Latihan Praktikum

Input Data

Data di bawah ini merupakan data nilai ujian Matematika dan Bahasa Inggris siswa SMA dengan dua kelompok metode belajar: Online vs Tatap Muka.

library(MASS)

## Warning: package 'MASS' was built under R version 4.4.3

set.seed(60)
n_online <- 30
n_tatapmuka <- 30

# Nilai siswa dengan metode Online: rata-rata agak lebih rendah
mu_online <- c(70, 65)  
Sigma <- matrix(c(150, 40, 40, 160), 2) # Matriks kovariansi sama
data_online <- mvrnorm(n_online, mu = mu_online, Sigma = Sigma)

# Nilai siswa dengan metode Tatap Muka: rata-rata lebih tinggi
mu_tatapmuka <- c(75, 70)
data_tatapmuka <- mvrnorm(n_tatapmuka, mu = mu_tatapmuka, Sigma = Sigma)

# Gabungkan menjadi satu data frame
data_siswa <- data.frame(
  Metode = rep(c("Online", "TatapMuka"), each = 30),
  Matematika = c(data_online[,1], data_tatapmuka[,1]),
  Inggris = c(data_online[,2], data_tatapmuka[,2])
)
data_siswa

##       Metode Matematika  Inggris
## 1     Online   78.88446 70.59110
## 2     Online   61.54510 81.78300
## 3     Online   65.65985 58.11069
## 4     Online   72.90863 59.56902
## 5     Online   50.99217 49.46989
## 6     Online   66.08174 36.36235
## 7     Online   86.20075 70.77560
## 8     Online   80.41880 61.83868
## 9     Online   58.47256 58.29186
## 10    Online   75.49486 68.34482
## 11    Online   53.45992 75.83464
## 12    Online   60.25680 73.35233
## 13    Online   79.36314 82.17310
## 14    Online   61.34217 61.61093
## 15    Online   61.81627 64.87956
## 16    Online   75.91563 88.44731
## 17    Online   85.47215 47.65922
## 18    Online   74.91870 71.72031
## 19    Online   49.59112 76.88768
## 20    Online   66.86453 76.01683
## 21    Online   53.58168 74.06280
## 22    Online   52.45271 71.35611
## 23    Online   67.62678 79.73782
## 24    Online   76.85782 71.87500
## 25    Online   69.03664 71.53135
## 26    Online   85.30064 59.76883
## 27    Online   70.27287 60.48750
## 28    Online   54.06540 46.56407
## 29    Online   94.90530 83.55612
## 30    Online   84.56154 82.50089
## 31 TatapMuka   76.52003 68.43004
## 32 TatapMuka   61.30234 58.14307
## 33 TatapMuka   53.79773 70.47836
## 34 TatapMuka   57.80635 53.26513
## 35 TatapMuka   82.63769 85.07951
## 36 TatapMuka   79.11308 74.98825
## 37 TatapMuka   55.96402 77.79058
## 38 TatapMuka   67.82188 65.97665
## 39 TatapMuka   85.48343 75.72703
## 40 TatapMuka   93.45902 70.34425
## 41 TatapMuka   73.89913 85.49127
## 42 TatapMuka   70.66736 85.95686
## 43 TatapMuka   87.20447 58.17596
## 44 TatapMuka   84.57367 71.09544
## 45 TatapMuka   62.58471 83.83622
## 46 TatapMuka   90.42409 66.56922
## 47 TatapMuka   84.27680 65.40855
## 48 TatapMuka   78.89036 45.61479
## 49 TatapMuka   78.73704 57.38408
## 50 TatapMuka   72.91988 53.59099
## 51 TatapMuka   71.87496 76.99352
## 52 TatapMuka  107.53999 73.13802
## 53 TatapMuka  103.15287 84.22007
## 54 TatapMuka   89.43702 82.27705
## 55 TatapMuka   76.73202 63.49353
## 56 TatapMuka   94.41625 61.97247
## 57 TatapMuka   79.14487 52.56102
## 58 TatapMuka   62.50638 60.44645
## 59 TatapMuka   76.55088 68.87825
## 60 TatapMuka   70.22168 61.75245

1. Perbandingan Dua Vektor Nilai Tengah Berpasangan

Hipotesis

H0: Tidak ada perbedaan rata-rata nilai Matematika dan Inggris antara metode Online dan Tatap Muka (vektor mean = (0,0)).

H1: Ada perbedaan rata-rata nilai Matematika dan/atau Inggris antara metode Online dan Tatap Muka.

# Pisahkan data berdasarkan kelompok
group_online <- subset(data_siswa, Metode == "Online", select = c(Matematika, Inggris))
group_online

##    Matematika  Inggris
## 1    78.88446 70.59110
## 2    61.54510 81.78300
## 3    65.65985 58.11069
## 4    72.90863 59.56902
## 5    50.99217 49.46989
## 6    66.08174 36.36235
## 7    86.20075 70.77560
## 8    80.41880 61.83868
## 9    58.47256 58.29186
## 10   75.49486 68.34482
## 11   53.45992 75.83464
## 12   60.25680 73.35233
## 13   79.36314 82.17310
## 14   61.34217 61.61093
## 15   61.81627 64.87956
## 16   75.91563 88.44731
## 17   85.47215 47.65922
## 18   74.91870 71.72031
## 19   49.59112 76.88768
## 20   66.86453 76.01683
## 21   53.58168 74.06280
## 22   52.45271 71.35611
## 23   67.62678 79.73782
## 24   76.85782 71.87500
## 25   69.03664 71.53135
## 26   85.30064 59.76883
## 27   70.27287 60.48750
## 28   54.06540 46.56407
## 29   94.90530 83.55612
## 30   84.56154 82.50089

group_tatapmuka <- subset(data_siswa, Metode == "TatapMuka", select = c(Matematika, Inggris))
group_tatapmuka

##    Matematika  Inggris
## 31   76.52003 68.43004
## 32   61.30234 58.14307
## 33   53.79773 70.47836
## 34   57.80635 53.26513
## 35   82.63769 85.07951
## 36   79.11308 74.98825
## 37   55.96402 77.79058
## 38   67.82188 65.97665
## 39   85.48343 75.72703
## 40   93.45902 70.34425
## 41   73.89913 85.49127
## 42   70.66736 85.95686
## 43   87.20447 58.17596
## 44   84.57367 71.09544
## 45   62.58471 83.83622
## 46   90.42409 66.56922
## 47   84.27680 65.40855
## 48   78.89036 45.61479
## 49   78.73704 57.38408
## 50   72.91988 53.59099
## 51   71.87496 76.99352
## 52  107.53999 73.13802
## 53  103.15287 84.22007
## 54   89.43702 82.27705
## 55   76.73202 63.49353
## 56   94.41625 61.97247
## 57   79.14487 52.56102
## 58   62.50638 60.44645
## 59   76.55088 68.87825
## 60   70.22168 61.75245

# Hitung selisih nilai antara Tatap Muka dan Online
d_matematika = group_tatapmuka$Matematika - group_online$Matematika
d_inggris = group_tatapmuka$Inggris - group_online$Inggris

# Gabungkan ke dalam data frame
X = data.frame(d_matematika, d_inggris)
X

##    d_matematika  d_inggris
## 1    -2.3644374  -2.161063
## 2    -0.2427584 -23.639931
## 3   -11.8621266  12.367669
## 4   -15.1022783  -6.303891
## 5    31.6455117  35.609626
## 6    13.0313351  38.625904
## 7   -30.2367252   7.014983
## 8   -12.5969196   4.137971
## 9    27.0108667  17.435169
## 10   17.9641675   1.999429
## 11   20.4392070   9.656631
## 12   10.4105609  12.604527
## 13    7.8413317 -23.997134
## 14   23.2315051   9.484514
## 15    0.7684371  18.956661
## 16   14.5084585 -21.878098
## 17   -1.1953501  17.749330
## 18    3.9716604 -26.105529
## 19   29.1459191 -19.503601
## 20    6.0553513 -22.425834
## 21   18.2932842   2.930727
## 22   55.0872812   1.781912
## 23   35.5260846   4.482255
## 24   12.5792042  10.402054
## 25    7.6953793  -8.037820
## 26    9.1156087   2.203642
## 27    8.8719932  -7.926474
## 28    8.4409767  13.882380
## 29  -18.3544188 -14.677873
## 30  -14.3398630 -20.748440

# Vektor rataan (mean untuk setiap kolom di X)
xbar = apply(X, 2, mean)
xbar

## d_matematika    d_inggris 
##    8.5113082    0.7973232

cov_m = cov(X)
cov_m

##              d_matematika d_inggris
## d_matematika    322.89022  64.52628
## d_inggris        64.52628 297.18162

Uji T2 Hotelling Dua Populasi Sampel Berpasangan

library(MVTests)

## Warning: package 'MVTests' was built under R version 4.4.3

## 
## Attaching package: 'MVTests'

## The following object is masked from 'package:datasets':
## 
##     iris

# H0 : Tidak ada perbedaan rata-rata (vektor mean = (0,0))
mean0 = c(0,0)

# Uji Hotelling T²
result = OneSampleHT2(X, mu0 = mean0, alpha = 0.05)

# Ringkasan hasil uji
summary(result)

##        One Sample Hotelling T Square Test 
## 
## Hotelling T Sqaure Statistic = 6.816838 
##  F value = 3.291 , df1 = 2 , df2 = 28 , p-value: 0.052 
## 
##                    Descriptive Statistics
## 
##       d_matematika  d_inggris
## N        30.000000 30.0000000
## Means     8.511308  0.7973232
## Sd       17.969146 17.2389566
## 
## 
##                  Detection important variable(s)
## 
##                   Lower     Upper Mu0 Important Variables?
## d_matematika -0.1184792 17.141096   0                FALSE
## d_inggris    -7.4817863  9.076433   0                FALSE

Interpretasi : Karena p-value (0.052) > α (0.05), maka gagal menolak H0. yang berarti tidak ada bukti signifikan bahwa rata-rata nilai Matematika dan Inggris berbeda antara Online dan Tatap Muka jika dianggap berpasangan.

Selang Kepercayaan Simultan

result$CI

##                   Lower     Upper Mu0 Important Variables?
## d_matematika -0.1184792 17.141096   0                FALSE
## d_inggris    -7.4817863  9.076433   0                FALSE

Interpretasi:

Selang kepercayaan Matematika mencakup nol → perbedaan rata-rata tidak signifikan.

Selang kepercayaan Inggris juga mencakup nol → perbedaan rata-rata tidak signifikan.

##. Selang Kepercayaan Bonferroni

bon = function(mu,S,n,alpha,k){
 p = length(mu)
 lower = mu[k] - sqrt(S[k,k]/n) * abs(qt(alpha/(2*p), df=n-1))
 upper = mu[k] + sqrt(S[k,k]/n) * abs(qt(alpha/(2*p), df=n-1))
 c(lower = lower,upper = upper)
}

n = nrow(X)

#Kata
bon(xbar, cov_m,n,0.05,1)

## lower.d_matematika upper.d_matematika 
##          0.7562331         16.2663834

bon(xbar, cov_m,n,0.05,2)

## lower.d_inggris upper.d_inggris 
##       -6.642619        8.237265

Interpretasi:

Untuk Matematika, selang tidak mencakup nol → ada indikasi perbedaan signifikan.

Untuk Inggris, selang masih mencakup nol → tidak signifikan.

2. Perbandingan Dua Vektor Nilai Tengah Sampel Saling Bebas Ragam Sama

Hipotesis

H0: Rataan Matematika dan Inggris sama untuk metode Online dan Tatap Muka.

H1: Ada minimal satu perbedaan rataan.

# Memisahkan Data dari Populasi 1 (Online) dan Populasi 2 (Tatap Muka)
data_online = subset(data_siswa, Metode == "Online", select = c(Matematika, Inggris))
data_tatapmuka = subset(data_siswa, Metode == "TatapMuka", select = c(Matematika, Inggris))

## Menghitung vektor rataan dan matriks kovarians
xbar_online = apply(data_online, 2, mean)
xbar_online

## Matematika    Inggris 
##   69.14402   67.83865

xbar_tatapmuka = apply(data_tatapmuka, 2, mean)
xbar_tatapmuka

## Matematika    Inggris 
##   77.65533   68.63597

cov_online = cov(data_online)
cov_online

##            Matematika   Inggris
## Matematika  149.68886  27.25491
## Inggris      27.25491 152.71612

cov_tatapmuka = cov(data_tatapmuka)
cov_tatapmuka

##            Matematika   Inggris
## Matematika  175.29645  21.00708
## Inggris      21.00708 123.98915

Uji T2 Hotelling Dua Populasi Sampel Saling Bebas Ragam Sama

n1 = nrow(data_online)
n2 = nrow(data_tatapmuka)

# S Gabungan
s_gab = ((n1-1)*cov_online + (n2-1)*cov_tatapmuka) / (n1+n2-2)
s_gab

##            Matematika   Inggris
## Matematika  162.49266  24.13099
## Inggris      24.13099 138.35264

library(Hotelling)

## Loading required package: corpcor

t2_homogen = hotelling.test(data_online, data_tatapmuka, var.equal = TRUE)
t2_homogen

## Test stat:  6.7115 
## Numerator df:  2 
## Denominator df:  57 
## P-value:  0.04413

Interpretasi:

Karena p-value < 0.05, maka tolak H0. Artinya, terdapat perbedaan signifikan nilai rata-rata antara metode Online dan Tatap Muka bila diasumsikan ragam sama dan sampel independen.

T.ci = function(mu1, mu2, S_gab, n1, n2, avec=rep(1,length(mu)), level=0.95){
  p = length(mu1)
  mu = mu1 - mu2
  cval = qf(level, p, n1+n2-p-1) * p * (n1+n2-2) / (n1+n2-p-1)
  zhat = crossprod(avec, mu)
  zvar = crossprod(avec, S_gab %*% avec) * (1/n1 + 1/n2)
  const = sqrt(cval * zvar)
  c(lower = zhat - const, upper = zhat + const)
}

Selang Kepercayaan Simultan

# Matematika
T.ci(xbar_online, xbar_tatapmuka, s_gab, n1, n2, avec=c(1,0), level=0.95)

##       lower       upper 
## -16.8563172  -0.1662993

# Inggris
T.ci(xbar_online, xbar_tatapmuka, s_gab, n1, n2, avec=c(0,1), level=0.95)

##     lower     upper 
## -8.497552  6.902906

Matematika: (-16.856, -0.166) → tidak mencakup nol → signifikan.

Inggris: (-8.498, 6.903) → mencakup nol → tidak signifikan.

Interpretasi:

Ada perbedaan rata-rata signifikan pada Matematika.

Tidak ada perbedaan signifikan pada Inggris.

##. Selang Kepercayaan Bonferroni

bon = function(mu1, mu2, S, n1, n2, alpha, k){
  p = length(mu1)
  mu = mu1 - mu2
  lower = mu[k] - sqrt((S[k,k])*(1/n1+1/n2)) * abs(qt(alpha/(2*p), df=n1+n2-2))
  upper = mu[k] + sqrt((S[k,k])*(1/n1+1/n2)) * abs(qt(alpha/(2*p), df=n1+n2-2))
  ci = c(lower = lower, upper = upper)
  names(ci) = c("lower","upper")
  ci
}

# Matematika
bon(xbar_online, xbar_tatapmuka, s_gab, n1, n2, 0.05, 1)

##      lower      upper 
## -16.084930  -0.937686

# Inggris
bon(xbar_online, xbar_tatapmuka, s_gab, n1, n2, 0.05, 2)

##     lower     upper 
## -7.785767  6.191121

Matematika: (-16.085, -0.938) → signifikan.

Inggris: (-7.786, 6.191) → tidak signifikan.

Interpretasi konsisten dengan CI simultan: hanya Matematika berbeda signifikan.

3. Perbandingan Dua Vektor Nilai Tengah Sampel Saling Bebas Ragam Tidak Sama

Hipotesis

H0: Tidak ada perbedaan rata-rata nilai Matematika dan Inggris antara metode Online dan Tatap Muka (μ₁ = μ₂).

H1: Ada minimal satu perbedaan rata-rata nilai Matematika dan Inggris antara metode Online dan Tatap Muka (μ₁ ≠ μ₂).

# Memisahkan Data dari Populasi 1 (Online) dan Populasi 2 (Tatap Muka)
data_online = subset(data_siswa, Metode == "Online", select = c(Matematika, Inggris))
data_tatapmuka = subset(data_siswa, Metode == "TatapMuka", select = c(Matematika, Inggris))

## Menghitung vektor rataan dan matriks kovarians
xbar_online = apply(data_online, 2, mean)
xbar_online

## Matematika    Inggris 
##   69.14402   67.83865

xbar_tatapmuka = apply(data_tatapmuka, 2, mean)
xbar_tatapmuka

## Matematika    Inggris 
##   77.65533   68.63597

cov_online = cov(data_online)
cov_online

##            Matematika   Inggris
## Matematika  149.68886  27.25491
## Inggris      27.25491 152.71612

cov_tatapmuka = cov(data_tatapmuka)
cov_tatapmuka

##            Matematika   Inggris
## Matematika  175.29645  21.00708
## Inggris      21.00708 123.98915

Uji T2 Hotelling Dua Populasi Sampel Saling Bebas Ragam Tidak Sama

n1 = nrow(data_online)
n2 = nrow(data_tatapmuka)

library(Hotelling)

t2_not_homogen = hotelling.test(data_online, data_tatapmuka, var.equal = FALSE)
t2_not_homogen

## Test stat:  6.7115 
## Numerator df:  2 
## Denominator df:  57.8346962983773 
## P-value:  0.04402

Interpretasi :

Karena p-value (0.044) < α (0.05), maka tolak H0. Artinya, terdapat perbedaan signifikan nilai rata-rata antara metode Online dan Tatap Muka pada minimal satu mata pelajaran bila ragam diasumsikan tidak sama.

Selang Kepercayaan Simultan

T.ci = function(mu1, mu2, S1, S2, n1, n2, avec=rep(1,length(mu)), level=0.95){
  p = length(mu1)
  mu = mu1 - mu2
  cval = qchisq(level, p)
  zhat = crossprod(avec, mu)
  zvar = crossprod(avec, S1 %*% avec)/n1 + crossprod(avec, S2 %*% avec)/n2
  const = sqrt(cval * zvar)
  c(lower = zhat - const, upper = zhat + const)
}

# Matematika
T.ci(xbar_online, xbar_tatapmuka, cov_online, cov_tatapmuka, n1, n2, avec=c(1,0), level=0.95)

##       lower       upper 
## -16.5676473  -0.4549692

# Inggris
T.ci(xbar_online, xbar_tatapmuka, cov_online, cov_tatapmuka, n1, n2, avec=c(0,1), level=0.95)

##     lower     upper 
## -8.231187  6.636540

Interpretasi:

Untuk Matematika, CI tidak mencakup nol → ada perbedaan signifikan.

Untuk Inggris, CI mencakup nol → tidak ada perbedaan signifikan.

##. Selang Kepercayaan Bonferroni

# Fungsi Bonferroni untuk dua populasi independen ragam TIDAK sama
bon_not_equal = function(mu1, mu2, S1, S2, n1, n2, alpha, k){
  p = length(mu1)
  mu = mu1 - mu2
  
  # varians untuk variabel ke-k
  s1 = S1[k,k]
  s2 = S2[k,k]
  
  # standard error
  se = sqrt(s1/n1 + s2/n2)
  
  # df Welch–Satterthwaite
  num = (s1/n1 + s2/n2)^2
  den = ( (s1^2)/(n1^2*(n1-1)) ) + ( (s2^2)/(n2^2*(n2-1)) )
  df = num/den
  
  # t-kritis dengan koreksi Bonferroni
  tcrit = abs(qt(alpha/(2*p), df = df))
  
  lower = mu[k] - tcrit * se
  upper = mu[k] + tcrit * se
  
  ci = c(lower = lower, upper = upper)
  names(ci) = c("lower","upper")
  ci
}

# Matematika
bon_not_equal(xbar_online, xbar_tatapmuka, cov_online, cov_tatapmuka, n1, n2, 0.05, 1)

##       lower       upper 
## -16.0861811  -0.9364353

# Inggris
bon_not_equal(xbar_online, xbar_tatapmuka, cov_online, cov_tatapmuka, n1, n2, 0.05, 2)

##     lower     upper 
## -7.787771  6.193124

Interpretasi :

Selang kepercayaan 95%: (-16.09 , -0.94) (matematika)

Karena selang ini tidak mencakup 0, maka ada perbedaan signifikan rata-rata nilai Matematika antara metode Online dan Tatap Muka.

Selang kepercayaan 95%: (-7.79 , 6.19) (b.inggris)

Karena selang ini mencakup 0, maka tidak ada perbedaan signifikan rata-rata

Uji Vektor Rataan 2 Populasi - Praktikum Analisis Peubah Ganda Paralel 1

Abdullah Zeith Alfarizy (G1401231060)

2025-09-30

Latihan Praktikum

Input Data

1. Perbandingan Dua Vektor Nilai Tengah Berpasangan

Uji T2 Hotelling Dua Populasi Sampel Berpasangan

Selang Kepercayaan Simultan

2. Perbandingan Dua Vektor Nilai Tengah Sampel Saling Bebas Ragam Sama

Uji T2 Hotelling Dua Populasi Sampel Saling Bebas Ragam Sama

Selang Kepercayaan Simultan

3. Perbandingan Dua Vektor Nilai Tengah Sampel Saling Bebas Ragam Tidak Sama

Uji T2 Hotelling Dua Populasi Sampel Saling Bebas Ragam Tidak Sama

Selang Kepercayaan Simultan