd = 8)
post_vocab   = pre_vocab + rnorm(n, mean = 3.5, sd = 6)
pre_grammar  = rnorm(n, mean = 65, sd = 10)
post_grammar = pre_grammar + rnorm(n, mean = 2.0, sd = 7)

paired_data = data.frame(
  pre_vocab = pre_vocab,
  pre_grammar = pre_grammar,
  post_vocab = post_vocab,
  post_grammar = post_grammar
)

paired_data

##    pre_vocab pre_grammar post_vocab post_grammar
## 1   77.18196    50.84890   75.50695     60.64379
## 2   73.10376    70.07774   74.38475     67.88277
## 3   74.13816    78.89827   88.73572     63.77087
## 4   65.01245    61.88441   68.20452     68.49567
## 5   65.37584    62.82074   73.84853     65.66938
## 6   64.91233    56.37798   70.94242     61.67582
## 7   63.71890    59.09534   66.01359     57.75815
## 8   67.41605    61.15734   77.83559     57.02356
## 9   67.72266    57.30812   72.50419     63.88076
## 10  60.70177    83.67862   62.90334     91.77928
## 11  83.41712    64.02156   87.28443     62.92702
## 12  64.73610    54.74243   66.70234     56.74651
## 13  50.71791    57.91248   53.01941     61.38923
## 14  87.04831    84.05751   83.62120     92.56269
## 15  65.07411    67.70982   66.65671     82.30317
## 16  62.45229    85.18534   70.82461     89.87865
## 17  78.97607    64.72385   93.82860     57.55626
## 18  72.95628    70.61487   79.56147     67.94718
## 19  85.68471    58.65849   97.18971     51.84119
## 20  73.88657    63.36536   76.74075     59.52770
## 21  76.76474    70.56115   76.73815     75.62066
## 22  69.21405    73.35220   86.26261     74.90950
## 23  79.99606    58.45988   78.83379     73.60051
## 24  73.27583    64.45651   78.00180     67.34333
## 25  68.17264    91.55845   73.71947     97.60930
## 26  68.09586    59.08298   70.86526     56.42601
## 27  91.52704    71.48786   81.34837     79.48181
## 28  70.20879    53.09069   84.78909     57.63369
## 29  70.08932    51.43392   70.10330     60.11073
## 30  76.49248    59.58294   87.24836     50.24390

2.2 Hitung selisih (post-pre) untuk tiap metrik

d_vocab = paired_data$post_vocab - paired_data$pre_vocab
d_grammar = paired_data$post_grammar - paired_data$pre_grammar
X_paired = data.frame(d_vocab, d_grammar)

2.3 Rataan vektor dan matriks kovarians selisih

xbar_p = apply(X_paired, 2, mean)
cov_p  = cov(X_paired)
n_p = nrow(X_paired)

xbar_p

##   d_vocab d_grammar 
##  4.871628  2.267778

cov_p

##             d_vocab d_grammar
## d_vocab    36.66519 -25.18874
## d_grammar -25.18874  47.70832

Interpretasi Hasil:

d_vocab = 4.87 → rata-rata skor vocabulary setelah – sebelum naik cukup besar.
d_grammar = 2.27 → grammar juga naik, tapi lebih kecil dibanding vocab.
Varians d_vocab = 36.67, varians d_grammar = 47.71 → penyebaran nilai grammar lebih besar.
Kovarians = -25.19 → ada hubungan negatif, artinya kalau selisih vocabulary tinggi, biasanya selisih grammar cenderung rendah (trade-off).

2.4 Uji One-Sample Hotelling T^2 (H0: mean diference = (0,0))

mean0 = c(0,0)
res_paired = OneSampleHT2(X_paired, mu0 = mean0, alpha = 0.05)
summary(res_paired)

##        One Sample Hotelling T Square Test 
## 
## Hotelling T Sqaure Statistic = 50.52301 
##  F value = 24.39 , df1 = 2 , df2 = 28 , p-value: 7.36e-07 
## 
##                    Descriptive Statistics
## 
##         d_vocab d_grammar
## N     30.000000 30.000000
## Means  4.871628  2.267778
## Sd     6.055179  6.907121
## 
## 
##                  Detection important variable(s)
## 
##               Lower    Upper Mu0 Important Variables?
## d_vocab    1.963593 7.779663   0               *TRUE*
## d_grammar -1.049407 5.584963   0                FALSE

Interpretasi Hasil:

Hasilnya menolak H0 → minimal ada satu komponen mean yang beda signifikan dari nol.
Jadi, secara multivariat, ada bukti signifikan bahwa skor setelah – sebelum tidak sama dengan nol.

2.5 Selang Kepercayaan Simultan

res_paired$CI

##               Lower    Upper Mu0 Important Variables?
## d_vocab    1.963593 7.779663   0               *TRUE*
## d_grammar -1.049407 5.584963   0                FALSE

2.6 Selang Kepercayaan Bonferroni

bon = function(mu, S, n, alpha, k){
  p = length(mu)
  lower = mu[k] - sqrt(S[k,k]/n) * abs(qt(alpha/(2*p), df=n-1))
  upper = mu[k] + sqrt(S[k,k]/n) * abs(qt(alpha/(2*p), df=n-1))
  c(lower = lower, upper = upper)
}
# CI Bonferroni untuk d_vocab (k=1) dan d_grammar (k=2)
bon(xbar_p, cov_p, n_p, 0.05, 1)

## lower.d_vocab upper.d_vocab 
##      2.258350      7.484905

bon(xbar_p, cov_p, n_p, 0.05, 2)

## lower.d_grammar upper.d_grammar 
##      -0.7131784       5.2487346

Interpretasi Hasil:

Untuk d_vocab:

CI Simultan: (1.96, 7.78) → seluruh interval > 0.
CI Bonferroni: (2.26, 7.48) → juga seluruh interval > 0. Jadi peningkatan vocabulary signifikan positif.

Untuk d_vocab:

CI Simultan: (-1.05, 5.58).
CI Bonferroni: (-0.71, 5.25). Interval mencakup 0 → artinya peningkatan grammar tidak signifikan.

Insight:

Program/intervensi yang diuji efektif meningkatkan vocabulary, terbukti signifikan.
Untuk grammar, meskipun ada kenaikan rata-rata, secara statistik belum bisa dipastikan signifikan → mungkin karena variasi yang besar (lihat varians grammar yang tinggi) atau ukuran sampel yang terbatas.
Korelasi negatif antara dua selisih ini juga menarik karena bisa jadi peserta fokus ke vocabulary sehingga grammar relatif kurang meningkat.

3 Perbandingan Dua Vektor Nilai Tengah Sampel Saling Bebas Ragam Sama

Kasus B (independent, var sama): Bandingkan dua metode pengajaran (Online vs Offline) pada dua kemampuan: StatSkill dan ProgSkill. Kita anggap ragam sama (gunakan pooled S).

3.1 Membangkitkan data dengan NIM

set.seed(1090) 

n1 = 28  
n2 = 30

stat_online = rnorm(n1, mean = 75, sd = 7)
prog_online = rnorm(n1, mean = 70, sd = 8)

stat_offline = rnorm(n2, mean = 78, sd = 7)
prog_offline = rnorm(n2, mean = 73, sd = 8)

data_online = data.frame(StatSkill = stat_online, ProgSkill = prog_online)
data_offline = data.frame(StatSkill = stat_offline, ProgSkill = prog_offline)

summary(data_online)

##    StatSkill       ProgSkill    
##  Min.   :58.13   Min.   :60.76  
##  1st Qu.:70.68   1st Qu.:68.19  
##  Median :74.75   Median :70.29  
##  Mean   :76.30   Mean   :72.14  
##  3rd Qu.:81.01   3rd Qu.:76.49  
##  Max.   :93.84   Max.   :88.06

summary(data_offline)

##    StatSkill       ProgSkill    
##  Min.   :62.04   Min.   :53.43  
##  1st Qu.:73.64   1st Qu.:67.67  
##  Median :77.09   Median :73.49  
##  Mean   :78.99   Mean   :72.51  
##  3rd Qu.:83.37   3rd Qu.:78.05  
##  Max.   :96.59   Max.   :88.02

3.2 Rataan dan kovarian tiap grup

xbar1 = apply(data_online, 2, mean)
xbar2 = apply(data_offline, 2, mean)
S1 = cov(data_online)
S2 = cov(data_offline)

xbar1; xbar2

## StatSkill ProgSkill 
##  76.29651  72.13875

## StatSkill ProgSkill 
##  78.99313  72.50763

S1; S2

##           StatSkill ProgSkill
## StatSkill 61.138311  6.039652
## ProgSkill  6.039652 45.874783

##           StatSkill ProgSkill
## StatSkill 64.866945 -5.883617
## ProgSkill -5.883617 61.219167

S_pooled = ((n1-1)*S1 + (n2-1)*S2) / (n1 + n2 - 2)
S_pooled

##           StatSkill ProgSkill
## StatSkill 63.069211 -0.134898
## ProgSkill -0.134898 53.820982

Interpretasi Hasil:

Rataan Tiap Grup

Grup 1 → StatSkill = 76.30, ProgSkill = 72.14
Grup 2 → StatSkill = 78.99, ProgSkill = 72.51 Perbedaan rata-rata:
StatSkill: 76.30 vs 78.99 → selisih ≈ -2.7 (grup 2 sedikit lebih tinggi).
ProgSkill: 72.14 vs 72.51 → selisih ≈ -0.37 (nyaris sama).

Matriks Kovarians:

Varian StatSkill sekitar 61–65, varian ProgSkill sekitar 46–61 → penyebaran mirip.
Kovarians relatif kecil (positif di grup 1, negatif di grup 2, hampir 0 di pooled).

Jadi asumsi “ragam sama” wajar dipakai, karena varian kedua grup tidak terlalu berbeda jauh.

3.3 Hotelling T2 (var.equal = TRUE)

t2_homogen = hotelling.test(data_online, data_offline, var.equal = TRUE)
t2_homogen

## Test stat:  1.7076 
## Numerator df:  2 
## Denominator df:  55 
## P-value:  0.4378

Interpretasi Hasil:

Statistik uji = 1.7076, p-value = 0.4378.
Karena p-value > 0.05 → tidak ada perbedaan signifikan multivariat antara dua grup pada mean vector (StatSkill & ProgSkill).
Artinya, secara keseluruhan, performa kedua grup tidak berbeda signifikan.

3.4 Selang Kepercayaan Simultan (fungsi berdasarkan F)

T.ci = function(mu1, mu2, S_gab, n1, n2, avec = rep(1, length(mu1)), level = 0.95){
  p = length(mu1)
  mu = mu1 - mu2
  cval = qf(level, p, n1 + n2 - p - 1) * p * (n1 + n2 - 2) / (n1 + n2 - p - 1)
  zhat = crossprod(avec, mu)
  zvar = crossprod(avec, S_gab %*% avec) * (1/n1 + 1/n2)
  const = sqrt(cval * zvar)
  c(lower = zhat - const, upper = zhat + const)
}

3.5 CI simultan untuk tiap komponen

# Komponen 1: StatSkill
T.ci(xbar1, xbar2, S_pooled, n1, n2, avec = c(1, 0), level = 0.95)

##     lower     upper 
## -7.994440  2.601198

# Komponen 2: ProgSkill
T.ci(xbar1, xbar2, S_pooled, n1, n2, avec = c(0, 1), level = 0.95)

##     lower     upper 
## -5.262890  4.525116

3.6 CI Bonferroni

bon2 = function(mu1, mu2, S, n1, n2, alpha, k){
  p = length(mu1)
  mu = mu1 - mu2
  se = sqrt(S[k,k] * (1/n1 + 1/n2))
  lower = mu[k] - se * abs(qt(alpha/(2*p), df = n1 + n2 - 2))
  upper = mu[k] + se * abs(qt(alpha/(2*p), df = n1 + n2 - 2))
  ci = c(lower = lower, upper = upper)
  names(ci) = c("lower","upper")
  ci
}

### Bonferroni CI
bon2(xbar1, xbar2, S_pooled, n1, n2, 0.05, 1)

##     lower     upper 
## -7.503112  2.109870

bon2(xbar1, xbar2, S_pooled, n1, n2, 0.05, 2)

##     lower     upper 
## -4.809012  4.071238

Interpretasi Hasil:

Untuk StatSkill:

CI Simultan: (-7.99, 2.60) → mencakup 0 → tidak signifikan.
CI Bonferroni: (-7.50, 2.11).

Untuk ProgSkill:

CI Simultan: (-5.26, 4.53) → juga mencakup 0 → tidak signifikan.
CI Bonferroni: (-4.81, 4.07).

Insight:

Perbedaan rata-rata StatSkill dan ProgSkill antar dua grup tidak signifikan secara statistik.
Meski secara deskriptif grup 2 punya nilai StatSkill sedikit lebih tinggi, bukti statistik tidak cukup untuk menyatakan ada perbedaan nyata.

4 Perbandingan Dua Vektor Nilai Tengah Sampel Saling Bebas Ragam Tidak Sama

Kasus C (independent, var tidak sama): Bandingkan dua grup lain dengan variansi berbeda misal Metode A vs Metode B pada dua skor yang berbeda, tanpa asumsi homogenitas.

4.1 Membangkitkan data dengan NIM

set.seed(1090)
m = 32; # ukuran grup A
k = 26; # ukuran grup B

# Buat S1 dan S2 berbeda (sd berbeda) sehingga ragam tak sama
stat_A = rnorm(m, mean = 80, sd = 6)   # grup A lebih konsisten
prog_A = rnorm(m, mean = 76, sd = 6)
data_A = data.frame(StatSkill = stat_A, ProgSkill = prog_A)

stat_B = rnorm(k, mean = 76, sd = 10)  # grup B lebih variatif
prog_B = rnorm(k, mean = 72, sd = 12)
data_B = data.frame(StatSkill = stat_B, ProgSkill = prog_B)

4.2 Rataan & kovarian

xbarA = apply(data_A, 2, mean)
xbarB = apply(data_B, 2, mean)
S_A = cov(data_A)
S_B = cov(data_B)
xbarA; xbarB

## StatSkill ProgSkill 
##  80.89558  77.54901

## StatSkill ProgSkill 
##  76.55755  72.27419

S_A; S_B

##            StatSkill  ProgSkill
## StatSkill 41.1973448  0.4333286
## ProgSkill  0.4333286 37.6016291

##           StatSkill ProgSkill
## StatSkill 112.75977  23.90728
## ProgSkill  23.90728 137.47349

Interpretasi Hasil:

Rataan Tiap Grup

Grup 1 → StatSkill = 80.90, ProgSkill = 77.55
Grup 2 → StatSkill = 76.56, ProgSkill = 72.27

Secara deskriptif, grup 1 lebih tinggi di kedua keterampilan (StatSkill selisih ≈ +4.34, ProgSkill selisih ≈ +5.28).

Matriks kovarian

Grup 1: var(StatSkill) = 41.20, var(ProgSkill) = 37.60, kovarians ≈ 0.43 → relatif stabil & seimbang.
Grup 2: var(StatSkill) = 112.76, var(ProgSkill) = 137.47, kovarians = 23.91 → penyebaran jauh lebih besar.

Jadi asumsi ragam tidak sama wajar karena varian grup 2 jauh lebih besar.

4.3 Hotelling T2 (var.equal = FALSE)

t2_not_homogen = hotelling.test(data_A, data_B, var.equal = FALSE)
t2_not_homogen

## Test stat:  6.6355 
## Numerator df:  2 
## Denominator df:  37.262660329707 
## P-value:  0.04964

Interpretasi Hasil:

Statistik uji = 6.6355, p-value = 0.04964.
Karena p-value < 0.05 → tolak H0, artinya ada perbedaan signifikan multivariat antara dua grup pada mean vector (StatSkill & ProgSkill).

4.4 Selang Kepercayaan Simultan untuk ragam tidak sama

T.ci_hetero = function(mu1, mu2, S1, S2, n1, n2, avec = rep(1, length(mu1)), level = 0.95){
  p = length(mu1)
  mu = mu1 - mu2
  cval = qchisq(level, p) # chi-square kritis
  zhat = crossprod(avec, mu)
  zvar = crossprod(avec, S1 %*% avec)/n1 + crossprod(avec, S2 %*% avec)/n2
  const = sqrt(cval * zvar)
  c(lower = zhat - const, upper = zhat + const)
}

4.5 CI simultan per komponen

T.ci_hetero(xbarA, xbarB, S_A, S_B, m, k, avec = c(1,0), level = 0.95)

##    lower    upper 
## -1.46697 10.14302

T.ci_hetero(xbarA, xbarB, S_A, S_B, m, k, avec = c(0,1), level = 0.95)

##      lower      upper 
## -0.9477033 11.4973434

Interpretasi Hasil:

StatSkill: (-1.47, 10.14) → interval masih mencakup 0 → perbedaan StatSkill tidak signifikan secara individu.
ProgSkill: (-0.95, 11.50) → juga mencakup 0 → perbedaan ProgSkill tidak signifikan secara individu.

Jadi meskipun secara gabungan signifikan (multivariat), jika dilihat satu per satu (univariat), tidak ada yang signifikan jelas. Hal ini biasa terjadi ketika ada efek gabungan kecil dari beberapa variabel.

Insight:

Secara keseluruhan (multivariat), terdapat perbedaan nyata antara dua grup pada StatSkill + ProgSkill.
Namun, ketika dilihat satu per satu, perbedaan pada masing-masing keterampilan tidak cukup kuat untuk dianggap signifikan.

Tugas TPG

Nyayu Azzahra Nabila

2025-09-30

1 Menyiapkan Lingkungan

2 Perbandingan Dua Vektor Nilai Tengah Sampel Berpasangan

2.1 Membangkitkan data sesuai NIM

2.2 Hitung selisih (post-pre) untuk tiap metrik

2.3 Rataan vektor dan matriks kovarians selisih

2.4 Uji One-Sample Hotelling T^2 (H0: mean diference = (0,0))

2.5 Selang Kepercayaan Simultan

2.6 Selang Kepercayaan Bonferroni

3 Perbandingan Dua Vektor Nilai Tengah Sampel Saling Bebas Ragam Sama

3.1 Membangkitkan data dengan NIM

3.2 Rataan dan kovarian tiap grup

3.3 Hotelling T2 (var.equal = TRUE)

3.4 Selang Kepercayaan Simultan (fungsi berdasarkan F)

3.5 CI simultan untuk tiap komponen

3.6 CI Bonferroni

4 Perbandingan Dua Vektor Nilai Tengah Sampel Saling Bebas Ragam Tidak Sama

4.1 Membangkitkan data dengan NIM

4.2 Rataan & kovarian

4.3 Hotelling T2 (var.equal = FALSE)

4.4 Selang Kepercayaan Simultan untuk ragam tidak sama

4.5 CI simultan per komponen